aprendendo matematica -AY

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1. Qual é a solução para a equação diferencial \( \frac{dy}{dx} + 2y = e^{-x} \)? 
 a) \( y = e^{-x} \) 
 b) \( y = \frac{1}{2}e^{-x} \) 
 c) \( y = \frac{e^{-x}}{2} \) 
 d) \( y = e^{-x} - \frac{e^{-x}}{2} \) 
 
 Resposta: d) \( y = e^{-x} - \frac{e^{-x}}{2} \) 
 
 Explicação: A equação diferencial é uma equação linear de primeira ordem. A solução geral é 
\( y = e^{-x} \left( C + \frac{1}{2} \right) \), onde \( C \) é uma constante. Aqui, usando \( C = -
\frac{1}{2} \), obtemos \( y = e^{-x} - \frac{e^{-x}}{2} \). 
 
2. Se \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6 \), qual é a soma das raízes de \( f(x) \)? 
 a) 6 
 b) 11 
 c) 4 
 d) 3 
 
 Resposta: d) 3 
 
 Explicação: A soma das raízes de um polinômio \( ax^n + bx^{n-1} + \cdots + k = 0 \) é dada 
por \( -\frac{b}{a} \). Para \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6 \), temos \( a = 1 \) e \( b = -6 \). Assim, a 
soma das raízes é \( -\frac{-6}{1} = 6 \). 
 
3. Qual é o valor de \( \int_0^1 x e^{x^2} \, dx \)? 
 a) \( \frac{e - 1}{2} \) 
 b) \( \frac{e - 1}{4} \) 
 c) \( \frac{e^2 - 1}{2} \) 
 d) \( \frac{e^2 - 1}{4} \) 
 
 Resposta: a) \( \frac{e - 1}{2} \) 
 
 Explicação: Usando a substituição \( u = x^2 \), \( du = 2x \, dx \). Assim, \( \int_0^1 x e^{x^2} 
\, dx = \frac{1}{2} \int_0^1 e^u \, du = \frac{1}{2} \left[ e^u \right]_0^1 = \frac{e - 1}{2} \). 
 
4. Qual é o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} \)? 
 a) 0 
 b) 1 
 c) \(\infty\) 
 d) Não existe 
 
 Resposta: b) 1 
 
 Explicação: Este é um limite fundamental em cálculo. Usando a série de Taylor ou o teorema 
de L'Hôpital, temos que \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1 \). 
 
5. Se \( A \) e \( B \) são duas matrizes \( 2 \times 2 \) tais que \( A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 
& 4 \end{pmatrix} \) e \( B = \begin{pmatrix} 4 & 3 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \), qual é o valor de 
\( \text{tr}(AB) \), onde \( \text{tr} \) representa a soma dos elementos diagonais principais? 
 a) 14 
 b) 10 
 c) 8 
 d) 12 
 
 Resposta: a) 14 
 
 Explicação: Primeiro, calcule o produto \( AB \): 
 \[ 
 AB = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 & 3 \\ 2 & 1 
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 + 4 & 3 + 2 \\ 12 + 8 & 9 + 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 
12 & 5 \\ 20 & 13 \end{pmatrix} 
 \] 
 A soma dos elementos diagonais principais de \( AB \) é \( 12 + 13 = 25 \). 
 
6. Qual é a solução da equação \( e^{2x} = 7 \)? 
 a) \( \frac{1}{2} \ln 7 \) 
 b) \( \ln 7 \) 
 c) \( \frac{1}{2} \ln \frac{7}{2} \) 
 d) \( \frac{1}{2} \ln 2 \) 
 
 Resposta: a) \( \frac{1}{2} \ln 7 \) 
 
 Explicação: Para resolver \( e^{2x} = 7 \), tome o logaritmo natural dos dois lados: \( 2x = \ln 7 
\). Divida por 2 para obter \( x = \frac{1}{2} \ln 7 \). 
 
7. Qual é a derivada de \( \ln(x^2 + 1) \)? 
 a) \( \frac{2x}{x^2 + 1} \) 
 b) \( \frac{x}{x^2 + 1} \) 
 c) \( \frac{1}{x^2 + 1} \) 
 d) \( \frac{x^2}{x^2 + 1} \) 
 
 Resposta: a) \( \frac{2x}{x^2 + 1} \) 
 
 Explicação: Usando a regra da cadeia, a derivada de \( \ln(u) \) é \( \frac{u'}{u} \), onde \( u = 
x^2 + 1 \) e \( u' = 2x \). Então, a derivada é \( \frac{2x}{x^2 + 1} \). 
 
8. Qual é o valor de \( \lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 - 2x + 5}{x^2 + 1} \)? 
 a) 3 
 b) 2 
 c) 1 
 d) 5 
 
 Resposta: a) 3 
 
 Explicação: Divida o numerador e o denominador pelo termo de maior grau, \( x^2 \):