Cálculo de Integrais Definidas

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<p>Integral Indefinida Integral Definida 0/14</p><p>Cálculo Diferencial e Integral Aplicado a Sistemas Estruturais</p><p>Prof. Dr. Felipe de Almeida Camargo</p><p>Engenharia Civil</p><p>Aula 11 - Integrais por substituição</p><p>30 de abril de 2024</p><p>Prof. Dr. Felipe Camargo [Cálculo] Aula 11 30-04-2024</p><p>Integral Indefinida Integral Definida 1/14</p><p>Definição: Integral Indefinida</p><p>Definição 1.1</p><p>F(x) é dita primitiva de f(x) em um intervalo I, se F ′(x) = f(x), neste intervalo.</p><p>Exemplo 1</p><p>F(x) = x3</p><p>3 − 5</p><p>é primitiva de f(x) = x2.</p><p>De fato,</p><p>F ′(x) = 3x2</p><p>3 = x2.</p><p>Proposição 1</p><p>Se F(x) é uma primitiva de f(x) então, sendo c uma constante, F(x) + c, também é uma primitiva de f(x).</p><p>Prof. Dr. Felipe Camargo [Cálculo] Aula 11 30-04-2024</p><p>Integral Indefinida Integral Definida 1/14</p><p>Definição: Integral Indefinida</p><p>Definição 1.1</p><p>F(x) é dita primitiva de f(x) em um intervalo I, se F ′(x) = f(x), neste intervalo.</p><p>Exemplo 1</p><p>F(x) = x3</p><p>3 − 5</p><p>é primitiva de f(x) = x2.</p><p>De fato,</p><p>F ′(x) = 3x2</p><p>3 = x2.</p><p>Proposição 1</p><p>Se F(x) é uma primitiva de f(x) então, sendo c uma constante, F(x) + c, também é uma primitiva de f(x).</p><p>Prof. Dr. Felipe Camargo [Cálculo] Aula 11 30-04-2024</p><p>Integral Indefinida Integral Definida 1/14</p><p>Definição: Integral Indefinida</p><p>Definição 1.1</p><p>F(x) é dita primitiva de f(x) em um intervalo I, se F ′(x) = f(x), neste intervalo.</p><p>Exemplo 1</p><p>F(x) = x3</p><p>3 − 5</p><p>é primitiva de f(x) = x2.</p><p>De fato,</p><p>F ′(x) = 3x2</p><p>3 = x2.</p><p>Proposição 1</p><p>Se F(x) é uma primitiva de f(x) então, sendo c uma constante, F(x) + c, também é uma primitiva de f(x).</p><p>Prof. Dr. Felipe Camargo [Cálculo] Aula 11 30-04-2024</p><p>Integral Indefinida Integral Definida 2/14</p><p>Definição 1.2</p><p>Se F(x) é a primitiva de f(x), então podemos escrever:∫</p><p>f(x) dx = F(x) + c.</p><p>Prof. Dr. Felipe Camargo [Cálculo] Aula 11 30-04-2024</p><p>Integral Indefinida Integral Definida 3/14</p><p>Propriedades Básicas das Integrais Indefinidas</p><p>1.</p><p>∫</p><p>kf(x)dx = k</p><p>∫</p><p>f(x)dx, em que k é qualquer constante.</p><p>2.</p><p>∫</p><p>[f(x) + g(x)]dx =</p><p>∫</p><p>f(x)dx +</p><p>∫</p><p>g(x)dx.</p><p>3.</p><p>∫</p><p>[f(x)− g(x)]dx =</p><p>∫</p><p>f(x)dx −</p><p>∫</p><p>g(x)dx.</p><p>Prof. Dr. Felipe Camargo [Cálculo] Aula 11 30-04-2024</p><p>Integral Indefinida Integral Definida 4/14</p><p>Integrais Imediatas</p><p>1.</p><p>∫</p><p>dx = x + c</p><p>2.