EDOL DE 1A ORDEM

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<p>Automação e Controle de Processos</p><p>2</p><p>Universidade Federal de Viçosa</p><p>Reitor</p><p>Demetrius David da Silva</p><p>Vice-reitora</p><p>Rejane Nascentes</p><p>Diretora</p><p>Francisco de Assis de Carvalho Pinto</p><p>Campus Universitário, 36570-000, Viçosa/MG</p><p>Telefone: (31) 3612-1251| Fax: (31) 3612-1251</p><p>Autores: Tarcísio de Assunção Pizziolo</p><p>Layout: Taiane Souza</p><p>Editoração Eletrônica: Taiane Souza e Malena Stariolo</p><p>Edição de conteúdo e CopyDesk: João Batista Mota</p><p>https://www.google.com/search?q=cead+ufv&oq=&aqs=chrome.1.69i59i450l8.12320534j0j15&sourceid=chrome&ie=UTF-8</p><p>https://www.google.com/search?q=cead+ufv&oq=&aqs=chrome.1.69i59i450l8.12320534j0j15&sourceid=chrome&ie=UTF-8</p><p>3</p><p>4 a 6 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS LINEARES DE</p><p>1A ORDEM</p><p>4</p><p>4.1. Conceito</p><p>Uma equação diferencial é qualquer relação entre uma função e as suas</p><p>derivadas. As Equações Diferenciais Ordinárias (EDO) e suas aplicações em circuitos</p><p>elétricos são as bases para o entendimento do estudo da Engenharia de Controle e</p><p>Automação.</p><p>A função y que aparece na equação é uma função de uma variável real x. A</p><p>forma geral da equação é:</p><p>𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑦′, 𝑦′′, … ) = 0</p><p>Onde 𝑦′ =</p><p>𝑑𝑦</p><p>𝑑𝑥</p><p>, 𝑦′′ =</p><p>𝑑2𝑦</p><p>𝑑𝑥2</p><p>, …, denotam as derivadas da função y em relação à</p><p>variável x.</p><p>A ordem da equação é a ordem da derivada de ordem superior que aparece na</p><p>equação.</p><p>Nossas aplicações em circuitos elétricos limitam-se somente às Equações</p><p>Diferenciais Ordinárias Lineares de primeira e de segunda.</p><p>4.2. Equações Diferenciais Ordinárias Lineares Homogêneas de Primeira</p><p>Ordem com Coeficientes Constantes</p><p> Caso Geral</p><p>Seja a Equação Diferencial Ordinária Linear Homogênea de primeira ordem:</p><p>𝒅𝒚</p><p>𝒅𝒙</p><p>+ 𝑷𝒚 = 𝟎</p><p>Para o caso de P ser constante, a solução será:</p><p>𝒚(𝒙) = 𝑲𝒆−𝑷𝒙</p><p>A constante K é determinada pela condição inicial.