Geometria Analítica - Roteiro

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Geometria Analítica 
Professor: 
Josivan Ribeiro Justino 
josivan.justino@unir.br 
Roteiro 
1. Segmentos entre retas colineares 
a. Recapitulando 
2. Revisão: determinantes 
3. Equação da reta 
a. Condição de alinhamento de 3 
pontos 
b. Equação geral 
c. Interseção de duas retas 
d. Posição relativa de duas retas 
4. Exercícios 
 
 
 
Recapitulando 
● Segmentos entre retas colineares 
○ Dois segmentos de reta são colineares se estão 
numa mesma reta. 
○ Ao dividir as medidas entre dois segmentos de reta, 
obteremos a razão entre eles. 
 
 
 
Recapitulando 
● Segmentos entre retas colineares 
○ Exemplo 01: Determine as coordenadas dos pontos 
que dividem o segmento AB em três parte iguais, 
sabendo que A = (-1, 7) e B (11, -8). 
 
 
 
Complemento - Determinantes 
● É uma função matricial que associa a cada matriz 
quadrada um escalar. 
● Um determinante de 2ª ordem: 
 
 
 
● Exemplo: 
 
 
 
Complemento - Determinantes 
● Um determinante de 3ª ordem: 
● Regra de Sarrus 
 
 
 
 
 
 
 
Complemento - Determinantes 
● Um determinante de 3ª ordem: 
● Exemplo - Sarrus: 
 
 
 
 
 
 
 
Complemento - Determinantes 
● Um determinante de 3ª ordem: Regra de Laplace: 
 
 
 
 
 
 
 
O cálculo de determinantes de terceira ordem pode ser feito 
usando a Regra de Laplace, que é uma maneira sistemática 
de expandir um determinante em termos menores. 
Considere a matriz A: 
 
O determinante det(A) pode ser calculado 
usando a Regra de Laplace da seguinte 
maneira: 
 
det(A) = a11​⋅C11 ​− a12​⋅C12 ​+ a13​⋅C13 
 
onde Cij ​ é o cofator associado ao elemento aij ​. O cofator Cij ​ é dado por: 
 
 Cij =(−1)i+j⋅det(Mij ​) 
 
onde Mij ​ é o menor da matriz obtido removendo a i-ésima linha e a j-ésima 
coluna. 
Complemento - Determinantes 
Para ilustrar, vamos considerar a seguinte matriz A: 
 
 
 
 
Equação da reta 
● Equação geral 
○ Teorema: 
○ “Toda reta r do plano cartesiano está associada ao 
menos uma equação da forma ax + by + c = 0 em 
que a, b e c são números reais, a ≠ 0 ou b ≠ 0, e (x, 
y) representa um ponto genérico de r”. 
 
 
Equação da reta 
● Condição de alinhamento de três pontos: 
○ Três pontos estão alinhados se, e somente se, 
pertencerem à mesma reta. 
○ Podemos determinar o alinhamento dos pontos 
através do cálculo do determinante (regra de Sarrus 
ou Laplace) envolvendo a matriz das coordenadas. 
 
 
 
 
 
Equação da reta 
● Demonstração: 
○ Seja Q(x1, y1) e R (x2, y2) dois pontos distintos do 
plano cartesiano. 
○ Isto significa que x1, y1, x2, y2 são número reais 
conhecidos. 
○ Seja r a reta definida pelos pontos Q e R. 
○ Se P(x, y) é um ponto que percorre r, então x e y 
são variáveis. 
 
 
 
Equação da reta 
● Demonstração: 
○ Como P, Q e R são colineares, temos 
necessariamente: 
 
 
 
 
 
 
 
Equação da reta 
● Demonstração: 
○ Como P, Q e R são colineares, temos 
necessariamente: 
 
 
 
 
 
 
 
Regra de Laplace 
Equação da reta 
● Demonstração: 
○ Fazendo y1 - y2 = a, x2 - x1 = b e x1y2 - x2y1 = c, 
decorre todo o ponto P ∈ r deve verificar a equação: 
 (y1 - y2) x + (x2 - x1)y + (x1y2 - x2y1) = 0 
 
 
 
 
● chamada equação geral de r. 
 
