análise matemática nota 50 , 2 tentativa

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Nota: 10.0 
Questão 6/10 - Análise Matemática 
Considere o seguinte trecho de texto a seguir: 
 
“Por exemplo quando se diz que uma função f:[c,d]→Rf:[c,d]→R, definida num intervalo 
compacto, é derivável num ponto a∈[c,d]a∈[c,d] isto significam, no caso de a∈(c,d)a∈(c,d), 
que possui as duas derivadas laterais no ponto aa e elas são iguais. No caso de aa ser um dos 
extremos, isto quer dizer apenas que existe, ponto aa, aquela derivada lateral que faz sentido.” 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: 
LIMA, E.L. Curso de análise v.1 . 12. ed. Rio de Janeiro: Associação Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada,2008,p. 257. 
 
De acordo com os conteúdos do livro-base Análise Matemática, assinale a alternativa correta: 
Nota: 10.0 
 A As derivadas laterais f′+(x0)f+′(x0) e f′−(x0)f−′(x0) devem ter valores 
diferentes para exista a derivada no ponto x0x0. 
 B Toda função derivável em um ponto x0x0 é contínua no ponto x0x0. 
Você assinalou essa alternativa (B) 
Você acertou! 
Teorema de derivadas que tem utilidade no estudo da continuidade das 
funções (livro-base p.115 e 116)} 
 C Toda função contínua em um ponto x0x0 é derivável no ponto x0x0. 
 D Uma aplicação das derivadas é a regra de L’Hôpital pode ser aplicada no 
cálculo de limites para qualquer tipo de expressão indeterminada. 
 E Segundo o teorema de Rolle a derivada de um produto de duas funções ff e 
gg é igual ao produto das derivadas. 
 
Questão 7/10 - Análise Matemática 
O primeiro fato a destacar sobre uma série de potências ∑∞nan(x−x0)n∑n∞an(x−x0)n é que 
o conjunto de valores de xx para os quais ela converge é um intervalo de centro x0x0. Esse 
intervalo pode ser limitado (aberto, fechado ou semi-aberto), igual a RR ou até mesmo reduzir-
se a um único ponto. 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: LIMA, E.L. Análise Real . 4. ed. Rio de Janeiro: IMPA, 1999. p.159. 
Considere a expansão da série de potências 
ex=∑∞n=0xnn!=1+x1!+x22!+x33!+⋯(x∈R)ex=∑n=0∞xnn!=1+x1!+x22!+x33!+⋯(x∈
R) 
Assinale a alternativa que contém os valores para x=1. 
Nota: 10.0 
 A e=∑∞n=01n!=1−11+12−16+⋯e=∑n=0∞1n!=1−11+12−16+⋯ 
 B e=∑∞n=01n!=1+11+12+16+⋯e=∑n=0∞1n!=1+11+12+16+⋯ 
Você assinalou essa alternativa (B) 
Você acertou! 
A alternativa correta é a letra b. Substituindo os valores de n no somatório 
temos: 
e=∑∞n=01n!=1+11!+122!+133!+⋯⇒e=∑∞n=01n!=1+11+12+16+⋯e=∑n=0∞1n!=1+1
1!+122!+133!+⋯⇒e=∑n=0∞1n!=1+11+12+16+⋯(livro-base p. 185). 
 C e=∑∞n=01n!=1+13+15+⋯e=∑n=0∞1n!=1+13+15+⋯ 
 
 D e=∑∞n=01n!=1−13+15−⋯e=∑n=0∞1n!=1−13+15−⋯ 
 
 E e=∑∞n=02nn!=1+23+34+⋯e=∑n=0∞2nn!=1+23+34+⋯ 
 
 
Questão 8/10 - Análise Matemática 
Considere o trecho de texto a seguir: 
 
“Quando ff é integrável, sua integral ∫baf(x)dx∫abf(x)dx é o número real cujas aproximações 
por falta são as somas superiores s(f,P)s(f,P) e cujas aproximações por excesso são as somas 
superiores S(f,P)S(f,P).” 
 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: 
 
LIMA, E.L. Análise Real . 4. ed. Rio de Janeiro: IMPA, 1999. p. 122. 
 
 
Conforme os conteúdos estudados no livro-base Análise Matemática, analise as afirmativas a 
seguir e marque V para as afirmativas verdadeiras, e F para as afirmativas falsas. 
 
