para estudo 1102

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B) 1 
C) Não existe 
D) \( \frac{1}{2} \) 
Resposta: B) 1 
Explicação: Aplicando o limite fundamental \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(kx)}{kx} = 1 \) se \( k = 0 
\). 
 
56. Se \( y = e^{3x} \), qual é a derivada de \( y \)? 
A) \( 3e^{3x} \) 
B) \( e^{3x} \) 
C) \( 3x^3 \) 
D) \( 9e^{3x} \) 
Resposta: A) \( 3e^{3x} \) 
Explicação: A regra da cadeia indica a derivada de \( e^{kx} \). 
 
57. Determine a integral \( \int x^4 e^{x^5} \, dx \). 
A) \( \frac{1}{5} e^{x^5} + C \) 
B) \( e^{x^5} + C \) 
C) \( \frac{1}{4} e^{x^5} + C \) 
D) \( \frac{1}{5} x^4 e^{x^5} + C \) 
Resposta: A) \( \frac{1}{5} e^{x^5} + C \) 
Explicação: Substituindo \( u = x^5 \), obtemos o resultado desejado. 
 
58. O que é a integral de \( 3x^2 - 5 \, dx \)? 
A) \( x^3 - 5x + C \) 
B) \( \frac{3}{3}x + C \) 
C) \( \frac{3}{3} - 5x^2 + C \) 
D) \( \frac{x^3}{3} - 5x + C \) 
Resposta: D) \( \frac{x^3}{3} - 5x + C \) 
Explicação: A integral é avaliada conforme a regra de potências. 
 
59. O que é \( \lim_{x \to \pi/2} \tan(x) \)? 
A) 0 
B) 1 
C) Não existe 
D) \( \infty \) 
Resposta: D) \( \infty \) 
Explicação: A função tangente tende a infinito conforme \( x \) se aproxima de \( \frac{\pi}{2} 
\). 
 
60. Se \( f(x) = x^2 \sin(x) \), qual é o valor de \( f'(1) \)? 
A) 0 
B) 2 
C) 1 
D) \( 1 + \sin(1) \) 
Resposta: D) \( 1 + \sin(1) \) 
Explicação: Aplicando a regra do produto e derivando obtemos. 
 
61. O que é \( \int_{0}^{1} (3x^2 - 2) \, dx \)? 
A) 0 
B) 1 
C) \( \frac{1}{3} \) 
D) \( \frac{1}{4} \) 
Resposta: A) 0 
Explicação: Avaliando a integral, os resultados das áreas se cancelam entre valores positivos e 
negativos. 
 
62. O que é a derivada de \( f(x) = x^2 \cos(x) \)? 
A) \( 2x\cos(x) \) 
B) \( 2x\sin(x) + x^2\cos(x) \) 
C) \( -x^2\sin(x) + 2x\cos(x) \) 
D) \( -x^2\cos(x) + 2x\sin(x) \) 
Resposta: C) \( -x^2\sin(x) + 2x\cos(x) \) 
Explicação: Usando a regra do produto para obter a derivada. 
 
63. O que representa a integração de \( \sin^2(x) \)? 
A) Área em um quadrante 
B) Valor numérico constante 
C) Área total sob a curva 
D) Volume total gerado 
Resposta: C) Área total sob a curva 
Explicação: A integral define um espaço sem limites. 
 
64. Qual o valor de \( \frac{d}{dx}(e^{-\frac{1}{x}}) \)? 
A) \( \frac{1}{x^2} e^{-\frac{1}{x}} \) 
B) \( -\frac{e^{-\frac{1}{x}}}{x^2} \) 
C) \( 0 \) 
D) \( e^{-\frac{1}{x}} \) 
Resposta: B) \( -\frac{e^{-\frac{1}{x}}}{x^2} \) 
Explicação: Usando a regra do produto, a função é derivada. 
 
65. Determine a integral \( \int (2x^3 - 3x^2 + 5) \, dx \). 
A) \( \frac{x^4}{4} - x^3 + 5x + C \) 
B) \( \frac{2}{4}x^4 - \frac{3}{3}x + 5 + C \) 
C) \( \frac{1}{4}x^4 - x^3 + 5 + C \) 
D) \( 2x^4 - x^2 + 5x + C \) 
Resposta: A) \( \frac{x^4}{2} - x^3 + 5x + C \) 
Explicação: Integra-se cada termo obtendo estes resultados. 
 
66. O que é o integral de \( \ln(x) \)? 
A) \( x \ln(x) - x + C \) 
B) \( \ln(x^2) + C \) 
C) \( \frac{x^2}{2} + C \) 
D) \( \frac{1}{2} \ln(x) + C \) 
Resposta: A) \( x \ln(x) - x + C \) 
Explicação: Essa é a primitiva que se obtém ao integrar o logaritmo. 
 
67. Calcule \( \int x^4 \sqrt{x} \, dx \). 
A) \( \frac{5}{7} x^{\frac{7}{2}} + C \) 
B) \( \frac{4}{5} x^{\frac{9}{2}} + C \) 
C) \( \frac{2}{5} x^{\frac{9}{2}} + C \) 
D) \( \frac{5}{9} x^{\frac{9}{2}} + C \) 
Resposta: A) \( \frac{5}{7} x^{\frac{7}{2}} + C \) 
Explicação: A integral deve ser avaliada de acordo com a soma de potências. 
 
68. O que é \( \frac{d}{dx}(|\sin(x)|) \)? 
A) \( \cos(x) \) 
B) \( \text{sign}(\sin(x))\cos(x) \) 
C) \( \text{sign}(\sin(x))\sin(x) \) 
D) \( |\cos(x)| \) 
Resposta: B) \( \text{sign}(\sin(x))\cos(x) \) 
Explicação: A derivada do valor absoluto é multiplicada pela função derivada. 
 
69. Qual é a equação da linha normal à função \( f(x) = x^2 + 2x + 3 \) em \( x = -1 \)? 
A) \( y = -2x + 2 \) 
B) \( y = x + 1 \) 
C) \( y = 2x + 1 \) 
D) \( y = x^2 - 1 \) 
Resposta: A) \( y = -2x + 2 \) 
Explicação: A inclinação da tangente é negativa recíproca. 
 
70. O que é a integral de \( 3x^2 + 2x - 4 \, dx \)? 
A) \( x^3 + x^2 - 4 + C \) 
B) \( x^3 + x + C \) 
C) \( x^3 + x^2 - 2 + C \)