Cálculo de Volume por Integração Tripla

Prévia do material em texto

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE 
 
INSTITUTO DE MATEMÁTICA, ESTATÍSTICA E FÍSICA 
 
ENGENHARIA CIVIL COSTEIRA E PORTUÁRIA 
ENGENHARIA MECÂNICA NAVAL 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CÁLCULO DE VOLUME POR INTEGRAÇÃO TRIPLA 
 
 
 
 
 
PROFa JURSELEM C. PEREZ 
 
 
 
 
 
 MAIO / 2021 
 
 
 
 
FURG - IMEF - CÁLCULO DIF. E INTEGRAL I 2 
7.4.2.1 – VOLUME DE SÓLIDOS POR INTEGRAÇÃO TRIPLA EM COORDENADAS 
CARTESIANAS 
 
O volume de um sólido limitado por superfícies, cujas equações são dadas, é 
determinado efetuando-se três sucessivas integrações. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
=
T
V d V ou   
=
=
=
=
=
=
=
bz
az
zfy
zfy
zyfx
zyf
V
2
1
)(2
)(
1
),(2
),(
1
x
dzdy dx 
 
 
 
ou   
=
=
=
=
=
=
=
bz
az
zfx
zfx
zxfy
zxf
V
2
1
)(2
)(
1
),(2
),(
1
y
dzdx dy 
 
 
 
ou   
=
=
=
=
=
=
=
bx
ax
xfy
xfy
yxfz
yxf
V
2
1
)(2
)(
1
),(2
),(
1
z
dxdy dz 
 
 
 
 
 
 
 
FURG - IMEF - CÁLCULO DIF. E INTEGRAL I 3 
 
 Exemplos: Calcular o volume do sólido em coordenadas cartesianas situado no 1° 
octante, utilizando a integração tripla: 
 
1) limitado pelos planos x = 0, x = 3, y = 0, y = 4, z = 0 e z= 5; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FURG - IMEF - CÁLCULO DIF. E INTEGRAL I 4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FURG - IMEF - CÁLCULO DIF. E INTEGRAL I 5 
2) limitado pelos planos x = 0, y = 0, z = 0 e 3x + 6y + 4z = 12; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FURG - IMEF - CÁLCULO DIF. E INTEGRAL I 6 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FURG - IMEF - CÁLCULO DIF. E INTEGRAL I 7 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FURG - IMEF - CÁLCULO DIF. E INTEGRAL I 8 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FURG - IMEF - CÁLCULO DIF. E INTEGRAL I 9 
3) limitado pelos planos coordenados, o cilindro y2 + z2 = 4 e x = 3; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FURG - IMEF - CÁLCULO DIF. E INTEGRAL I 10 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FURG - IMEF - CÁLCULO DIF. E INTEGRAL I 11 
4) limitado pelo cilindro parabólico z = 4 – x2 e os planos y = 0, y = 3 e z = 0; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FURG - IMEF - CÁLCULO DIF. E INTEGRAL I 12 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FURG - IMEF - CÁLCULO DIF. E INTEGRAL I 13 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5) limitado pelo paraboloide z = 4 – x2 – y2 e os planos coordenados; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FURG - IMEF - CÁLCULO DIF. E INTEGRAL I 14 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FURG - IMEF - CÁLCULO DIF. E INTEGRAL I 15 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FURG - IMEF - CÁLCULO DIF. E INTEGRAL I 16 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FURG - IMEF - CÁLCULO DIF. E INTEGRAL I 17 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FURG - IMEF - CÁLCULO DIF. E INTEGRAL I 18 
6) compreendido entre o paraboloide y = x2 e os planos y = 4, z = 3 e z = 6; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FURG - IMEF - CÁLCULO DIF. E INTEGRAL I 19 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
	UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE
	INSTITUTO DE MATEMÁTICA, ESTATÍSTICA E FÍSICA
	CÁLCULO DE VOLUME POR INTEGRAÇÃO TRIPLA