 
Equação da reta 
● Portanto: 
○ Toda reta tem equação geral, independente de sua 
posição. 
○ A mesma reta admite várias (infinitas) equações 
gerais. 
○ Os coeficientes a e b não podem ser 
simultaneamente nulos, pois: 
a = 0 ⇒ y1 - y2 = 0 ⇒ y1 = y2 
b = 0 ⇒ x1 - x2 = 0 ⇒ x1 = x2 
 
 
⇒ Q = R 
e Q ≠ R por hipótese. 
Equação da reta 
● Portanto: 
○ Toda reta tem equação geral, independente de sua 
posição. 
○ A mesma reta admite várias (infinitas) equações 
gerais. 
○ Os coeficientes a e b não podem ser 
simultaneamente nulos, pois: 
a = 0 ⇒ y1 - y2 = 0 ⇒ y1 = y2 
b = 0 ⇒ x1 - x2 = 0 ⇒ x1 = x2 
 
 
⇒ Q = R 
e Q ≠ R por hipótese. 
Equação da reta 
● Exemplo 01: Obter a equação da reta que passa por 
Q(4, 3) e R (0, 7). 
 
 
 
 
Equação da reta 
● Exemplo 02: Obter a equação da reta da figura. 
a. Escolhendo os pontos (2,1) e (1, 0) 
b. Escolhendo os pontos (4,3) e (0, -1) 
 
 
 
Equação da reta 
● Teorema: 
○ “Toda equação da forma ax + by + c = 0, com a, b, c 
∈ ℝ, a ≠ 0 ou b ≠ 0, está associada uma única reta r 
do plano cartesiano cujos ponto P(x, y) são soluções 
da equação dada.” 
○ Portanto, dada a equação ax + by + c = 0, o conjunto 
de pares (x, y) que a satisfazem é uma reta. 
Equação da reta 
● Exemplo 03: Construir o gráfico dos pontos que verificam a 
equação x + 2y - 6 = 0. 
○ Sabemos que o gráfico é uma reta e para localizá-la, 
basta localizar dois de seu pontos. 
○ Desse modo, para x1 = 0 e x2 = 6 encontre os pontos y1 
e y2. 
Equação da reta 
● A partir do teorema anterior, podemos mostrar que 
somente os pontos que satisfazem a equação ax + by + 
c = 0 pertencem a reta. 
● Exemplo 04: Verificar se A(2, 2), B(4,1) e C(7, -1) 
pertencem à reta r de equação x + 2y - 6 = 0; 
Equação da reta 
● O anulamento de um dos coeficientes da equação 
geral da reta revela uma propriedade especial da reta. 
○ (1) a = 0 ⇒ y1 - y2 = 0 ⇔ y1 = y2 ⇔ r ∥ x 
○ A reta é paralela ao eixo das abscissas; 
○ A equação não tem o termo x. 
○ Exemplos: 
■ 3y - 4 = 0, 7y + 11 = 0 
Equação da reta 
● O anulamento de um dos coeficientes da equação 
geral da reta revela uma propriedade especial da reta. 
○ (2) b = 0 ⇒ x1 - x2 = 0 ⇔ x1 = x2 ⇔ r ∥ y 
○ A reta é paralela ao eixo das ordenadas; 
○ A equação não tem o termo y. 
○ Exemplos: 
■ 7x + 5 = 0, 9x - 4 = 0 
Equação da reta 
● O anulamento de um dos coeficientes da equação 
geral da reta revela uma propriedade especial da reta. 
○ (3) c = 0 ⇒ ax + by = 0 ⇔ (0, 0) satisfaz equação, 
pois a . 0+ b . 0 = 0 ⇔ (0, 0) ∈ r 
○ A reta passa pela origem; 
○ A equação não tem o termo independente. 
○ Exemplos: 
■ 3x + 4y = 0, 12x - 13y = 0 
Equação da reta 
● O anulamento de um dos coeficientes da equação 
geral da reta revela uma propriedade especial da reta. 
○ (4) (a = 0 e c = 0) ⇒ (r ∥ x e (0, 0) ∈ r ) ⇔ r = x 
○ (5) (b = 0 e c = 0) ⇒ (r ∥ y e (0, 0) ∈ r ) ⇔ r = y 
○ Exemplos: 
■ Equações do eixo y: x = 0, 7x = 0, √2.x = 0 
■ Equações do eixo x: y = 0, 5y = 0, -513y = 0 
Exercícios 01 
1. Determine a equação da reta r indicada na figura abaixo: 
2. Determine as equações das retas suportes dos lados do 
triângulo cujos vértices são A(0,0), B(1, 3) e C(4, 0). 
Interseção de duas retas 
● Todo ponto de interseção de duas retas têm de 
satisfazer as equações de ambas as retas. 
● Portanto, obtemos o ponto comum P(x0, y0) a duas retas 
concorrentes resolvendo o sistema formado pelas 
suas equações: 
 
 
 
 
 
