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**54. Encontre a série de Taylor para \( \frac{1}{1 - x} \) em torno de \( x = 0 \).** 
Resposta: \(\sum_{n=0}^\infty x^n\) 
Explicação: Esta é uma série geométrica com razão \(x\). 
 
**55. Resolva a equação diferencial \(y'' + 4y' + 4y = 0\).** 
Resposta: \(y = (C_1 + C_2 x) e^{-2x}\) 
Explicação: A equação característica é \((r + 2)^2 = 0\), com uma raiz dupla. 
 
**56. Calcule a integral \(\int \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} \, dx\).** 
Resposta: \(-\sqrt{1 - x^2} + C\) 
Explicação: Usando a substituição \(u = 1 - x^2\), obtemos a solução. 
 
**57. Determine a integral \(\int_0^1 x^3 \ln(x) \, dx\).** 
Resposta: \(-\frac{1}{16}\) 
Explicação: Usando integração por partes, obtemos a solução final. 
 
**58. Encontre o valor de \(\lim_{x \to 0} \frac{\tan(x)}{x}\).** 
Resposta: 1 
Explicação: Este limite pode ser demonstrado pela série de Taylor ou pela definição da derivada 
de \(\tan(x)\). 
 
**59. Resolva a equação \(x^2 + xy + y^2 = 1\) para \(x = 0.5\).** 
Resposta: \(y = \pm \sqrt{0.75}\) 
Explicação: Substituindo \(x = 0.5\) na equação, obtemos \(y = \pm \sqrt{1 - 0.25} = \pm 
\sqrt{0.75}\). 
 
**60. Calcule a integral \(\int_0^1 \sqrt{1 - x^2} \, dx\).** 
Resposta: \(\frac{\pi}{4}\) 
Explicação: A integral representa a área de um quarto de círculo de raio 1. 
 
**61. Encontre a solução da equação diferencial \(y' = \frac{x^2 + 1}{y}\).** 
Resposta: \(y^2 = x^3 + x + C\) 
Explicação: Usando separação de variáveis e integrando, obtemos a solução. 
 
**62. Calcule a integral \(\int \cos^2(x) \, dx\).** 
Resposta: \(\frac{x}{2} + \frac{\sin(2x)}{4} + C\) 
Explicação: Usando a identidade \(\cos^2(x) = \frac{1 + \cos(2x)}{2}\), obtemos a integral. 
 
**63. Resolva a equação diferencial \(y'' - 2y' + y = 0\).** 
Resposta: \(y = C_1 e^x + C_2 xe^x\) 
Explicação: A equação característica é \((r - 1)^2 = 0\), com uma raiz dupla. 
 
**64. Encontre a série de Taylor para \( \frac{1}{1 + x} \) em torno de \( x = 0 \).** 
Resposta: \(\sum_{n=0}^\infty (-1)^n x^n\) 
Explicação: Esta é a série geométrica com razão \(-x\). 
 
**65. Calcule o valor de \(\lim_{x \to 0} \frac{\cos(x) - 1}{x^2}\).** 
Resposta: \(-\frac{1}{2}\) 
Explicação: Este limite pode ser demonstrado pela série de Taylor ou pela definição da derivada 
de \(\cos(x)\). 
 
**66. Resolva a equação diferencial \(y' = x e^y\).** 
Resposta: \(e^{-y} = \frac{1}{2} x^2 + C\) 
Explicação: Usando separação de variáveis e integrando, obtemos a solução. 
 
**67. Determine a integral \(\int \frac{x^2}{\sqrt{x^2 + 1}} \, dx\).** 
Resposta: \(\frac{1}{3} (x^2 + 1)^{3/2} + C\) 
Explicação: Usando a substituição \(u = x^2 + 1\), obtemos a solução. 
 
**68. Encontre o valor de \(\int_0^\pi \sin^2(x) \, dx\).** 
Resposta: \(\frac{\pi}{2}\) 
Explicação: Usando a identidade \(\sin^2(x) = \frac{1 - \cos(2x)}{2}\), obtemos a integral.