</p><p>∫</p><p>senx dx = − cos x + c</p><p>3.</p><p>∫</p><p>cos x dx = senx + c</p><p>4.</p><p>∫ dx</p><p>x dx = ln x + c</p><p>5.</p><p>∫</p><p>ax dx =</p><p>ax</p><p>ln x + c</p><p>6.</p><p>∫</p><p>ex dx = ex + c</p><p>7.</p><p>∫</p><p>sec2 x dx = −tgx + c</p><p>8.</p><p>∫</p><p>cossec2x dx = −cotgx + c</p><p>9.</p><p>∫</p><p>sec x · tgx dx = sec x + c</p><p>10.</p><p>∫</p><p>cossecx · cotgx dx = −cossecx + c</p><p>Prof. Dr. Felipe Camargo [Cálculo] Aula 11 30-04-2024</p><p>Integral Indefinida Integral Definida 5/14</p><p>q Das integrais imediatas:</p><p>∫</p><p>xn dx =</p><p>xn+1</p><p>n + 1 + c.</p><p>Exemplo 2 ∫</p><p>4x2 + 2 + x dx =</p><p>4x3</p><p>3 + 2x + x2</p><p>2 + c.</p><p>q Exemplos de integrais trigonométricas. Das integrais imediatas temos:∫</p><p>cossec2x dx = −cotgx + c e</p><p>∫</p><p>sec x · tgx dx = − sec x + c.</p><p>Exemplo 3 ∫ (</p><p>2 tgx</p><p>cos x +</p><p>1</p><p>sen2x</p><p>)</p><p>dx = 2 sec x − cotgx + c.</p><p>q Obs.: Relembrar as relações trigonométricas!</p><p>Prof. Dr. Felipe Camargo [Cálculo] Aula 11 30-04-2024</p><p>Integral Indefinida Integral Definida 5/14</p><p>q Das integrais imediatas:</p><p>∫</p><p>xn dx =</p><p>xn+1</p><p>n + 1 + c.</p><p>Exemplo 2 ∫</p><p>4x2 + 2 + x dx =</p><p>4x3</p><p>3 + 2x + x2</p><p>2 + c.</p><p>q Exemplos de integrais trigonométricas. Das integrais imediatas temos:∫</p><p>cossec2x dx = −cotgx + c e</p><p>∫</p><p>sec x · tgx dx = − sec x + c.</p><p>Exemplo 3 ∫ (</p><p>2 tgx</p><p>cos x +</p><p>1</p><p>sen2x</p><p>)</p><p>dx = 2 sec x − cotgx + c.</p><p>q Obs.: Relembrar as relações trigonométricas!</p><p>Prof. Dr. Felipe Camargo [Cálculo] Aula 11 30-04-2024</p><p>Integral Indefinida Integral Definida 5/14</p><p>q Das integrais imediatas:</p><p>∫</p><p>xn dx =</p><p>xn+1</p><p>n + 1 + c.</p><p>Exemplo 2 ∫</p><p>4x2 + 2 + x dx =</p><p>4x3</p><p>3 + 2x + x2</p><p>2 + c.</p><p>q Exemplos de integrais trigonométricas. Das integrais imediatas temos:∫</p><p>cossec2x dx = −cotgx + c e</p><p>∫</p><p>sec x · tgx dx = − sec x + c.</p><p>Exemplo 3 ∫ (</p><p>2 tgx</p><p>cos x +</p><p>1</p><p>sen2x</p><p>)</p><p>dx =</p><p>2 sec x − cotgx + c.</p><p>q Obs.: Relembrar as relações trigonométricas!</p><p>Prof. Dr. Felipe Camargo [Cálculo] Aula 11 30-04-2024</p><p>Integral Indefinida Integral Definida 5/14</p><p>q Das integrais imediatas:</p><p>∫</p><p>xn dx =</p><p>xn+1</p><p>n + 1 + c.</p><p>Exemplo 2 ∫</p><p>4x2 + 2 + x dx =</p><p>4x3</p><p>3 + 2x + x2</p><p>2 + c.</p><p>q Exemplos de integrais trigonométricas. Das integrais imediatas temos:∫</p><p>cossec2x dx = −cotgx + c e</p><p>∫</p><p>sec x · tgx dx = − sec x + c.</p><p>Exemplo 3 ∫ (</p><p>2 tgx</p><p>cos x +</p><p>1</p><p>sen2x</p><p>)</p><p>dx = 2 sec x − cotgx + c.