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Resposta: \(\text{Não existe uma antiderivada elementar}. \) 
Explicação: Esta integral é expressa em termos da função integral exponencial \( \text{Ei}(x) \). 
 
23. **Calcule a derivada de:** \(f(x) = \arcsin(x^2)\). 
Resposta: \(f'(x) = \frac{2x}{\sqrt{1 - x^4}}\). 
Explicação: Usando a regra da cadeia e a derivada de \(\arcsin(u)\), obtemos o resultado. 
 
24. **Determine a integral definida:** \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^2(x) \, dx\). 
Resposta: \(\frac{\pi}{4}\). 
Explicação: Usando a identidade trigonométrica e a integral de \(\sin^2(x)\), o resultado é 
\(\frac{\pi}{4}\). 
 
25. **Calcule o limite:** \(\lim_{x \to \infty} \frac{x^3}{e^x}\). 
Resposta: \(0\). 
Explicação: A função exponencial cresce mais rapidamente do que qualquer função polinomial, 
então o limite é zero. 
 
26. **Encontre a integral indefinida:** \(\int \ln(x) \, dx\). 
Resposta: \(x \ln(x) - x + C\). 
Explicação: Usando integração por partes, obtemos o resultado. 
 
27. **Determine a derivada de:** \(f(x) = \tan^{-1}(x^2)\). 
Resposta: \(f'(x) = \frac{2x}{1 + x^4}\). 
Explicação: Usando a regra da cadeia, a derivada de \(\tan^{-1}(x^2)\) é \(\frac{2x}{1 + x^4}\). 
 
28. **Calcule o limite:** \(\lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 1}{x}\). 
Resposta: \(1\). 
Explicação: Usando a série de Taylor para \(e^x\), o limite é \(\lim_{x \to 0} \frac{x + 
\frac{x^2}{2!} + \cdots - 1}{x} = 1\). 
 
29. **Encontre a integral definida:** \(\int_{1}^{2} \frac{1}{x^2} \, dx\). 
Resposta: \(1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}\). 
Explicação: A integral de \(\frac{1}{x^2}\) é \(-\frac{1}{x}\), então avaliamos entre 1 e 2. 
 
30. **Determine a segunda derivada de:** \(f(x) = x e^x\). 
Resposta: \(f''(x) = (x + 2)e^x\). 
Explicação: A primeira derivada é \(f'(x) = e^x + x e^x\) e a segunda derivada é obtida 
diferenciando novamente. 
 
31. **Calcule o limite:** \(\lim_{x \to \infty} \frac{\ln(x)}{x^2}\). 
Resposta: \(0\). 
Explicação: Usando a regra de L'Hôpital, temos \(\lim_{x \to \infty} \frac{1/x}{2x} = 0\). 
 
32. **Encontre a integral indefinida:** \(\int e^{-x^2} \, dx\). 
Resposta: \(\text{Não existe uma antiderivada elementar}. \) 
Explicação: A função é conhecida pela integral de Gauss, que não tem uma antiderivada 
elementar. 
 
33. **Calcule a derivada de:** \(f(x) = \frac{x^2}{\sqrt{1 + x^2}}\). 
Resposta: \(f'(x) = \frac{1}{(1 + x^2)^{3/2}}\). 
Explicação: Usando a regra do quociente e a regra da cadeia, obtemos o resultado. 
 
34. **Determine a integral definida:** \(\int_{0}^{1} x \cos(x) \, dx\). 
Resposta: \(\frac{1 - \sin(1)}{2}\). 
Explicação: Usando integração por partes, obtemos o resultado. 
 
35. **Calcule o limite:** \(\lim_{x \to 0} \frac{\tan(x)}{x}\). 
Resposta: \(1\). 
Explicação: Usando a série de Taylor para \(\tan(x)\), o limite é \(\lim_{x \to 0} \frac{x + 
\frac{x^3}{3} + \cdots}{x} = 1\). 
 
36. **Encontre a derivada de:** \(f(x) = e^{\cos(x)}\). 
Resposta: \(f'(x) = -e^{\cos(x)} \sin(x)\). 
Explicação: Usando a regra da cadeia, a derivada de \(e^{\cos(x)}\) é \(-e^{\cos(x)} \sin(x)\).