math and cal u

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**Resposta:** \( \frac{1}{3} e^{3x} + C \). 
 **Explicação:** Use a substituição \( u = 3x \). A integral se transforma em \( \frac{1}{3} \int 
e^u \, du \). 
 
17. **Problema:** Determine o valor de \( \frac{d^2}{dx^2} \left( \sin(x^2) \right) \). 
 **Resposta:** \( \frac{d^2}{dx^2} \left( \sin(x^2) \right) = \cos(x^2) \cdot 4x^2 - \sin(x^2) 
\cdot 4x^2 \). 
 **Explicação:** Use a regra da cadeia para calcular a segunda derivada. 
 
18. **Problema:** Resolva a equação \( x^4 - 4x^2 + 4 = 0 \). 
 **Resposta:** \( x = \pm 1, \pm 2 \). 
 **Explicação:** Reescreva a equação como \( (x^2 - 2)^2 = 0 \), e resolva para \( x^2 = 2 \). 
 
19. **Problema:** Determine o valor da série \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^3} \). 
 **Resposta:** \( \zeta(3) \), onde \( \zeta \) é a função zeta de Riemann. 
 **Explicação:** Esta é uma série conhecida como a série de Apery. 
 
20. **Problema:** Calcule a integral \( \int \frac{1}{x \ln(x)} \, dx \). 
 **Resposta:** \( \ln|\ln(x)| + C \). 
 **Explicação 
 
:** Use a substituição \( u = \ln(x) \), então \( du = \frac{1}{x} dx \). 
 
21. **Problema:** Encontre o valor de \( \int_0^1 x^2 e^x \, dx \). 
 **Resposta:** \( \frac{1}{e} (e - 2) \). 
 **Explicação:** Use a integração por partes duas vezes. 
 
22. **Problema:** Resolva o sistema de equações \( \begin{cases} 2x + 3y = 5 \\ 4x - y = 1 
\end{cases} \). 
 **Resposta:** \( x = 1, y = 1 \). 
 **Explicação:** Multiplique a segunda equação por 3 e some à primeira para encontrar \( x 
\). Substitua para encontrar \( y \). 
 
23. **Problema:** Determine o valor de \( \int_0^{\pi/2} \sin^2(x) \, dx \). 
 **Resposta:** \( \frac{\pi}{4} \). 
 **Explicação:** Use a identidade \( \sin^2(x) = \frac{1 - \cos(2x)}{2} \) para simplificar a 
integral. 
 
24. **Problema:** Calcule o limite de \( \lim_{x \to \infty} \left( \frac{x^2 + 2x + 1}{x^2 - x + 1} 
\right) \). 
 **Resposta:** 1. 
 **Explicação:** Divida o numerador e o denominador por \( x^2 \). O limite é \( 1 \). 
 
25. **Problema:** Encontre a solução da equação \( \cos(x) + \sin(x) = 1 \). 
 **Resposta:** \( x = \frac{\pi}{4} + 2n\pi \). 
 **Explicação:** Reescreva a equação como \( \sqrt{2} \cos\left(x - \frac{\pi}{4}\right) = 1 \), 
e resolva para \( x \). 
 
26. **Problema:** Determine a matriz adjunta de \( \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 
\end{pmatrix} \). 
 **Resposta:** \( \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix} \). 
 **Explicação:** Calcule os cofatores da matriz original. 
 
27. **Problema:** Resolva a equação \( x^3 - 6x + 8 = 0 \). 
 **Resposta:** \( x = 2, -1 \pm \sqrt{3} \). 
 **Explicação:** Use o método de fatoração e a fórmula cúbica. 
 
28. **Problema:** Calcule o valor da integral \( \int e^{-x} \sin(x) \, dx \). 
 **Resposta:** \( \frac{e^{-x}}{2} (\sin(x) - \cos(x)) + C \). 
 **Explicação:** Use a integração por partes duas vezes. 
 
29. **Problema:** Determine o valor de \( \int_0^\pi x \sin(x) \, dx \). 
 **Resposta:** \( \pi \). 
 **Explicação:** Use a integração por partes para resolver a integral.