Calculo - James Stewart - 7 Edição - Volume 2-477

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Se escrevemos F � P i � Q j, então
Em C2, y é constante, portanto dy � 0. Usando t como parâmetro, onde x1 � t � x, temos
pela Parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo (veja a Seção 5.3, no Volume I). Uma argu-
mentação semelhante, usando um segmento de reta vertical (veja a Figura 5), mostra que
Logo,
o que mostra que F é conservativo.
A questão permanece: como é possível saber se um campo vetorial F é conservativo ou
não? Suponha que saibamos que F � P i � Q j é conservativo, onde P e Q têm derivadas
parciais de primeira ordem contínuas. Então existe uma função f tal que F � �f, ou seja, 
e 
Portanto, pelo Teorema de Clairaut, 
Teorema Se F(x, y) � P(x, y) i � Q(x, y) j é um campo vetorial conservativo, onde
P e Q têm derivadas parciais de primeira ordem contínuas em um domínio D, então em
todos os pontos de D temos
A recíproca do Teorema 5 só é verdadeira para um tipo especial de região. Para expli-
carmos isso, precisamos do conceito de curva simples, que é uma curva que não se autoin-
tercepta em nenhum ponto entre as extremidades. [Veja a Figura 6; r(a) � r(b) para uma
curva fechada simples, mas r(t1) � r(t2) quando a � t1 � t2 � b.]
No Teorema 4 precisamos de região conexa por caminhos. Para o próximo teorema, preci-
saremos de uma condição mais forte. Uma região simplesmente conexa no plano é uma região
conexa por caminhos D tal que toda curva fechada simples em D inclui apenas os pontos que
estão em D. Observe a partir da Figura 7 que, intuitivamente falando, uma região simplesmen-
te conexa não contém nenhum buraco e não podem consistir em duas regiões separadas.
Para regiões simplesmente conexas podemos agora enunciar a recíproca do Teorema 5, que
fornece um processo conveniente para verificar se um campo vetorial em �2 é conservativo. A
demonstração será esboçada na próxima seção, como consequência do Teorema de Green.
Teorema Seja F � P i � Q j um campo vetorial em uma região aberta simples-
mente conexa D. Suponha que P e Q tenham derivadas contínuas de primeira ordem e
que
MMMM em todo o D
Então F é conservativo.
�P
�y
�
�Q
�x
�P
�y
�
�Q
�x
�P
�y
�
�2 f
�y �x
�
�2 f
�x �y
�
�Q
�x
Q �
�f
�y
P �
�f
�x
F � P i � Q j �
�f
�x
i �
�f
�y
j � ∇ f
�
�y
f �x, y� �
�
�y y
C2
P dx � Q dy �
�
�y y
y
y1
Q�x, t� dt � Q�x, y�
�
�
�x y
x
x1
P�t, y� dt � P�x, y�
�
�x
f �x, y� �
�
�x y
C2
P dx � Q dy
y
C2
F � dr � y
C2
P dx � Q dy
�
�x
f �x, y� � 0 �
�
�x y
C2
F � dr
6
5
966 CÁLCULO
FIGURA 5
(a, b)
x0
y
D
(x, y)
C¡
C™
(x, y¡)
FIGURA 6
Tipos de curva
simples,
não fechada
não simples,
fechada
não simples,
não fechada
simples,
fechada
FIGURA 7
região simplesmente conexa
regiões que não são simplesmente conexas
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