</p><p>EQUAÇÕES DIFERENCIAIS</p><p>ORDINÁRIAS LINEARES</p><p>DE 1ª ORDEM</p><p>5</p><p>Exemplo 1 Encontre a solução da equação diferencial</p><p>𝑑𝑦</p><p>𝑑𝑥</p><p>+ 5𝑦 = 0 com condição inicial y (0) = 2</p><p>𝑑𝑦</p><p>𝑑𝑥</p><p>+ 5𝑦 = 0 ⇒</p><p>𝑑𝑦</p><p>𝑦</p><p>= −5𝑑𝑥 ⇒ ∫</p><p>𝑑𝑦</p><p>𝑦</p><p>= ∫ −5𝑑𝑥</p><p>⇒</p><p>⇒ ln(𝑦) = −5𝑥 + 𝐶 ⇒</p><p>⇒ 𝑦 = 𝑒(−5𝑥+𝐶) ⇒ 𝑦 = 𝑒−5𝑥 . 𝑒𝐶 (𝑓𝑎𝑧𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑒𝐶 = 𝐾) ⇒ 𝑦 = 𝐾𝑒−5𝑥</p><p>Considerando y (0) = 2 ⇒ 2 = K𝑒0 ⇒ K = 2</p><p>Finalmente: 𝒚(𝒙) = 𝟐𝒆−𝟓𝒙</p><p>Exemplo 2 Encontre a solução da equação diferencial</p><p>3</p><p>𝑑𝑦</p><p>𝑑𝑥</p><p>+ 12𝑦 = 0 com condição inicial y (0) = 5.</p><p>3</p><p>𝑑𝑦</p><p>𝑑𝑥</p><p>+ 12𝑦 = 0 ⇒</p><p>𝑑𝑦</p><p>𝑑𝑥</p><p>+ 4𝑦 = 0 ⇒</p><p>𝑑𝑦</p><p>𝑦</p><p>= −4𝑑𝑥 ⇒ ∫</p><p>𝑑𝑦</p><p>𝑦</p><p>= ∫ −4𝑑𝑥 ⇒</p><p>⇒ ln(𝑦) = −4𝑥 + 𝐶 ⇒ 𝑦 = 𝑒(−4𝑥+𝐶) ⇒ 𝑦 = 𝑒−4𝑥 . 𝑒𝐶 (𝑓𝑎𝑧𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑒𝐶 = 𝐾) ⇒</p><p>⇒ 𝑦 = 𝐾𝑒−4𝑥</p><p>Considerando y (0) = 5 ⇒ 5 = K𝑒0 ⇒ K = 5</p><p>Finalmente: 𝒚(𝒙) = 𝟓𝒆−𝟒𝒙</p><p>4.3. Equações Diferenciais Ordinárias Lineares Não Homogêneas de Primeira</p><p>Ordem com Coeficientes Constantes</p><p>Seja a Equações Diferenciais Ordinárias Lineares Não Homogêneas de Primeira</p><p>Ordem:</p><p>𝒅𝒚</p><p>𝒅𝒙</p><p>+ 𝑷𝒚 = 𝑸</p><p>Para solucioná-la, utiliza-se o fator integrante 𝑒∫ 𝑃.𝑑𝑡, transformando-a em uma</p><p>EDO EXATA.</p><p>Para o caso de P e Q serem constantes, a solução será:</p><p>𝒚 (𝒙) =</p><p>𝑸</p><p>𝑷</p><p>+ 𝑲𝒆−𝑷𝒙</p><p>6</p><p>Exemplo 3 Encontre a solução da equação diferencial</p><p>𝑑𝑦</p><p>𝑑𝑥</p><p>+ 3𝑦 = 9 com condição inicial y (0) = 1</p><p>𝑑𝑦</p><p>𝑑𝑥</p><p>+ 3𝑦 = 9 ⇒ 𝑦 (𝑥) =</p><p>9</p><p>3</p><p>+ 𝐾𝑒−3𝑥</p><p>Considerando y (0) = 1 ⇒ K = -2</p><p>Finalmente 𝒚 (𝒙) = 𝟑 − 𝟐𝒆−𝟑𝒙</p><p>Exemplo 4 Encontre a solução da equação diferencial</p><p>2</p><p>𝑑𝑦</p><p>𝑑𝑥</p><p>+ 4𝑦 = 8 com condição inicial y (0) = 1</p><p>2</p><p>𝑑𝑦</p><p>𝑑𝑥</p><p>+ 4𝑦 = 8 ⇒</p><p>𝑑𝑦</p><p>𝑑𝑥</p><p>+ 2𝑦 = 4 ⇒ 𝑦 (𝑥) =</p><p>4</p><p>2</p><p>+ 𝐾𝑒−2𝑥</p><p>Considerando y (0) = 1⇒ K = -1</p><p>Finalmente 𝒚 (𝒙) = 𝟐 − 𝟏𝒆−𝟐𝒙</p>