</p><p>q Obs.: Relembrar as relações trigonométricas!</p><p>Prof. Dr. Felipe Camargo [Cálculo] Aula 11 30-04-2024</p><p>Integral Indefinida Integral Definida 6/14</p><p>Definição: Integral Definida</p><p>q Motivação: Cálculo de áreas sobre curvas!</p><p>Definição 2.1</p><p>Se f é contínua no intervalo [a, b] e F é uma primitiva de f, então temos:</p><p>∫ b</p><p>a</p><p>f(x) dx = F(x)|ba = F(b)− F(a).</p><p>q Regra de integração:</p><p>∫ b</p><p>a</p><p>xn dx =</p><p>xn+1</p><p>n + 1</p><p>∣∣∣∣b</p><p>a</p><p>Prof. Dr. Felipe Camargo [Cálculo] Aula 11 30-04-2024</p><p>Integral Indefinida Integral Definida 6/14</p><p>Definição: Integral Definida</p><p>q Motivação: Cálculo de áreas sobre curvas!</p><p>Definição 2.1</p><p>Se f é contínua no intervalo [a, b] e F é uma primitiva de f, então temos:</p><p>∫ b</p><p>a</p><p>f(x) dx = F(x)|ba = F(b)− F(a).</p><p>q Regra de integração:</p><p>∫ b</p><p>a</p><p>xn dx =</p><p>xn+1</p><p>n + 1</p><p>∣∣∣∣b</p><p>a</p><p>Prof. Dr. Felipe Camargo [Cálculo] Aula 11 30-04-2024</p><p>Integral Indefinida Integral Definida 7/14</p><p>Exemplo 4 ∫ 4</p><p>2</p><p>x2 dx =</p><p>x3</p><p>3</p><p>∣∣∣∣4</p><p>3</p><p>=</p><p>43</p><p>3 − 23</p><p>3 =</p><p>64</p><p>3 − 8</p><p>3 =</p><p>56</p><p>3 ≈ 18, 66.</p><p>Exemplo 5</p><p>∫ 2</p><p>1</p><p>√</p><p>x dx =</p><p>2</p><p>√</p><p>x3</p><p>3</p><p>∣∣∣∣∣</p><p>2</p><p>1</p><p>=</p><p>2</p><p>3</p><p>(√</p><p>23 −</p><p>√</p><p>13</p><p>)</p><p>=</p><p>2</p><p>3</p><p>(√</p><p>8 −</p><p>√</p><p>1</p><p>)</p><p>=</p><p>2</p><p>3</p><p>(</p><p>2</p><p>√</p><p>2 − 1</p><p>)</p><p>≈ 2</p><p>3 (2, 82 − 1) ≈ 2</p><p>3 · 1, 82 ≈ 1, 213.</p><p>Prof. Dr. Felipe Camargo [Cálculo] Aula 11 30-04-2024</p><p>Integral Indefinida Integral Definida 7/14</p><p>Exemplo 4 ∫ 4</p><p>2</p><p>x2 dx =</p><p>x3</p><p>3</p><p>∣∣∣∣4</p><p>3</p><p>=</p><p>43</p><p>3 − 23</p><p>3 =</p><p>64</p><p>3 − 8</p><p>3 =</p><p>56</p><p>3 ≈ 18, 66.</p><p>Exemplo 5</p><p>∫ 2</p><p>1</p><p>√</p><p>x dx =</p><p>2</p><p>√</p><p>x3</p><p>3</p><p>∣∣∣∣∣</p><p>2</p><p>1</p><p>=</p><p>2</p><p>3</p><p>(√</p><p>23 −</p><p>√</p><p>13</p><p>)</p><p>=</p><p>2</p><p>3</p><p>(√</p><p>8 −</p><p>√</p><p>1</p><p>)</p><p>=</p><p>2</p><p>3</p><p>(</p><p>2</p><p>√</p><p>2 − 1</p><p>)</p><p>≈ 2</p><p>3 (2, 82 − 1) ≈ 2</p><p>3 · 1, 82 ≈ 1, 213.</p><p>Prof. Dr. Felipe Camargo [Cálculo] Aula 11 30-04-2024</p><p>Integral Indefinida Integral Definida 7/14</p><p>Exemplo 4 ∫ 4</p><p>2</p><p>x2 dx =</p><p>x3</p><p>3</p><p>∣∣∣∣4</p><p>3</p><p>=</p><p>43</p><p>3 − 23</p><p>3 =</p><p>64</p><p>3 − 8</p><p>3 =</p><p>56</p><p>3 ≈ 18, 66.