aulas b cF

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**Resposta:** \( x = 1 \) e \( x = \frac{2}{3} \). 
 **Explicação:** Usando a fórmula quadrática \( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \), 
obtemos as raízes. 
 
4. **Problema:** Determine os valores de \( k \) para os quais a equação \( x^2 - (k+1)x + k = 0 
\) tem raízes reais. 
 **Resposta:** \( k \geq \frac{1}{4} \). 
 **Explicação:** Calculamos o discriminante \( (k+1)^2 - 4k \geq 0 \) e resolvemos a 
desigualdade. 
 
5. **Problema:** Resolva o sistema \( \begin{cases} x + y = 4 \\ 2x - 3y = -5 \end{cases} \). 
 **Resposta:** \( x = 1 \) e \( y = 3 \). 
 **Explicação:** Utilizando o método da substituição ou eliminação, encontramos as 
soluções. 
 
6. **Problema:** Encontre a soma dos quadrados das raízes da equação \( x^2 - 6x + 9 = 0 \). 
 **Resposta:** \( 9 \). 
 **Explicação:** As raízes são \( x = 3 \) (dupla), então a soma dos quadrados é \( 3^2 = 9 \). 
 
7. **Problema:** Resolva \( x^4 - 8x^2 + 16 = 0 \). 
 **Resposta:** \( x = \pm 2 \). 
 **Explicação:** Substituindo \( y = x^2 \), a equação se torna \( y^2 - 8y + 16 = 0 \), que tem 
raízes \( y = 4 \), então \( x = \pm 2 \). 
 
8. **Problema:** Resolva a equação \( x^2 - 2x \sqrt{2} + 2 = 0 \). 
 **Resposta:** \( x = \sqrt{2} \pm 1 \). 
 **Explicação:** Aplicando a fórmula quadrática, obtemos as raízes. 
 
9. **Problema:** Determine as raízes da equação \( x^3 - 3x^2 + 3x - 1 = 0 \). 
 **Resposta:** \( x = 1 \) é a única raiz real. 
 **Explicação:** Fatorizando \( x^3 - 3x^2 + 3x - 1 \) por \( x - 1 \), obtemos o polinômio 
reduzido \( (x - 1)^3 \). 
 
10. **Problema:** Resolva \( 2x^2 + 3x - 2 = 0 \). 
 **Resposta:** \( x = \frac{1}{2} \) e \( x = -2 \). 
 **Explicação:** Aplicando a fórmula quadrática, obtemos as raízes. 
 
11. **Problema:** Encontre o valor de \( a \) para que as equações \( x^2 + ax + 1 = 0 \) e \( 
x^2 - ax + 1 = 0 \) tenham uma raiz em comum. 
 **Resposta:** \( a = \pm \sqrt{2} \). 
 **Explicação:** Resolva as equações e compare as raízes. 
 
12. **Problema:** Resolva o sistema \( \begin{cases} 2x - y = 3 \\ x + 2y = 5 \end{cases} \). 
 **Resposta:** \( x = 4 \) e \( y = -1 \). 
 **Explicação:** Usando eliminação ou substituição, encontramos os valores. 
 
13. **Problema:** Determine os valores de \( a \) para que a equação \( x^2 + 2ax + a^2 - 4 = 0 
\) tenha raízes reais. 
 **Resposta:** \( a^2 \geq 4 \). 
 **Explicação:** O discriminante é \( 4a^2 - 4(a^2 - 4) = 16 \), que é sempre positivo. 
 
14. **Problema:** Resolva \( x^4 - 4x^2 + 4 = 0 \). 
 **Resposta:** \( x = \pm 1 \) e \( x = \pm 2 \). 
 **Explicação:** Substituindo \( y = x^2 \), obtemos \( y^2 - 4y + 4 = 0 \), que tem raízes \( y = 
2 \) e \( y = 1 \). 
 
15. **Problema:** Encontre os valores de \( x \) que satisfazem \( x^2 - x = 2 - x^2 \). 
 **Resposta:** \( x = \pm \sqrt{2} \). 
 **Explicação:** Reorganize a equação para \( 2x^2 - x - 2 = 0 \) e aplique a fórmula 
quadrática. 
 
16. **Problema:** Resolva a equação \( x^2 + 4x - 5 = 0 \). 
 **Resposta:** \( x = 1 \) e \( x = -5 \). 
 **Explicação:** A fórmula quadrática fornece as raízes.