LISTA5 2013.1

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GAN - DEPARTAMENTO DE ANÁLISE 
 PROF: LUIZ FERNANDO 
 MATEMÁTICA PARA ECONOMIA II 
 ASSUNTO: DERIVADAS PARCIAIS 
 LISTA 5 
 
1 – Determine y)(x,
x
f
∂
∂
 e y)(x,
y
f
∂
∂
, em que f(x,y) é: 
i) x2 + xsen(x+y), ii) (senx)cos(x+y), iii)ex+y +1 , iv) xy , x >0, v) logxy, vi)arctg(
x
y ) 
2- Determine uma função f(x,y) tal que 






+
+−=
∂
∂
−=
∂
∂
1y
y6xy2xy)(x,
y
f
6yy3xy)(x,
x
f
2
3
22
 
3 – Seja g(x,y) = f(x2 +y2), onde f é derivável. Verifique que (1,1)
x
g
∂
∂
 = (1,1)
y
g
∂
∂
. 
4 – Seja f(x,y) = 




=
≠
+
−
(0,0)y)(x,,0
(0,0)y)(x,,
yx
yx
22
23
. Calcule y)(x,
x
f
∂
∂
 e y)(x,
y
f
∂
∂
. 
 5 – Considere z = 22
2
yx
xy
+
. Verifique que x
x
z
∂
∂
 + y
y
z
∂
∂
 = z. 
6 - Seja g(x,y) = f(
y
x ), onde f é uma função de uma variável e derivável em R e f’(1) = 4. 
Calcule i) (1,1)
x
g
∂
∂
, ii) (1,1)
x
g
∂
∂
. 
7 – Seja z = xsen
y
x
. Verifique que x
x
z
∂
∂
 + y
y
z
∂
∂
 = z. 
8 – Seja i) f(x,y) = ∫
+
−
22
2
yx
0
t dte , ii) f(x,y) = ∫
2
2
y
x
costdte . ii) Calcule 
x
f
∂
∂ (x,y) e 
y
f
∂
∂ (x,y) 
9-Determine 
x
f
∂
∂ (x,y,z) , 
y
f
∂
∂ (x,y,z) e 
z
f
∂
∂ (x,y,z), onde i) f(x,y,x) = (x2-z2) / (1+sen(3y), 
ii)f(x,y,x) = (y2+z2)x, iii) f(x,y,x) = (2x + 3y)cosz, iv)f(x,y,x) = (x2e2xcos(z) 
 
11) Use a definição de derivadas parcias para 
x
f
∂
∂ (x,y) e 
y
f
∂
∂ (x,y), onde 
i) f(x,y) = x + 2y ii) f(x,y) = x2 + 3y2. 
 
12) Seja z = eyg(x-y), onde g é uma função de uma variável e derivável em R. Mostre que 
 
x
z
∂
∂
 + 
y
z
∂
∂
 = z. 
13- Suponha que a z= z(x,y) admita derivadas parciais em todos os pontos de sue domínio que 
seja dada implicitamente por xyz + z3= x. Expresse 
x
z
∂
∂
e 
y
z
∂
∂
 em termos de x, y, z. 
 
 
14- Seja g é uma função de uma variável e derivável em R e f(x,y) = (x2+ y2) g(
y
x ). Mostre que 
 
x
f
∂
∂
x + 
y
zy
∂
∂
 = 2f. 
15- Seja z = 22 yxe + , x = rcosa e y = rsena. Verifique que 
r
z
∂
∂
=
22 yxe + (2xcosa +2ysena) . E daí 
conclua que 
r
z
∂
∂
=
x
z
∂
∂
cos(a) +
y
z
∂
∂
sen(a). 
 
 
 
16 – Seja f(x,y) = x3y2 – 6xy + g(y). Determine uma função g de modo que 
 
 
y
f
∂
∂ (x,y) = 2x3y -6x + 
2
1e
2y +