Questões resolvidas
Resolva a integral \(\int x \sin(x) \, dx\).
Calcule o limite \(\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x} - 1}{x - 1}\).
Resolva a integral \(\int e^{-x^2} \, dx\).
Encontre o limite \(\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x}\).
Resolva a integral \(\int \frac{1}{x \sqrt{x^2 - 1}} \, dx\).
Calcule a integral \( \int \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} \, dx \).
Encontre a derivada de \(f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}\).
Resolva a integral \(\int x \ln(x) \, dx\).
Calcule o limite \(\lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{-x}}{2x}\).
Encontre a integral \(\int \frac{1}{x^2 + 4x + 5} \, dx\).
Resolva o limite \(\lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + 3x + 2}{x^2 - x + 1}\).
Encontre a derivada de \(f(x) = \arctan(x)\).
Resolva a equação diferencial \( \frac{d^2y}{dx^2} - 5 \frac{dy}{dx} + 6y = 0 \).
Resolva \( x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0 \).
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89. **Problema:** Resolva a integral \(\int x \sin(x) \, dx\).
**Resposta:** \(-x \cos(x) + \sin(x) + C\).
**Explicação:** Use a integração por partes.
90. **Problema:** Calcule o limite \(\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x} - 1}{x - 1}\).
**Resposta:** \(\frac{1}{2}\).
**Explicação:** Multiplique o numerador e denominador pela expressão conjugada.
91. **Problema:** Resolva a integral \(\int e^{-x^2} \, dx\).
**Resposta:** Não tem uma forma elementar.
**Explicação:** Esta integral é conhecida como a função erro.
92. **Problema:** Encontre o limite \(\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x}\).
**Resposta:** 1.
**Explicação:** Este limite é conhecido e resulta da derivada de \(\ln(x)\) em \(x = 1\).
93. **Problema:** Resolva a integral \(\int \frac{1}{x \sqrt{x^2 - 1}} \, dx\).
**Resposta:** \(\text{arccos}\left(\frac{1}{x}\right) + C\).
**Explicação:** Use a substituição \(x = \sec(\theta)\).
94. **Problema:** Calcule a integral \(\int \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} \, dx\).
**Resposta:** \(-\sqrt{1 - x^2} + C\).
**Explicação:** Use a substituição \(x = \sin(\theta)\).
95. **Problema:** Encontre a derivada de \(f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}\).
**Resposta:** \(-\frac{1}{2} x^{-3/2}\).
**Explicação:** Use a regra da potência.
96. **Problema:** Resolva a integral \(\int x \ln(x) \, dx\).
**Resposta:** \(\frac{x^2 \ln(x)}{2} - \frac{x^2}{4} + C\).
**Explicação:** Use a integração por partes.
97. **Problema:** Calcule o limite \(\lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{-x}}{2x}\).
**Resposta:** 1.
**Explicação:** Este é o limite da função hiperbólica \(\sinh(x)\).
98. **Problema:** Encontre a integral \(\int \frac{1}{x^2 + 4x + 5} \, dx\).
**Resposta:** \(\frac{1}{\sqrt{3}} \arctan\left(\frac{2x + 4}{\sqrt{3}}\right) + C\).
**Explicação:** Complete o quadrado e use substituição.
99. **Problema:** Resolva o limite \(\lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + 3x + 2}{x^2 - x + 1}\).
**Resposta:** 1.
**Explicação:** Divida o numerador e denominador por \(x^2\).
100. **Problema:** Encontre a derivada de \(f(x) = \arctan(x)\).
**Resposta:** \(\frac{1}{1 + x^2}\).
**Explicação:** A derivada da função arco tangente.
Vamos começar! Vou criar 100 problemas de equações difíceis, abrangendo diferentes áreas da
matemática, com as respostas e explicações.
### 1. Equação Diferencial
**Problema:** Resolva a equação diferencial \( \frac{d^2y}{dx^2} - 5 \frac{dy}{dx} + 6y = 0 \).
**Resposta:** \( y(x) = C_1 e^{2x} + C_2 e^{3x} \).
**Explicação:** A equação é de segunda ordem e tem coeficientes constantes. A solução geral
é encontrada resolvendo a equação característica \( r^2 - 5r + 6 = 0 \), cujas raízes são \( r = 2 \)
e \( r = 3 \).
### 2. Equação Algébrica
**Problema:** Resolva \( x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0 \).
**Resposta:** \( x = 1, 2, 3 \).
**Explicação:** Fatoramos o polinômio como \( (x-1)(x-2)(x-3) = 0 \). As raízes são os valores
de \( x \) que tornam cada fator zero.Mais conteúdos dessa disciplina
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