</p><p>Exemplo 5</p><p>∫ 2</p><p>1</p><p>√</p><p>x dx =</p><p>2</p><p>√</p><p>x3</p><p>3</p><p>∣∣∣∣∣</p><p>2</p><p>1</p><p>=</p><p>2</p><p>3</p><p>(√</p><p>23 −</p><p>√</p><p>13</p><p>)</p><p>=</p><p>2</p><p>3</p><p>(√</p><p>8 −</p><p>√</p><p>1</p><p>)</p><p>=</p><p>2</p><p>3</p><p>(</p><p>2</p><p>√</p><p>2 − 1</p><p>)</p><p>≈ 2</p><p>3 (2, 82 − 1) ≈ 2</p><p>3 · 1, 82 ≈ 1, 213.</p><p>Prof. Dr. Felipe Camargo [Cálculo] Aula 11 30-04-2024</p><p>Integral Indefinida Integral Definida 8/14</p><p>Exemplo 6 ∫ 3</p><p>2</p><p>2x2 dx =</p><p>2x3</p><p>3</p><p>∣∣∣∣3</p><p>2</p><p>= 233</p><p>3 − 223</p><p>3 =</p><p>54</p><p>3 − 16</p><p>3 =</p><p>38</p><p>3 ≈ 12, 66.</p><p>Exemplo 7 ∫ 1</p><p>0</p><p>5x3 dx = 5x4</p><p>4</p><p>∣∣∣∣1</p><p>0</p><p>= 514</p><p>4 − 504</p><p>4 =</p><p>5</p><p>4 = 1, 25.</p><p>Prof. Dr. Felipe Camargo [Cálculo] Aula 11 30-04-2024</p><p>Integral Indefinida Integral Definida 8/14</p><p>Exemplo 6 ∫ 3</p><p>2</p><p>2x2 dx = 2x3</p><p>3</p><p>∣∣∣∣3</p><p>2</p><p>= 233</p><p>3 − 223</p><p>3 =</p><p>54</p><p>3 − 16</p><p>3 =</p><p>38</p><p>3 ≈ 12, 66.</p><p>Exemplo 7 ∫ 1</p><p>0</p><p>5x3 dx =</p><p>5x4</p><p>4</p><p>∣∣∣∣1</p><p>0</p><p>= 514</p><p>4 − 504</p><p>4 =</p><p>5</p><p>4 = 1, 25.</p><p>Prof. Dr. Felipe Camargo [Cálculo] Aula 11 30-04-2024</p><p>Integral Indefinida Integral Definida 8/14</p><p>Exemplo 6 ∫ 3</p><p>2</p><p>2x2 dx = 2x3</p><p>3</p><p>∣∣∣∣3</p><p>2</p><p>= 233</p><p>3 − 223</p><p>3 =</p><p>54</p><p>3 − 16</p><p>3 =</p><p>38</p><p>3 ≈ 12, 66.</p><p>Exemplo 7 ∫ 1</p><p>0</p><p>5x3 dx = 5x4</p><p>4</p><p>∣∣∣∣1</p><p>0</p><p>= 514</p><p>4 − 504</p><p>4 =</p><p>5</p><p>4 = 1, 25.</p><p>Prof. Dr. Felipe Camargo [Cálculo] Aula 11 30-04-2024</p><p>Integral Indefinida Integral Definida 9/14</p><p>Exemplo 8</p><p>∫ 2</p><p>1</p><p>x + 2x2 dx =</p><p>∫ 2</p><p>1</p><p>x dx +</p><p>∫ 2</p><p>1</p><p>2x2 dx =</p><p>(</p><p>x2</p><p>2 + 2x3</p><p>3</p><p>)∣∣∣∣2</p><p>1</p><p>=</p><p>(</p><p>22</p><p>2 + 223</p><p>3</p><p>)</p><p>−</p><p>(</p><p>12</p><p>2 + 213</p><p>3</p><p>)</p><p>=</p><p>(</p><p>2 +</p><p>16</p><p>3</p><p>)</p><p>−</p><p>(</p><p>1</p><p>2 +</p><p>2</p><p>3</p><p>)</p><p>= 2 − 1</p><p>2 +</p><p>16</p><p>3 − 2</p><p>3 = 1, 5 − 14</p><p>3</p><p>= 1, 5 + 4, 66 ≈ 6, 16.</p><p>Prof. Dr. Felipe Camargo [Cálculo] Aula 11 30-04-2024</p><p>Integral Indefinida Integral Definida 9/14</p><p>Exemplo 8</p><p>∫ 2</p><p>1</p><p>x + 2x2 dx =</p><p>∫ 2</p><p>1</p><p>x dx +</p><p>∫ 2</p><p>1</p><p>2x2 dx =</p><p>(</p><p>x2</p><p>2 + 2x3</p><p>3</p><p>)∣∣∣∣2</p><p>1</p><p>=</p><p>(</p><p>22</p><p>2 + 223</p><p>3</p><p>)</p><p>−</p><p>(</p><p>12</p><p>2 + 213</p><p>3</p><p>)</p><p>=</p><p>(</p><p>2 +</p><p>16</p><p>3</p><p>)</p><p>−</p><p>(</p><p>1</p><p>2 +</p><p>2</p><p>3</p><p>)</p><p>= 2 − 1</p><p>2 +</p><p>16</p><p>3 − 2</p><p>3 = 1, 5 − 14</p><p>3</p><p>= 1, 5 + 4, 66 ≈ 6, 16.