PROVA FINAL CALCUO 2

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<p>Avaliação Final (Objetiva) - Individual (Cod.:986632)</p><p>Código da prova: 86668852</p><p>Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral II (MAD103)</p><p>Período para responder: 27/08/2024 - 11/09/2024</p><p>Peso: 4,00</p><p>1 -</p><p>O limite de uma função com duas variáveis indica o comportamento da função em torno de um ponto</p><p>específico no espaço bidimensional. Ele descreve como os valores da função se aproximam ou se afastam</p><p>desse ponto à medida que suas variáveis independentes se aproximam ou se distanciam. Em certos casos,</p><p>calcular o limite de uma função é direto, enquanto em outros, demanda manipulações ou estratégias</p><p>específicas para sua determinação.</p><p>Assinale a alternativa que apresenta o resultado do limite a seguir:</p><p>A )</p><p>O limite é 2.</p><p>B )</p><p>O limite é 7/3.</p><p>C )</p><p>O limite é 2/3.</p><p>D )</p><p>O limite não existe.</p><p>E )</p><p>O limite é 11/5.</p><p>2 -</p><p>Integrais impróprias são uma extensão importante do conceito de integração em cálculo. Elas surgem quando</p><p>as funções a serem integradas apresentam comportamentos singulares nos limites de integração, como</p><p>infinito ou pontos de descontinuidade. Para lidar com essas situações, são aplicadas técnicas específicas,</p><p>como a limitação dos limites de integração e a avaliação de limites, a fim de determinar se a integral</p><p>converge ou diverge. Sendo assim, veja a integral a seguir</p><p>Considerando a integral apresentada, avalie as asserções a seguir e a relação proposta entre elas.</p><p>I. A integral apresentada é convergente.</p><p>PORQUE</p><p>04/09/2024, 20:23 about:blank</p><p>about:blank 1/7</p><p>II. Ao calcular essa integral, obtemos</p><p>A respeito dessas asserções, assinale a opção correta:</p><p>A )</p><p>As asserções I e II são verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I.</p><p>B )</p><p>As asserções I e II são falsas.</p><p>C )</p><p>As asserções I e II são verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da I.</p><p>D )</p><p>A asserção I é uma proposição verdadeira e a II é uma proposição falsa.</p><p>E )</p><p>A asserção I é uma proposição falsa e a II é uma proposição verdadeira.</p><p>3 -</p><p>O domínio de uma função de duas variáveis desempenha um papel crucial na análise de seu comportamento</p><p>em um espaço bidimensional. Compreender os limites e as restrições das variáveis independentes é essencial</p><p>para determinar os pontos onde a função está definida e onde ela pode ser avaliada. Para analisar esse</p><p>importante conceito nas funções, devemos nos ater às restrições que envolvem sua estrutura. Veja a função a</p><p>seguir:</p><p>Assinale a alternativa que apresenta o domínio correto desta função:</p><p>A )</p><p>Dom(f) ={(x, y) ∈ R; y ≥ -2x e x > -5}</p><p>B )</p><p>Dom(f) ={(x, y) ∈ R; y ≤ 2x e x > -5}</p><p>C )</p><p>Dom(f) ={(x, y) ∈ R; y < -2x e x ≠ 5}</p><p>D )</p><p>Dom(f) ={(x, y) ∈ R; y > 2x e x ≠ 5}</p><p>E )</p><p>Dom(f) ={(x, y) ∈ R; y ≤ 2x e x ≠ 5}</p><p>04/09/2024, 20:23 about:blank</p><p>about:blank 2/7</p><p>4 -</p><p>A representação gráfica do domínio de uma função de duas variáveis oferece uma visão visualmente intuitiva</p><p>das regiões onde a função está definida no plano bidimensional. Ao mapear o conjunto de pontos onde a</p><p>função possui valores reais, podemos visualizar as áreas de interesse e as restrições impostas pelas variáveis</p><p>independentes.</p><p>Considerando a função</p><p>,</p><p>avalie as asserções a seguir e a relação proposta entre elas:</p><p>I. Podemos representar o domínio da função f pela representação gráfica</p><p>PORQUE</p><p>II. É possível notar pela função que há duas restrições no domínio, uma em que y < 2x e a outra que x > 2.</p><p>A respeito dessas asserções, assinale a alternativa correta:</p><p>A )</p><p>As asserções I e II são verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I.</p><p>B )</p><p>A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira.</p><p>C )</p><p>As asserções I e II são verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da I.</p><p>D )</p><p>A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa.</p><p>E )</p><p>As asserções I e II são falsas.