exame BYV

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D) \(-\infty\) 
Resposta: A) 3. Explicação: Para limites quando \( x \to \infty \), considera-se o termo de 
maior grau no numerador e no denominador. Aqui, ambos têm \( x^3 \) como termo 
dominante, resultando em \( \frac{3}{1} = 3 \). 
 
2. Determine a derivada de \( g(x) = \ln(x^2 + 1) \). 
A) \( \frac{2x}{x^2 + 1} \) 
B) \( \frac{1}{x^2 + 1} \) 
C) \( \frac{2x}{(x^2 + 1)^2} \) 
D) \( \frac{2}{x^2 + 1} \) 
Resposta: A) \( \frac{2x}{x^2 + 1} \). Explicação: Usando a regra da cadeia, a derivada de \( 
\ln(u) \) é \( \frac{1}{u} \cdot u' \), onde \( u = x^2 + 1 \) e \( u' = 2x \). 
 
3. Qual é a integral definida de \( h(x) = 4x^3 - 2x + 1 \) de 1 a 3? 
A) 20 
B) 22 
C) 18 
D) 16 
Resposta: B) 22. Explicação: A integral \( \int (4x^3 - 2x + 1) \, dx \) resulta em \( x^4 - x^2 + 
x \). Avaliando entre 1 e 3, temos \( (3^4 - 3^2 + 3) - (1^4 - 1^2 + 1) = 81 - 9 + 3 - (1 - 1 + 1) = 
75 - 1 = 74 \). 
 
4. Se \( f(x) = e^{2x} \sin(x) \), qual é a derivada \( f'(x) \)? 
A) \( 2e^{2x}\sin(x) + e^{2x}\cos(x) \) 
B) \( e^{2x}(2\sin(x) + \cos(x)) \) 
C) \( e^{2x}(2\sin(x) + 2\cos(x)) \) 
D) \( e^{2x}(2\sin(x) - \cos(x)) \) 
Resposta: B) \( e^{2x}(2\sin(x) + \cos(x)) \). Explicação: Utilizando a regra do produto, 
temos \( u = e^{2x} \) e \( v = \sin(x) \), então \( u' = 2e^{2x} \) e \( v' = \cos(x) \). 
 
5. Qual é a equação da reta tangente à curva \( y = x^2 + 4x \) no ponto onde \( x = 1 \)? 
A) \( y = 6x - 5 \) 
B) \( y = 2x + 3 \) 
C) \( y = 2x + 2 \) 
D) \( y = 4x + 1 \) 
Resposta: A) \( y = 6x - 5 \). Explicação: A derivada \( y' = 2x + 4 \) avaliada em \( x = 1 \) dá \( 
6 \). O ponto é \( (1, 5) \), logo, a equação da tangente é \( y - 5 = 6(x - 1) \). 
 
6. Qual é a integral indefinida de \( \frac{1}{x^2 + 4} \)? 
A) \( \frac{1}{2} \tan^{-1}\left(\frac{x}{2}\right) + C \) 
B) \( \frac{1}{4} \tan^{-1}(x) + C \) 
C) \( \frac{1}{2} \ln|x^2 + 4| + C \) 
D) \( \frac{1}{4} \tan^{-1}\left(\frac{x}{2}\right) + C \) 
Resposta: A) \( \frac{1}{2} \tan^{-1}\left(\frac{x}{2}\right) + C \). Explicação: A integral é 
resolvida usando a substituição \( x = 2\tan(\theta) \) e a fórmula da integral da tangente 
inversa. 
 
7. Qual é o valor da série \( S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \)? 
A) \( \frac{\pi^2}{6} \) 
B) 1 
C) \( \frac{1}{2} \) 
D) 0 
Resposta: A) \( \frac{\pi^2}{6} \). Explicação: Esta é uma série convergente conhecida 
como a série de Basileia. 
 
8. Encontre o valor da integral \( \int_0^1 x e^{x^2} \, dx \). 
A) \( \frac{1}{2}(e - 1) \) 
B) \( \frac{1}{2}(e^2 - 1) \) 
C) \( \frac{1}{2}(e) \) 
D) \( \frac{1}{2}(e^2) \) 
Resposta: A) \( \frac{1}{2}(e - 1) \). Explicação: Usando a substituição \( u = x^2 \), temos \( 
du = 2x \, dx \), e a integral se transforma em \( \frac{1}{2} \int_0^1 e^u \, du \). 
 
9. Determine o valor do determinante da matriz \( A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 
\end{pmatrix} \). 
A) -2 
B) 10 
C) -10 
D) 2 
Resposta: A) -2. Explicação: O determinante é calculado como \( ad - bc = 1 \cdot 4 - 2 
\cdot 3 = 4 - 6 = -2 \). 
 
10. Qual é a série de Taylor de \( f(x) = e^x \) centrada em \( x = 0 \) até o termo de \( x^4 \)? 
A) \( 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24} \) 
B) \( 1 + x + x^2 + x^3 + x^4 \) 
C) \( 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} \) 
D) \( 1 + \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} \) 
Resposta: A) \( 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24} \). Explicação: A série de 
Taylor para \( e^x \) é \( \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} \). 
 
11. Calcule o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(5x)}{x} \). 
A) 5 
B) 1 
C) 0 
D) \( \infty \) 
Resposta: A) 5. Explicação: Utilizando a regra do limite fundamental, \( \lim_{x \to 0} 
\frac{\sin(kx)}{x} = k \). 
 
12. Qual é a solução geral da equação diferencial \( \frac{dy}{dx} = 3y \)? 
A) \( y = Ce^{3x} \) 
B) \( y = \frac{C}{3}e^{x} \) 
C) \( y = Ce^{x} \) 
D) \( y = Cx^3 \) 
Resposta: A) \( y = Ce^{3x} \). Explicação: A equação é separável e a solução é obtida por 
integração. 
 
13. Se \( f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1} \), qual é o valor de \( \lim_{x \to 1} f(x) \)? 
A) 2