provas e testes dos anos Q

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19. Problema: Encontre \( x \) se \( \log_3(x^2 - 1) = 2 \log_3(x) - 1 \). 
 Resolução: Usamos \( a \log_b(c) = \log_b(c^a) \). Então, \( \log_3(x^2 - 1) = \log_3(x^2) - 1 
\). Assim, \( x^2 - 1 = \frac{x^2}{3} \). Resolva \( 3(x^2 - 1) = x^2 \), então \( x^2 = 3 \) e \( x = 
\sqrt{3} \). 
 
20. Problema: Resolva \( \log_7(2x) = \log_7(x) + \log_7(2) \). 
 Resolução: Usamos \( \log_b(a) + \log_b(c) = \log_b(ac) \). Assim, \( \log_7(2x) = \log_7(2x) 
\), que é sempre verdadeiro. Portanto, qualquer \( x > 0 \) é solução. 
 
21. Problema: Encontre \( x \) se \( \log_{10}(x^2 + x) = 1 \). 
 Resolução: Usamos \( \log_{10}(a) = 1 \) implica \( a = 10 \). Então, \( x^2 + x = 10 \). Resolva 
\( x^2 + x - 10 = 0 \). As soluções são \( x = 2 \) e \( x = -5 \). A solução válida é \( x = 2 \). 
 
22. Problema: Resolva \( \log_2(4x) - \log_2(x-1) = 3 \). 
 Resolução: Usamos \( \log_b(a) - \log_b(c) = \log_b\left(\frac{a}{c}\right) \). Então, \( 
\log_2\left(\frac{4x}{x-1}\right) = 3 \). Então, \( \frac{4x}{x-1} = 2^3 = 8 \). Resolva \( 4x = 8(x-1) 
\), então \( x = 4 \). 
 
23. Problema: Resolva \( \log_3(x) = \frac{1}{2} \log_3(x^2 + 1) \). 
 Resolução: Usamos \( a \log_b(c) = \log_b(c^a) \). Então, \( \log_3(x) = \log_3\left(\sqrt{x^2 
+ 1}\right) \). Assim, \( x = \sqrt{x^2 + 1} \). Elevando ambos os lados ao quadrado, \( x^2 = x^2 
+ 1 \), que é uma contradição, então não há solução real. 
 
24. Problema: Encontre \( x \) se \( \log_{10}(x + 2) - \log_{10}(x - 2) = 1 \). 
 Resolução: Usamos \( \log_b(a) - \log_b(c) = \log_b\left(\frac{a}{c}\right) \). Assim, \( 
\log_{10}\left(\frac{x + 2}{x - 2}\right) = 1 \). Então, \( \frac{x + 2}{x - 2} = 10 \). Resolva \( x + 2 
= 10(x - 2) \), então \( x = \frac{22}{9} \). 
 
25. Problema: Resolva \( \log_2(x^2 - x - 6) = 4 \). 
 Resolução: Usamos \( \log_b(a) = c \) implica \( a = b^c \). Então, \( x^2 - x - 6 = 2^4 = 16 \). 
Resolva \( x^2 - x - 22 = 0 \). As soluções são \( x = 6 \) e \( x = -3 \). A solução válida é \( x = 6 
\). 
 
26. Problema: Resolva \( \log_2(x+2) + \log_2(x-2) = 3 \). 
 Resolução: Usamos \( \log_b(a) + \log_b(c) = \log_b(ac) \). Assim, \( \log_2[(x+2)(x-2)] = 3 \). 
Então, \( (x+2)(x-2) = 2^3 = 8 \). Resolva \( x^2 - 4 = 8 \), então \( x^2 = 12 \) e \( x = 2\sqrt{3} \) 
(a solução \( x = -2\sqrt{3} \) não é válida). 
 
27. Problema: Encontre \( x \) se \( \log_{10}(x^2 - x) = \log_{10}(x) + 1 \). 
 Resolução: Usamos \( \log_b(a) = \log_b(c) + 1 \) implica \( a = 10c \). Assim, \( x^2 - x = 10x 
\). Resolva \( x^2 - 11x = 0 \), então \( x(x - 11) = 0 \). As soluções são \( x = 0 \) e \( x = 11 \). A 
solução válida é \( x = 11 \). 
Claro! Vou criar 100 problemas matemáticos difíceis envolvendo logaritmos, incluindo a 
resposta e uma explicação para cada um. Vou gerar cada problema, sua solução e uma 
explicação de forma contínua para atender sua solicitação. 
 
1. Problema: Resolva a equação \( \log_2(x) + \log_2(x-3) = 3 \). 
 Resolução: Usamos a propriedade dos logaritmos \( \log_b(a) + \log_b(c) = \log_b(ac) \). 
Então, a equação se torna \( \log_2[x(x-3)] = 3 \). Assim, \( x(x-3) = 2^3 = 8 \). Então, temos \( 
x^2 - 3x - 8 = 0 \). Resolvendo a equação quadrática, obtemos \( x = 4 \) (a solução \( x = -2 \) 
não é válida por causa do domínio dos logaritmos). 
 
2. Problema: Resolva \( \log_{10}(x) - \log_{10}(x-1) = 1 \). 
 Resolução: Usamos a propriedade \( \log_b(a) - \log_b(c) = \log_b\left(\frac{a}{c}\right) \). 
Assim, \( \log_{10}\left(\frac{x}{x-1}\right) = 1 \). Então, \( \frac{x}{x-1} = 10^1 = 10 \). Resolva 
\( x = 10(x-1) \), que dá \( x = 10 \) (a solução é válida). 
 
3. Problema: Encontre \( x \) se \( \log_5(x) = 2\log_5(3) - \log_5(4) \). 
 Resolução: Usamos a propriedade \( a \log_b(c) = \log_b(c^a) \). Assim, \( \log_5(x) = 
\log_5(3^2) - \log_5(4) \). Portanto, \( \log_5(x) = \log_5\left(\frac{9}{4}\right) \). Assim, \( x = 
\frac{9}{4} \). 
 
4. Problema: Resolva \( \log_7(x) + \log_7(2) = \log_7(21) \). 
 Resolução: Usamos \( \log_b(a) + \log_b(c) = \log_b(ac) \). Então, \( \log_7(2x) = \log_7(21) 
\). Portanto, \( 2x = 21 \), e \( x = \frac{21}{2} \). 
 
5. Problema: Se \( \log_b(5) = 2 \) e \( \log_b(2) = x \), encontre \( \log_b(10) \). 
 Resolução: Usamos \( \log_b(10) = \log_b(5 \cdot 2) = \log_b(5) + \log_b(2) \). Portanto, \( 
\log_b(10) = 2 + x \).