I. ( ) Pelo Teorema Fundamental do Cálculo podemos deduzir que ∫10x2dx=13∫01x2dx=13. 
II. ( ) Se uma integral é imprópria então ela não pode ser convergente. 
III. ( ) Toda função contínua é integrável. 
Agora marque a sequência correta: 
Nota: 10.0 
 A F – F – F 
 B F – V – V 
 C V – V – F 
 D V – F – V 
Você assinalou essa alternativa (D) 
Você acertou! 
A afirmativa I é verdadeira por ser uma consequência do Teorema 
Fundamental do Cálculo (p.156). A afirmativa II é falsa pois uma integral 
imprópria pode ser tanto convergente como divergente conforme a função e 
o intervalo considerado (p.161). A afirmativa III é verdadeira pois representa 
uma propriedade que tem recíproca falsa ou seja, uma função pode ser 
integrável e não ser contínua (livro-base p.143 e 144) 
 E V – V – V 
 
Questão 9/10 - Análise Matemática 
Leia o fragmento de texto a seguir. 
“(f∘g)′(x)=f′(g(x))⋅g′(x)(f∘g)′(x)=f′(g(x))⋅g′(x). Uma maneira conveniente de lembrar essa 
fórmula consiste em chamar a ‘função de fora’ e g a ‘função de dentro’ na composição 
(fg(x))(fg(x)) e, então, expressar em palavras como: 
A derivada de (f(g(x))(f(g(x)) é a derivada da função de fora calculada na função de dentro 
vezes a derivada da função de dentro”. 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: ANTON, H., BIVENS, I., DAVIS, S. Cálculo. 8. ed. Porto Alegre: Bookman , v. 1. 2007. p. 210-211. 
Considere as funções e f(x)=exf(x)=ex , g(x)=x2+2g(x)=x2+2 e a função composta 
h(x)=f(g(x))=e(x2+2)h(x)=f(g(x))=e(x2+2). 
Com base no fragmento de texto dado e nos conteúdos do livro-base Análise Matemática 
sobre a Regra da Cadeia, assinale a única alternativa que representa a derivada da função 
composta dada. 
Nota: 10.0 
 A h′(x)=(x2+2)e(x2+2)h′(x)=(x2+2)e(x2+2) 
 B h′(x)=(x2+2)e(x2+2)−1⋅2xh′(x)=(x2+2)e(x2+2)−1⋅2x 
 C h′(x)=2x⋅e(x2+2)h′(x)=2x⋅e(x2+2) 
Você assinalou essa alternativa (C) 
Você acertou! 
h′(x)=f′(g(x))g′(x)=e(x2+2)⋅2x=2x⋅e(x2+2)h′(x)=f′(g(x))g′(x)=e(x2+2)⋅2x=2x⋅e(x2+2) 
(livro-base, capítulo 4). 
 
 D h′(x)=(x2+2)e(x2+2)−1h′(x)=(x2+2)e(x2+2)−1 
 E h′(x)=2x⋅e(x2+2)−1h′(x)=2x⋅e(x2+2)−1 
 
Questão 10/10 - Análise Matemática 
Leia o fragmento de texto a seguir: 
 
“Utilizaremos, porém, com frequência cada vez maior, a linguagem geométrica segundo a qual 
nos referimos ao corpo RR como ‘a reta’, diremos ‘ponto’ em vez de ‘número real’, traduziremos 
‘a<ba<b’ por ‘aa está à esquerda de bb’, dados x,y∈Rx,y∈R, interpretaremos o valor 
absoluto |x−y||x−y| como ‘distância do ponto xx ao ponto yy’ e, finalmente, veremos o 
intervalo [a,b][a,b] como o segmento de reta cujos extremos são os pontos aa e bb.” 
 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: 
LIMA, E. L., Curso de Análise. 14. ed. v 1. Rio de Janeiro: Associação Instituto Nacional de 
Matemática Pura e Aplicada, 2013. p. 162. 
 
Conforme os conteúdos do livro-base Análise Matemática sobre noções topológicas da reta, 
analise as afirmativas a seguir e marque V para as afirmativas verdadeiras e F para as 
afirmativas falsas. 
 
I. ( ) O ponto x=1x=1 é um ponto interior do conjunto X={1}∪[32 , 2]X={1}∪[32 , 2]. 
II. ( ) O conjunto X={n | n∈N}X={n | n∈N} não possui pontos de acumulação. 
III. ( ) O ponto x=0x=0 é um ponto de acumulação do conjunto X={12 | n∈N}X={12 | n∈N}. 
IV. ( ) O ponto x=0x=0 é um ponto de aderência do conjunto X={12 | n∈N}X={12 | n∈N}. 
 
 
Assinale a alternativa que contém a sequência correta: 
Nota: 10.0 
 A V-V-F-V 
 B F-F-V-V 
 C V-F-F-V 
 D V-F-V-F 
 E F-V-V-V 
Você assinalou essa alternativa (E) 
Você acertou! 
A alternativa que contém a sequência correta é a letra e). A afirmativa I está 
incorreta, pois qualquer intervalo centrado em x=1x=1 não está contido no 
conjunto XX. A afirmativa II está correta, pois para qualquer x∈Rx∈R, com 
x∉Xx∉X, é fácil ver que existem vizinhanças de xx que não contém pontos 
de XX e para os pontos x∈Xx∈X, existem vizinhanças de xx que contém 
apenas o ponto xx. Logo, não existem pontos de acumulação. A afirmativa 
III está correta, pois qualquer vizinhança de zero contém um ponto diferente 
de zero que pertence ao conjunto XX. A afirmativa IV está correta pois zero 
é o limite da sequência (1n)(1n) que é formada por pontos de XX. (livro-
base, Capítulo 3).