prova-AL

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56. Calcule o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{x} \). 
 Resposta: \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{x} = 3 \). 
 
57. Determine a solução geral da equação diferencial \( y'' - 3y' + 2y = e^x \). 
 Resposta: A solução geral é \( y(x) = C_1 e^x + C_2 e^{2x} + e^x \), onde \( C_1 \) e \( C_2 
\) são constantes arbitrárias. 
 
58. Encontre a área da região delimitada pelas curvas \( y = e^x \), \( y = 1 \), \( x = 0 \) e \( x 
= 1 \ 
 
). 
 Resposta: A área é \( e - 1 \). 
 
59. Determine a equação da reta tangente à curva \( y = \ln(x^2 + 1) \) no ponto onde \( x = 
1 \). 
 Resposta: A equação da reta tangente é \( y = \frac{2}{1^2 + 1}(x - 1) + \ln(2) \). 
 
60. Calcule a derivada de \( \tan(x) \). 
 Resposta: \( \frac{d}{dx} \tan(x) = \sec^2(x) \). 
 
61. Encontre a matriz \( A \) tal que \( A^3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \). 
 Resposta: \( A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \) ou \( A = \begin{pmatrix} -1 
& 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \). 
 
62. Determine a solução geral da equação diferencial \( y'' + 4y' + 4y = 3e^{-2x} \). 
 Resposta: A solução geral é \( y(x) = (C_1 + C_2x)e^{-2x} + e^{-2x} \), onde \( C_1 \) e \( 
C_2 \) são constantes arbitrárias. 
 
63. Calcule a integral \( \int \frac{1}{\sin(x) + \cos(x)} \, dx \). 
 Resposta: \( \int \frac{1}{\sin(x) + \cos(x)} \, dx = \ln|\tan\left(\frac{x}{2} + 
\frac{\pi}{4}\right)| + C \). 
 
64. Encontre a área da região limitada pelas curvas \( y = x^2 \) e \( y = 2x - x^2 \). 
 Resposta: A área é \( \frac{8}{3} \). 
 
65. Determine a solução geral da equação diferencial \( y'' + 4y = \sin(2x) \). 
 Resposta: A solução geral é \( y(x) = C_1 \cos(2x) + C_2 \sin(2x) - \frac{1}{4}x \cos(2x) \), 
onde \( C_1 \) e \( C_2 \) são constantes arbitrárias. 
 
66. Calcule o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(x) - x}{x^3} \). 
 Resposta: \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(x) - x}{x^3} = \frac{1}{3} \). 
 
67. Determine a integral indefinida \( \int \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} \, dx \). 
 Resposta: \( \int \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} \, dx = -\sqrt{1 - x^2} + C \). 
 
68. Encontre a solução geral da equação diferencial \( y'' + 3y' + 2y = e^{-x} \). 
 Resposta: A solução geral é \( y(x) = C_1 e^{-x} + C_2 e^{-2x} + e^{-x} \), onde \( C_1 \) e \( 
C_2 \) são constantes arbitrárias. 
 
69. Determine a equação da reta que passa pelo ponto \( (2, -3, 1) \) e é perpendicular à 
reta \( \frac{x-1}{2} = \frac{y+1}{-3} = \frac{z-2}{4} \). 
 Resposta: A equação da reta é \( x = 2 + 4t \), \( y = -3 - 6t \), \( z = 1 + 8t \). 
 
70. Encontre a derivada direcional da função \( f(x, y) = x^2 + y^2 \) no ponto \( (1, 2) \) na 
direção do vetor \( \langle 1, 1 \rangle \). 
 Resposta: A derivada direcional é \( D_{\langle 1, 1 \rangle} f(1, 2) = 3 \). 
 
71. Calcule a soma dos termos da série \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \). 
 Resposta: A soma é \( \frac{\pi^2}{6} \). 
 
72. Determine a matriz \( A \) tal que \( A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 5 \end{pmatrix} \). 
 Resposta: \( A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} \) ou \( A = \begin{pmatrix} -1 
& -2 \\ -2 & -3 \end{pmatrix} \). 
 
73. Encontre a solução geral da equação diferencial \( y'' - y = e^x \).