Interseção de duas retas 
● Exemplo 05: Obtenha a interseção das retas: 
r: x - y + 1 = 0 e s: 2x + y - 2 = 0 
● Solução: Resolver o sistema usando o método da 
adição: 
 x - y + 1= 0 
2x + y - 2 = 0 
3x - 1 = 0 ⇒ x = ⅓ 
● Substituindo x em uma das equações, temos: 
⅓ - y + 1= 0 ⇒ y = 4/3 
 
 
Interseção de duas retas 
● Exemplo 05: Obtenha a interseção das retas: 
r: x - y + 1 = 0 e s: 2x + y - 2 = 0 
● Solução: Logo, a interseção de r com s é P(⅓, 4/3) 
 
 
 
Exercícios 02 
1. Determine a interseção das retas x - 5y = 14 e 3x + 2y = 
-9. P(-1, -3) 
2. Determine a interseção das retas r e s indicadas no 
gráfico abaixo: 
 
 
 
Exercícios 02 
3. As retas suportes dos lados do triângulo ABC são: 
AB: 3x - 4y = 0, BC: x + y - 7 = 0 e CA: 4x - 3y = 0 
Mostre que ABC é um triângulo isósceles. 
3. Determine o perímetro do triângulo ABC que verifica as 
seguintes condições: 
a. o vértice A pertence ao eixo x; A(3, 0) 
b. o vértice B pertence ao eixo y; B(0, 0) 
c. a reta BC tem equação x - y = 0 B(1, 1) 
d. a reta AC tem equação x + 2y - 3 = 0 
 
 
 
Posição relativas de duas retas 
● Dadas duasretas r e s cujas equações são: 
r: a1x + b1y = c1 (1) 
 s: a2x + b2y = c2 (2) 
 
● Podem ocupar três posições relativas no plano 
cartesiano; 
● Essas posições são definidas com base no número de 
pontos comuns às retas. 
 
 
(∑) 
Posição relativas de duas retas 
● Sendo assim: 
○ r e s concorrentes ⇔ um único ponto comum; 
○ r e s paralelas e distintas ⇔ nenhum ponto comum; 
○ r e s coincidentes ⇔ infinitos pontos comuns; 
 
 
Posição relativas de duas retas 
● Todo ponto comum a r e s é a solução do sistema (∑). 
● Resolvendo o sistema (∑) pelo método da adição: 
 
 
Posição relativas de duas retas 
● Fazendo: 
 
 
 
 
 
● O sistema (∑) fica reduzido a: 
Posição relativas de duas retas 
● A partir do cálculo do determinante são possíveis três 
casos: 
● 1º caso: D ≠ 0 (∑) tem uma única solução ⇔ r X s; 
● 2º caso: 
D = 0 
D1 (ou D2) ≠ 0 
 
● 3º caso: 
D = 0 
D1 = 0 
D2 = 0 
(∑) não tem solução ⇔ r ∩ s = ∅ 
(∑) tem infinitas soluções ⇔ r = s 
Posição relativas de duas retas 
● Quando a2 ≠ 0, b2 ≠ 0 e c2 ≠ 0, temos: 
Posição relativas de duas retas 
● Simplificando: 
○ Para sabermos a posição relativa entre duas retas, 
basta fazermos a seguinte verificação: 
Posição relativas de duas retas 
● Exemplos: 
○ 1º) As retas r: x + 2y + 3 = 0 e s: 2x + 3y + 4 = 0 são 
concorrentes, pois: 
 
 
○ 2º) As retas r: x + 2y + 3 = 0 e s: 3x + 6y + 1 = 0 são 
paralelas e distintas, pois: 
Posição relativas de duas retas 
● Exemplos: 
○ 3º) As retas r: x + 2y + 3 = 0 e s: 2x + 4y + 6 = 0 são 
coincidentes, pois: 
 
 
○ 4º) As retas r: x - 2 = 0 e s: y + 4 = 0 são 
concorrentes, pois: 
 
Posição relativas de duas retas 
● Exemplos: 
○ 5º) As retas r: x + y + m = 0 e s: x + y + 2 = 0 são 
paralelas, pois: 
 
 
○ para m = 2, temos r = s (coincidentes); 
○ para m ≠ 2 e m ∈ ℝ r ∩ s = ∅ (paralelas distintas) 
Exercícios 03 
1. Qual é a posição relativa entre as retas 3x - y - 7 = 0 e 
6x - 2y + 17 = 0? 
2. Determine a posição relativa das seguintes retas: 
a. r: 5x - 7y + 8 = 0 e s: -x + 2y - 1 = 0 
b. t: 5x - 7y + 3 = 0 e u: -3x + y = 0 
c. -x + 2y = -1 e z: 10x - 14y = -16 
Dúvidas, sugestões?