aprendendo e fazendo XLI

Prévia do material em texto

- **Explicação:** Esta é uma equação diferencial linear de primeira ordem. A solução geral é 
obtida usando um fator integrante. A solução é \(y(t) = Ce^{3t} + \frac{4}{3}\). 
 
39. **Qual é o valor de \(\int_0^1 (3x^2 - 2x + 1) \, dx\)?** 
 - A) 1 
 - B) \(\frac{2}{3}\) 
 - C) \(\frac{1}{3}\) 
 - D) \(-\frac{1}{6}\) 
 - **Resposta: A) 1** 
 - **Explicação:** A antiderivada é \(x^3 - x^2 + x\). Avaliando de 0 a 1, temos \((1 - 1 + 1) - (0 
- 0 + 0) = 1\). 
 
40. **Qual é o valor de \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{x}\)?** 
 - A) 0 
 - B) 3 
 - C) 1 
 - D) Não existe 
 - **Resposta: B) 3** 
 - **Explicação:** Usando a regra do limite fundamental, sabemos que \(\lim_{x \to 0} 
\frac{\sin(kx)}{x} = k\). Portanto, substituindo \(k = 3\), temos \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{x} 
= 3\). 
 
41. **Qual é a solução da equação \(y' = -2y\)?** 
 - A) \(y(t) = Ce^{-2t}\) 
 - B) \(y(t) = Ce^{2t}\) 
 - C) \(y(t) = 2Ce^{-t}\) 
 - D) \(y(t) = Ce^{-t}\) 
 - **Resposta: A) \(y(t) = Ce^{-2t}\)** 
 - **Explicação:** Esta é uma equação diferencial linear de primeira ordem. A solução geral é 
obtida separando as variáveis ou usando um fator integrante. A solução é \(y(t) = Ce^{-2t}\). 
 
42. **Qual é o valor de \(\int_0^1 (x^3 - 2x + 1) \, dx\)?** 
 - A) \(-\frac{1}{4}\) 
 - B) \(\frac{1}{4}\) 
 - C) 0 
 - D) \(\frac{3}{4}\) 
 - **Resposta: C) 0** 
 - **Explicação:** A antiderivada é \(\frac{x^4}{4} - x^2 + x\). Avaliando de 0 a 1, temos 
\(\left[\frac{1}{4} - 1 + 1\right] = 0\). 
 
43. **Qual é o valor de \(\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x}\)?** 
 - A) 0 
 - B) 1 
 - C) \(e\) 
 - D) Não existe 
 - **Resposta: B) 1** 
 - **Explicação:** Este é um limite fundamental que pode ser obtido usando a regra de 
L'Hôpital ou pela definição da derivada de \(e^x\) em \(x = 0\). A derivada de \(e^x\) é \(e^x\) e 
em \(x = 0\) é 1. 
 
44. **Qual é a integral \(\int \tan(x) \, dx\)?** 
 - A) \(-\ln(\cos(x)) + C\) 
 - B) \(\ln(\sin(x)) + C\) 
 - C) \(\ln(\tan(x)) + C\) 
 - D) \(\cot(x) + C\) 
 - **Resposta: A) \(-\ln(\cos(x)) + C\)** 
 - **Explicação:** A integral de \(\tan(x)\) é conhecida e pode ser derivada usando a 
identidade \(\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}\). A antiderivada é \(-\ln(\cos(x)) + C\). 
 
45. **Qual é a solução da equação \(y' = 6y + 3\)?** 
 - A) \(y(t) = Ce^{6t} + \frac{1}{2}\) 
 - B) \(y(t) = Ce^{6t} - \frac{1}{2}\) 
 - C) \(y(t) = Ce^{-6t} + \frac{1}{2}\) 
 - D) \(y(t) = Ce^{-6t} - \frac{1}{2}\) 
 - **Resposta: A) \(y(t) = Ce^{6t} + \frac{1}{2}\)** 
 - **Explicação:** Esta é uma equação diferencial linear de primeira ordem. A solução geral é 
obtida usando um fator integrante. A solução é \(y(t) = Ce^{6t} + \frac{1}{2}\). 
 