</p><p>Prof. Dr. Felipe Camargo [Cálculo] Aula 11 30-04-2024</p><p>Integral Indefinida Integral Definida 10/14</p><p>Regra/Método da substituição</p><p>q Lembrando da regra da cadeia (Derivada):</p><p>[F(g(x))]′ = F ′(g(x)) · g ′(x).</p><p>q Integrando: ∫</p><p>F ′(g(x)) · g ′(x) dx = F(g(x)) + c∫</p><p>F ′(u) · du = F(u) + c.</p><p>Prof. Dr. Felipe Camargo [Cálculo] Aula 11 30-04-2024</p><p>Integral Indefinida Integral Definida 11/14</p><p>Exemplo 9</p><p>∫</p><p>6x2 · (2x3 + 3)4 dx</p><p>q Fazendo u = 2x3 + 3, temos du = 6x.</p><p>q Substituindo,</p><p>temos: ∫</p><p>u4 du =</p><p>u5</p><p>5 + c</p><p>q Voltando a variável original:</p><p>(2x3 + 3)5</p><p>5 + c.</p><p>Prof. Dr. Felipe Camargo [Cálculo] Aula 11 30-04-2024</p><p>Integral Indefinida Integral Definida 11/14</p><p>Exemplo 9</p><p>∫</p><p>6x2 · (2x3 + 3)4 dx</p><p>q Fazendo u = 2x3 + 3, temos du = 6x.</p><p>q Substituindo, temos: ∫</p><p>u4 du =</p><p>u5</p><p>5 + c</p><p>q Voltando a variável original:</p><p>(2x3 + 3)5</p><p>5 + c.</p><p>Prof. Dr. Felipe Camargo [Cálculo] Aula 11 30-04-2024</p><p>Integral Indefinida Integral Definida 11/14</p><p>Exemplo 9</p><p>∫</p><p>6x2 · (2x3 + 3)4 dx</p><p>q Fazendo u = 2x3 + 3, temos du = 6x.</p><p>q Substituindo, temos: ∫</p><p>u4 du =</p><p>u5</p><p>5 + c</p><p>q Voltando a variável original:</p><p>(2x3 + 3)5</p><p>5 + c.</p><p>Prof. Dr. Felipe Camargo [Cálculo] Aula 11 30-04-2024</p><p>Integral Indefinida Integral Definida 11/14</p><p>Exemplo 9</p><p>∫</p><p>6x2 · (2x3 + 3)4 dx</p><p>q Fazendo u = 2x3 + 3, temos du = 6x.</p><p>q Substituindo, temos: ∫</p><p>u4 du =</p><p>u5</p><p>5 + c</p><p>q Voltando a variável original:</p><p>(2x3 + 3)5</p><p>5 + c.</p><p>Prof. Dr. Felipe Camargo [Cálculo] Aula 11 30-04-2024</p><p>Integral Indefinida Integral Definida 12/14</p><p>Exemplo 10</p><p>∫</p><p>sen2 · cos x dx</p><p>q Fazendo u = senx, temos du = cos xdx.</p><p>q Substituindo, temos: ∫</p><p>u2 du =</p><p>u3</p><p>3 + c</p><p>q Voltando a variável original:</p><p>(senx)3</p><p>3 + c.</p><p>Prof. Dr. Felipe Camargo [Cálculo] Aula 11 30-04-2024</p><p>Integral Indefinida Integral Definida 12/14</p><p>Exemplo 10</p><p>∫</p><p>sen2 · cos x dx</p><p>q Fazendo u = senx, temos du = cos xdx.</p><p>q Substituindo, temos: ∫</p><p>u2 du =</p><p>u3</p><p>3 + c</p><p>q Voltando a variável original:</p><p>(senx)3</p><p>3 + c.</p><p>Prof. Dr. Felipe Camargo [Cálculo] Aula 11 30-04-2024</p><p>Integral Indefinida Integral Definida 12/14</p><p>Exemplo 10</p><p>∫</p><p>sen2 · cos x dx</p><p>q Fazendo u = senx, temos du = cos xdx.