</p><p>04/09/2024, 20:23 about:blank</p><p>about:blank 3/7</p><p>5 -</p><p>Os conceitos de Geometria ensinados no Ensino Médio não possibilitam o cálculo de áreas de regiões</p><p>limitadas por curvas arbitrárias. Para resolver esse tipo de problema, é necessário utilizar o conceito de</p><p>integral definida, comumente estudado nas disciplinas de Cálculo. Um exemplo prático disso é o cálculo da</p><p>área de uma região no plano delimitada por curvas.</p><p>Considere as curvas definidas por 2y = x e y = x². Indique a alternativa que apresenta a área delimitada por</p><p>essas duas curvas.</p><p>A )</p><p>1/48.</p><p>B )</p><p>7/12.</p><p>C )</p><p>1/12.</p><p>D )</p><p>5/48.</p><p>E )</p><p>5/7.</p><p>6 -</p><p>No estudo do cálculo integral, os métodos ou técnicas de integração são procedimentos analíticos</p><p>empregados para encontrar antiderivadas de funções. Entre as técnicas mais reconhecidas estão a integração</p><p>por substituição, por partes e por frações parciais. Especificamente, a técnica de integração por substituição</p><p>envolve a aplicação da mudança de variáveis u = g(x), facilitando a obtenção de uma integral imediata para</p><p>resolver o problema. Por exemplo, considere a integral</p><p>Dessa forma, a partir dessa integral, identifique a alternativa correta que propõe a melhor substituição a ser</p><p>utilizada:</p><p>A )</p><p>u = e2x^4.</p><p>B )</p><p>u = dx.</p><p>C )</p><p>u = 2x4.</p><p>D )</p><p>u = x3.</p><p>04/09/2024, 20:23 about:blank</p><p>about:blank 4/7</p><p>E )</p><p>u = e2x</p><p>7 -</p><p>No cálculo, a integral de uma função foi criada originalmente para determinar a área sob uma curva no plano</p><p>cartesiano e também surge naturalmente em dezenas de problemas da física, como na determinação da</p><p>posição em todos os instantes de um objeto, se for conhecida a sua velocidade instantânea em todos os</p><p>instantes. Para resolver estas integrais, podemos recorrer a alguns métodos de resolução. Um deles é o</p><p>método da integração por substituição.</p><p>Sobre o exposto, analise as sentenças a seguir:</p><p>É correto o que se afirma em:</p><p>A )</p><p>I, III e IV, apenas.</p><p>B )</p><p>I, II e IV, apenas.</p><p>C )</p><p>II e III, apenas.</p><p>D )</p><p>II, III e IV, apenas.</p><p>E )</p><p>I e II, apenas.</p><p>8 -</p><p>A compreensão das derivadas parciais desempenha um papel crucial na análise de funções de várias</p><p>variáveis. Ao calcular as derivadas parciais em relação a cada uma das variáveis independentes, podemos</p><p>determinar a taxa de variação da função em direções específicas do espaço multidimensional.</p><p>Dessa forma, sobre a função f(x, y) = 2x²y – xy, analise as sentenças a seguir:</p><p>04/09/2024, 20:23 about:blank</p><p>about:blank 5/7</p><p>É correto o que se afirma em:</p><p>A )</p><p>II e III, apenas.</p><p>B )</p><p>I, III e IV, apenas.</p><p>C )</p><p>I e IV, apenas.</p><p>D )</p><p>I e II, apenas.</p><p>E )</p><p>II, III e IV, apenas.</p><p>9 -</p><p>As operações inversas: adição e subtração, multiplicação e divisão, potenciação e radiciação, exponenciação</p><p>e logaritmação, já são bastante conhecidas. A integração indefinida é basicamente a operação inversa da</p><p>diferenciação. Assim, dada a derivada de uma função, o processo que consiste em achar a função que a</p><p>originou, ou seja, achar a sua primitiva denomina-se de antiderivação.</p><p>Baseado nisso, analise as opções que apresentam f(x), sendo que f'(x) = 3x² - 6x + 2 para todo x e com f(1) =</p><p>2:</p><p>I. f(x) = 6x² - 6</p><p>II. f(x) = x³ - 3x² + 2x + 2</p><p>III. f(x) = x³ - 6x² + 2x</p><p>IV. f(x) = 3x² - 2x - 3</p><p>É correto apenas o que se afirma em</p><p>A )</p><p>I e II, apenas.</p><p>B )</p><p>II e IV, apenas.</p><p>C )</p><p>I, apenas.</p><p>04/09/2024, 20:23 about:blank</p><p>about:blank 6/7</p><p>D )</p><p>II e III, apenas.</p><p>E )</p><p>II, apenas.</p><p>10 -</p><p>O comprimento de arco de uma curva é calculado utilizando integrais, uma ferramenta poderosa da análise</p><p>matemática. Ao dividir a curva em segmentos infinitesimais e somar suas contribuições, podemos obter uma</p><p>estimativa precisa do comprimento total. Esse processo é fundamental em várias áreas, como geometria</p><p>diferencial e física, onde o movimento de partículas é descrito por trajetórias curvilíneas.</p><p>Sendo assim, assinale entre as opções, aquela que apresenta o comprimento do arco da curva para y = 3x - 1,</p><p>com 2 ≤ x ≤ 7.</p><p>Utilize</p><p>A )</p><p>5√10.</p><p>B )</p><p>5√4.</p><p>C )</p><p>2√5.</p><p>D )</p><p>7√10.</p><p>E )</p><p>7√4.</p><p>04/09/2024, 20:23 about:blank</p><p>about:blank 7/7</p>