questões q

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71. **Problema:** Encontre a derivada de \(f(x) = \sqrt{e^x}\). 
 **Resposta:** \(f'(x) = \frac{1}{2} e^{x/2}\) 
 **Explicação:** Reescrevemos a função como \(e^{x/2}\) e derivamos. 
 
72. **Problema:** Determine a integral \(\int_{0}^{\pi/2} \cos^3(x) \, dx\). 
 **Resposta:** \(\frac{4}{9}\) 
 **Explicação:** Usamos a identidade \(\cos^3(x) = \cos(x) (1 - \sin^2(x))\) e integramos. 
 
73. **Problema:** Calcule a integral \(\int e^x \sqrt{x} \, dx\). 
 **Resposta:** \(\frac{2}{3} e^x \sqrt{x} - \frac{4}{9} e^x x^{3/2} + C\) 
 **Explicação:** Usamos integração por partes. 
 
74. **Problema:** Encontre a derivada de \(f(x) = \frac{\cos(x)}{\ln(x)}\). 
 **Resposta:** \(f'(x) = \frac{-\ln(x) \sin(x) - \cos(x)}{(\ln(x))^2}\) 
 **Explicação:** Usamos a regra do quociente. 
 
75. **Problema:** Determine a integral indefinida \(\int x^2 \cdot \sqrt{1 - x^2} \, dx\). 
 **Resposta:** \(-\frac{(1 - x^2)^{3/2}}{3} + C\) 
 **Explicação:** Usamos a substituição \(u = 1 - x^2\). 
 
76. **Problema:** Calcule \(\int_{0}^{1} x^2 e^x \, dx\). 
 **Resposta:** \((e - 3) + 2e\) 
 **Explicação:** Usamos integração por partes duas vezes. 
 
77. **Problema:** Encontre a derivada de \(f(x) = \sqrt{\ln(x)}\). 
 **Resposta:** \(f'(x) = \frac{1}{2x \sqrt{\ln(x)}}\) 
 **Explicação:** Usamos a regra da cadeia. 
 
78. **Problema:** Determine a integral \(\int_{0}^{\pi} \sin(x) \, \cos^2(x) \, dx\). 
 **Resposta:** \(\frac{2}{3}\) 
 **Explicação:** Usamos a identidade \(\cos^2(x) = 1 - \sin^2(x)\) e integramos. 
 
79. **Problema:** Calcule a integral \(\int e^{x^2} \sin(x) \, dx\). 
 **Resposta:** Não possui uma antiderivada expressa em termos de funções elementares. 
 **Explicação:** Esta integral está associada a funções especiais. 
 
80. **Problema:** Encontre a derivada de \(f(x) = \frac{e^x}{x + 1}\). 
 **Resposta:** \(f'(x) = \frac{e^x (x - 1) - e^x}{(x + 1)^2}\) 
 **Explicação:** Usamos a regra do quociente. 
 
Se precisar de mais detalhes sobre alguma dessas respostas ou quiser explorar outros 
problemas, sinta-se à vontade para perguntar! 
Claro, vou gerar uma lista de 100 problemas matemáticos com equações desafiadoras, 
incluindo respostas e explicações. Vamos começar! 
 
1. **Problema:** Resolva \( x^3 - 3x^2 - 4x + 12 = 0 \). 
 **Resposta:** \( x = 2 \) 
 **Explicação:** Fatorando a equação, temos \((x - 2)(x^2 - x - 6) = 0\). Fatorando \( x^2 - x - 6 
= (x - 3)(x + 2) \), obtemos as raízes \( x = 2, x = 3, x = -2 \). 
 
2. **Problema:** Resolva a equação diferencial \( \frac{dy}{dx} = y^2 - x^2 \). 
 **Resposta:** A solução geral é dada por \( y = \pm \sqrt{C + x^2} \), onde \( C \) é uma 
constante. 
 **Explicação:** Integrando separadamente, usamos métodos de integração para encontrar a 
solução. 
 
3. **Problema:** Encontre os valores de \( x \) que satisfazem \( \sin(x) + \sin(2x) = 0 \). 
 **Resposta:** \( x = n\pi \) e \( x = \frac{(2n+1)\pi}{3} \), onde \( n \) é um número inteiro. 
 **Explicação:** Usando a identidade \(\sin(2x) = 2 \sin(x) \cos(x)\), obtemos a equação 
\(\sin(x)(1 + 2 \cos(x)) = 0\). 
 
4. **Problema:** Resolva a equação \( x^2 + 4x + 4 = 0 \). 
 **Resposta:** \( x = -2 \) 
 **Explicação:** A equação é um quadrado perfeito \((x + 2)^2 = 0\).