</p><p>q Substituindo, temos: ∫</p><p>u2 du =</p><p>u3</p><p>3 + c</p><p>q Voltando a variável original:</p><p>(senx)3</p><p>3 + c.</p><p>Prof. Dr. Felipe Camargo [Cálculo] Aula 11 30-04-2024</p><p>Integral Indefinida Integral Definida 12/14</p><p>Exemplo 10</p><p>∫</p><p>sen2 · cos x dx</p><p>q Fazendo u = senx, temos du = cos xdx.</p><p>q Substituindo, temos: ∫</p><p>u2 du =</p><p>u3</p><p>3 + c</p><p>q Voltando a variável original:</p><p>(senx)3</p><p>3 + c.</p><p>Prof. Dr. Felipe Camargo [Cálculo] Aula 11 30-04-2024</p><p>Integral Indefinida Integral Definida 13/14</p><p>Exemplo 11</p><p>∫ 2x</p><p>1 + x2 dx</p><p>q Fazendo u = 1 + x2, temos du = 2xdx.</p><p>q Substituindo, temos: ∫ 1</p><p>u du = ln u + c</p><p>q Voltando a variável original:</p><p>ln(1 + x2) + c.</p><p>Prof. Dr. Felipe Camargo [Cálculo] Aula 11 30-04-2024</p><p>Integral Indefinida Integral Definida 13/14</p><p>Exemplo 11</p><p>∫ 2x</p><p>1 + x2 dx</p><p>q Fazendo u = 1 + x2, temos du = 2xdx.</p><p>q Substituindo, temos: ∫ 1</p><p>u du =</p><p>ln u + c</p><p>q Voltando a variável original:</p><p>ln(1 + x2) + c.</p><p>Prof. Dr. Felipe Camargo [Cálculo] Aula 11 30-04-2024</p><p>Integral Indefinida Integral Definida 13/14</p><p>Exemplo 11</p><p>∫ 2x</p><p>1 + x2 dx</p><p>q Fazendo u = 1 + x2, temos du = 2xdx.</p><p>q Substituindo, temos: ∫ 1</p><p>u du = ln u + c</p><p>q Voltando a variável original:</p><p>ln(1 + x2) + c.</p><p>Prof. Dr. Felipe Camargo [Cálculo] Aula 11 30-04-2024</p><p>Integral Indefinida Integral Definida 13/14</p><p>Exemplo 11</p><p>∫ 2x</p><p>1 + x2 dx</p><p>q Fazendo u = 1 + x2, temos du = 2xdx.</p><p>q Substituindo, temos: ∫ 1</p><p>u du = ln u + c</p><p>q Voltando a variável original:</p><p>ln(1 + x2) + c.</p><p>Prof. Dr. Felipe Camargo [Cálculo] Aula 11 30-04-2024</p><p>Integral Indefinida Integral Definida 14/14</p><p>Exercícios</p><p>1. Calcule as integrais definidas:</p><p>a)</p><p>∫ 5</p><p>1</p><p>x dx</p><p>b)</p><p>∫ 2</p><p>0</p><p>(</p><p>1 − x</p><p>2</p><p>)</p><p>dx</p><p>c)</p><p>∫ π/2</p><p>0</p><p>cos x dx</p><p>d)</p><p>∫ 2</p><p>1</p><p>3x2</p><p>2 dx</p><p>e)</p><p>∫ 2</p><p>1</p><p>(√</p><p>x − 3x2) dx</p><p>f)</p><p>∫ 2</p><p>0</p><p>(√</p><p>x + 5x2) dx</p><p>g)</p><p>∫ 4</p><p>1</p><p>(</p><p>3 − 1√</p><p>x</p><p>)</p><p>dx</p><p>h)</p><p>∫ π/3</p><p>0</p><p>sec x · tgx dx</p><p>i)</p><p>∫ 3</p><p>1</p><p>3x dx</p><p>2 Calcule as integrais indefinidas:</p><p>a)</p><p>∫</p><p>2x</p><p>√</p><p>1 + x2 dx</p><p>b)</p><p>∫ √</p><p>4 + x2 dx</p><p>c)</p><p>∫</p><p>e5x dx</p><p>d)</p><p>∫</p><p>e−4x dx</p><p>Prof. Dr. Felipe Camargo [Cálculo] Aula 11 30-04-2024</p><p>Integral Indefinida</p><p>Integral Definida</p>