46. **Qual é o valor de \(\int_0^1 (x^2 + 3) \, dx\)?** 
 - A) \(\frac{5}{3}\) 
 - B) \(\frac{11}{3}\) 
 - C) 1 
 - D) \(\frac{7}{3}\) 
 - **Resposta: B) \(\frac{11}{3}\)** 
 - **Explicação:** A antiderivada é \(\frac{x^3}{3} + 3x\). Avaliando de 0 a 1, temos 
\(\left[\frac{1}{3} + 3\right] = \frac{1}{3} + 3 = \frac{10}{3}\). 
 
47. **Qual é o valor de \(\lim_{x \to \infty} \frac{2x^3 + 3x^2}{4x^3 + 5}\)?** 
 - A) \(\frac{1}{2}\) 
 - B) \(\frac{3}{4}\) 
 - C) 1 
 - D) 0 
 - **Resposta: A) \(\frac{1}{2}\)** 
 - **Explicação:** Para calcular o limite, dividimos o numerador e o denominador pelo maior 
grau de \(x\), que é \(x^3\): \(\lim_{x \to \infty} \frac{2 + \frac{3}{x}}{4 + \frac{5}{x^3}} = 
\frac{2}{4} = \frac{1}{2}\). 
 
48. **Qual é a integral \(\int x^2 e^{x^3} \, dx\)?** 
 - A) \(\frac{1}{3} e^{x^3} + C\) 
 - B) \(-\frac{1}{3} e^{x^3} + C\) 
 - C) \(\frac{1}{3} e^{x^3} + C\) 
 - D) \(\frac{1}{2} e^{x^3} + C\) 
 - **Resposta: A) \(\frac{1}{3} e^{x^3} + C\)** 
 - **Explicação:** Usamos a substituição \(u = x^3\), onde \(du = 3x^2 dx\) ou \(\frac{du}{3} = 
x^2 dx\). Assim, a integral se torna \(\frac{1}{3} e^{u} + C\). 
 
49. **Qual é a solução da equação \(y' = -3y + 5\)?** 
 - A) \(y(t) = Ce^{-3t} + \frac{5}{3}\) 
 - B) \(y(t) = Ce^{-3t} - \frac{5}{3}\) 
 - C) \(y(t) = Ce^{3t} + \frac{5}{3}\) 
 - D) \(y(t) = Ce^{3t} - \frac{5}{3}\) 
 - **Resposta: A) \(y(t) = Ce^{-3t} + \frac{5}{3}\)** 
 - **Explicação:** Esta é uma equação diferencial linear de primeira ordem. A solução geral é 
obtida usando um fator integrante. A solução é \(y(t) = Ce^{-3t} + \frac{5}{3}\). 
 
50. **Qual é o valor de \(\int_0^1 (2x^2 + 3x + 1) \, dx\)?** 
 - A) \(\frac{11}{6}\) 
 - B) \(\frac{5}{6}\) 
 - C) \(\frac{7}{6}\) 
 - D) \(\frac{1}{6}\) 
 - **Resposta: A) \(\frac{11}{6}\)** 
 - **Explicação:** A antiderivada é \(\frac{2}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 + x\). Avaliando de 0 a 1, 
temos \(\left[\frac{2}{3} + \frac{3}{2} + 1\right] = \frac{2}{3} + \frac{3}{2} + \frac{3}{3} = 
\frac{11}{6}\). 
 
51. **Qual é o valor de \(\lim_{x \to 0} \frac{\tan(2x)}{x}\)?** 
 - A) 0 
 - B) 2 
 - C) 1 
 - D) Não existe 
 - **Resposta: B) 2** 
 - **Explicação:** Usando a regra do limite fundamental, sabemos que \(\lim_{x \to 0} 
\frac{\tan(kx)}{x} = k\). Portanto, substituindo \(k = 2\), temos \(\lim_{x \to 0} \frac{\tan(2x)}{x} 
= 2\). 
 
52. **Qual é a solução da equação \(y' = 2y + 1\)?** 
 - A) \(y(t) = Ce^{2t} - \frac{1}{2}\) 
 - B) \(y(t) = Ce^{2t} + \frac{1}{2}\) 
 - C) \(y(t) = Ce^{-2t} + \frac{1}{2}\) 
 - D) \(y(t) = Ce^{-2t} - \frac{1}{2}\) 
 - **Resposta: B) \(y(t) = Ce^{2t} + \frac{1}{2}\)**