Razões Trigonométricas em Triângulos

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20.	Examine o triângulo retângulo e calcule o valor de 
cada razão trigonométrica.
a
b
12
9 15
	a) sen a 
3
5
	b) cos a 
4
5
	c) tan a 
3
4
 
	d) sen b 
4
5
 
	e) cos b 
3
5 
	 f) tan b 
4
3
 
	21.	Os resultados que você obteve na atividade anterior são 
coerentes com as afirmações do Reflita da página 21?
	22.	Considere o triângulo retângulo representado a seguir.
C
A
z
x
u
y
b
B
	a) Qual é o valor da soma b 1 u? 90°
	b) Indique as razões correspondentes a sen b, cos b, 
tan b, sen u, cos u e tan u.
	23.	Em um triângulo EFG, que é retângulo em E, temos 
$ $ $5 5 5F F Fsen
5
6
, cos
11
6
e tan
5 11
11
. Junte-se a 
um colega para realizar os itens a seguir. Se necessário, 
desenhem no caderno o triângulo EFG.
	a) Calculem µ µ µG G Gsen , cos e tan .
	b) Se a hipotenusa do nEFG tem medida de compri-
mento de 30 cm, então qual é a medida de com-
primento de cada cateto? 
	c) Calculem o valor de cada expressão.
•	 $ $( ) 1 ( )F Fsen cos2 2
 
•	
$
$
F
F
sen
cos 
5 11
11
•	 µ µ1G Gsen cos2 2
 1
•	
µ
µ
G
G
sen
cos 
11
5
	24.	Neste triângulo retângulo, temos cos a 5 
12
13
.
5
a
x
	a) Calcule sen a e tan a. sen a 5 
5
13
 e tan a 5 
5
12
.
	b) Determine a medida de comprimento da hipotenusa. 
	25.	Se tan a 5 
1
3
, com 0° < a < 90°, então qual é o valor 
de sen a? 
	26.	Sabendo que sen a 5 
4
5
, com 0° < a < 90°, qual é o 
valor de cos a?
	27.	Qual é o valor de tan a se cos a 5 
1
4
 e 0° < a < 90°?
Sim.
EG 5 25 cm e EF 5 5 11 cm.
1
B
a
n
c
o
 d
e
 i
m
a
g
e
n
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A
rq
u
iv
o
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a
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it
o
ra
x 5 13
sen a 5 
10
10
cos a 5 
3
5
tan a 5 15
	28.	Nesta atividade, você e um colega vão construir uma 
tabela de valores muito importantes.
	a) Inicialmente, calculem sen 45°, cos 45° e tan 45° utili-
zando o triângulo retângulo obtido de um quadrado.
2L
45°
L
L
2L
45°
L L
L
L
	b) Calculem sen 30°, cos 30° e tan 30° utilizando o triân-
gulo retângulo obtido de um triângulo equilátero.
30°
3L
2
L
L
2
30°
3L
2
L L
L
2
L
2
60°
	c) Agora, calculem sen 60°, cos 60° e tan 60° utilizan-
do o mesmo triângulo retângulo do item b. Lem-
brem-se de que 30° e 60° são medidas de abertura 
de ângulos complementares. 
	d) Copiem esta tabela no caderno e completem-na 
com os valores que vocês encontraram.
Medida de abertura sen cos tan
30°
45°
60°
	e) Copiem novamente a tabela do item d no cader-
no e, utilizando uma calculadora ou uma planilha 
eletrônica, calculem o valor de cada razão e o re-
gistrem na tabela na forma decimal. Se necessário, 
façam aproximações para 3 casas decimais.
Atividades Não escreva no livro.
A resposta encontra-se nas Orientações específicas deste Manual. 
23. a) sen
11
6
, cos
5
6
e tan
11
5
.G G Gµ µ µ5 5 5
28. As respostas encontram-se nas Orientações específicas deste Manual. 
Professor, no item c, se necessário, mostre aos estudantes o ângulo de 
medida de abertura de 60° no triângulo retângulo do item b.
•	Em um triângulo retângulo com ângulos de medidas de 
abertura de 90°, 45° e 45°, os catetos são congruentes.
•	Em um triângulo retângulo com ângulos de medidas de 
abertura de 90°, 60° e 30°, a medida de comprimento do 
cateto menor (oposto ao ângulo de medida de abertura de 
30°) é a metade da medida de comprimento da hipotenusa.
Fique atento
	29.	Novamente com um colega, usem transferidor e régua 
para construir um triângulo retângulo que tenha um 
ângulo interno com medida de abertura de 40°. Me-
çam o comprimento dos lados do triângulo que vocês 
construíram e, em seguida, calculem sen 40°, cos 40° e 
tan 40°, com aproximação de 3 casas decimais. 
B
a
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c
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e
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Respostas pessoais.
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Cálculo do valor das razões trigonométricas 
de ângulos agudos
Na atividade 28 da página anterior, você e um colega calcularam os valores do 
seno, do cosseno e da tangente de ângulos com medidas de abertura de 30°, 45° e 
60°.
Razões trigonométricas
Medida de abertura sen cos tan
30°
1
2
3
2
3
3
45°
2
2
2
2
1
60°
3
2
1
2
3
Observe, nessa tabela, que a sequência de valores da coluna do seno aparece in-
vertida na coluna do cosseno. Isso ocorre porque 30° e 60° são medidas de abertura 
de ângulos complementares, e 45° é complementar de si mesmo. Observe também 
como os valores da coluna da tangente equivalem à razão dos valores do seno e do 
cosseno, pois tan a 5
a
a
sen
cos
, para 0° < a < 90°.
Muitas vezes, para resolver problemas com triângulos retân-
gulos, precisamos conhecer o seno, o cosseno ou a tangente 
de 30°, 45° e 60° ou de outros ângulos agudos. Para determinar 
esses valores, podemos utilizar uma calculadora científica (físi-
ca, no smartphone, no computador ou on-line) ou consultar uma 
tabela de razões trigonométricas com medidas de abertura de 
ângulos de um em um grau, de 1° a 89°. Veja a seguir alguns 
exemplos de cálculos e, na página 148, compare com os valores 
na tabela de razões trigonométricas (que apresenta valores exa-
tos e valores aproximados com 3 casas decimais).
	a) sen 50°
Com uma calculadora:
0.76604444311sen 55 0
	b) cos 20°
Com uma calculadora:
cos 52 0 0.93969262078
	c) tan 35°
Com uma calculadora:
tan 53 5 0.70020753821
Detalhe de uma calculadora científica.
Professor, também podemos calcular os valores 
das razões trigonométricas utilizando uma planilha 
eletrônica. Para isso, geralmente é preciso converter 
as medidas de abertura dos ângulos de graus para 
radianos. Por exemplo, para calcular cos 20º, usamos 
a combinação de fórmulas = COS(RADIANOS(20)), 
que vai converter 20¡ para radianos e calcular 
o valor do cosseno, apresentando o resultado 
0,9396962078», como na calculadora científica.
Na página 40 os estudantes conhecerão a unidade de 
medida radiano e a conversão entre graus e radianos.
Observe se a calculadora científica está aceitando valores em graus e, 
se necessário, ajuste-a para essa unidade de medida.
Fique atento
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Ângulos com essas medidas 
de abertura são comumente 
chamados de ‰ngulos not‡veis, 
ou seja, ângulos que merecem 
atenção especial. 
Fique atento
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