resolução BU

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b) 3 
 c) 6 
 d) 11 
 
 **Resposta: b) 3** 
 **Explicação:** Pelo Teorema de Vieta, a soma das raízes de um polinômio \( ax^3 + bx^2 + 
cx + d \) é dada por \( -b/a \). Aqui, \( a = 1 \) e \( b = -6 \), então a soma das raízes é \( -(-6)/1 = 
6/1 = 6 \). 
 
2. **Qual é o valor de \( \int_0^1 e^x \, dx \)?** 
 a) \( e - 1 \) 
 b) \( e \) 
 c) \( 1 - e \) 
 d) \( e^2 - 1 \) 
 
 **Resposta: a) \( e - 1 \)** 
 **Explicação:** A integral de \( e^x \) é \( e^x \). Avaliando de 0 a 1, temos \( e^1 - e^0 = e - 
1 \). 
 
3. **Qual é a solução para a equação diferencial \( \frac{dy}{dx} = xy \)?** 
 a) \( y = Ce^x \) 
 b) \( y = Cx^2 \) 
 c) \( y = C \sin(x) \) 
 d) \( y = C \cos(x) \) 
 
 **Resposta: a) \( y = Ce^x \)** 
 **Explicação:** Esta é uma equação diferencial separável. Reescrevendo \( \frac{dy}{y} = x \, 
dx \), integrando ambos os lados, obtemos \( \ln|y| = \frac{x^2}{2} + C \). Portanto, \( y = e^{C} 
e^{\frac{x^2}{2}} \), onde \( e^C \) é uma constante \( C \). 
 
4. **Qual é o valor de \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \)?** 
 a) \( \frac{\pi^2}{6} \) 
 b) \( \frac{\pi}{6} \) 
 c) \( \frac{\pi^2}{4} \) 
 d) \( 1 \) 
 
 **Resposta: a) \( \frac{\pi^2}{6} \)** 
 **Explicação:** A soma da série dos inversos dos quadrados é conhecida como a série de 
Basilea e sua soma é \( \frac{\pi^2}{6} \). 
 
5. **Qual é o determinante da matriz \( \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \)?** 
 a) -2 
 b) 2 
 c) -5 
 d) 5 
 
 **Resposta: c) -5** 
 **Explicação:** O determinante de uma matriz \( \begin{pmatrix} a & b \\ c & d 
\end{pmatrix} \) é calculado por \( ad - bc \). Portanto, o determinante é \( (1 \cdot 4) - (2 
\cdot 3) = 4 - 6 = -2 \). 
 
6. **Se \( z \) é um número complexo tal que \( z^2 = -1 \), qual é o módulo de \( z \)?** 
 a) 0 
 b) 1 
 c) \( \sqrt{2} \) 
 d) 2 
 
 **Resposta: b) 1** 
 **Explicação:** Os números complexos cuja potência é \( -1 \) são \( i \) e \( -i \). Ambos têm 
módulo igual a 1. 
 
7. **Se \( A = \{1, 2, 3, 4, 5\} \), quantos subconjuntos de \( A \) contêm exatamente 3 
elementos?** 
 a) 10 
 b) 20 
 c) 30 
 d) 40 
 
 **Resposta: a) 10** 
 **Explicação:** O número de subconjuntos de um conjunto com \( n \) elementos que têm 
exatamente \( k \) elementos é dado pelo coeficiente binomial \( \binom{n}{k} \). Aqui, \( 
\binom{5}{3} = 10 \). 
 
8. **Qual é o valor de \( \log_{10}(1000) \)?** 
 a) 1 
 b) 2 
 c) 3 
 d) 4 
 
 **Resposta: c) 3** 
 **Explicação:** \( 1000 = 10^3 \), portanto, \( \log_{10}(1000) = 3 \). 
 
9. **Qual é a solução para a equação \( \sin(x) = \frac{1}{2} \) no intervalo \( [0, 2\pi) \)?** 
 a) \( \frac{\pi}{6} \) e \( \frac{5\pi}{6} \) 
 b) \( \frac{\pi}{4} \) e \( \frac{3\pi}{4} \) 
 c) \( \frac{\pi}{3} \) e \( \frac{2\pi}{3} \) 
 d) \( \frac{\pi}{2} \) e \( \frac{3\pi}{2} \) 
 
 **Resposta: a) \( \frac{\pi}{6} \) e \( \frac{5\pi}{6} \)** 
 **Explicação:** \( \sin(x) = \frac{1}{2} \) ocorre em \( x = \frac{\pi}{6} \) e \( x = \frac{5\pi}{6} 
\) no intervalo dado. 
 
10. **Qual é o valor de \( \frac{d^2}{dx^2} \left( e^{2x} \right) \) para \( x = 0 \)?** 
 a) \( e^0 \) 
 b) \( 2e^0 \) 
 c) \( 4e^0 \) 
 d) \( 8e^0 \)