P2 solução

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Prof.: Etereldes
16/05/2012
Sugesta˜o de Prova II - A´lgebra Linear
1. (a) A forma escalonada da matriz aumentada do sistema e´: 1 0 1/2 00 1 1/2 0
0 0 0 0
 .
Logo, o sistema Ax = 0 e´ equivalente a
 x+
z
2
= 0
y +
z
2
= 0
, cuja soluc¸a˜o e´
S = {(−z
2
,−z
2
, z); z ∈ R} = ger{(−1,−1, 2)}.
(b) Se (x, y, z) ∈ pi ∩S enta˜o

2x+ 3y − z = 1
x+
z
2
= 0
y +
z
2
= 0
, cuja soluc¸a˜o u´nica e´ (
1
3
,
1
3
,−2
3
).
(c) Seja P o plano pedido. Enta˜o ηP (−1,−1, 2) × (−2, 3,−1) = (−5,−5,−5) e´
normal a P . Como (
1
3
,
1
3
,−2
3
) ∈ P , enta˜o P = {(x, y, z) ∈ R3;< (x, y, z) −
(
1
3
,
1
3
,−2
3
), (−5,−5,−5) >= 0} cuja equac¸a˜o e´ x+ y + z = 0.
2. Seja A a matriz cujas linha sa˜o v1, v2, v2 e v4. A matriz A e´ equivalente por linhas
a:
R =

5 0 0 6 4
0 5 0 −8 −2
0 0 5 9 1
0 0 0 0 0
 .
Uma base para W = ger{C} e´ {(5, 0, 0, 6, 4), (0, 5, 0,−8,−2), (0, 0, 5, 9, 1)}. Como
W⊥ e´ igual ao nu´cleo de A, basta encontrar uma base para o espac¸o soluc¸a˜o de
Rx = 0. Logo, uma base para W⊥ e´ {(−6, 8,−9, 5, 0), (−4, 2,−1, 0, 5)}.
3. (a) Seja u1 = (1, 1, 0, 0, 1) e
u′2 = v2 − Pu1v2 = (
−5
3
,
4
3
, 3,−1, 1
3
)
. Logo, u2 = (−5, 4, 9,−3, 1) e u1 sa˜o ortogonais. Seja
u′3 = v3 − Pu1v3 − Pu2v3 = (
5
11
,
−37
11
,
25
11
,
32
11
)
2
.
Logo, u3 = (5, 37, 24, 25, 32) e´ ortogonal a u1 e a u2. Veja que B
′ = {u1, u2, u3}
na˜o e´ uma base ortonormal de W .
(b) [v]B = v1− v2 + v3 = (4,−2, 0, 3, 5). Como B′ e´ ortogonal [v]′B = α1u1 +α2u2 +
α3u3 onde αi =
< v, ui >
‖ui‖2 . Logo,
[v]B′ = (
7
3
,
−42
132
,
181
3619
).
4. (a) Falso. Sejam u,w ∈ R3 tais que v = w− u seja na˜o nulo. Enta˜o u× v = u×w.
(b) Verdadeiro. Pois projWu ∈ W e projW⊥u ∈ W⊥.
(c) Falso. Pois {u1 = (1, 0), u2 = (0, 1), u3 = (0, 2)} e´ LD, e na˜o existe a, b ∈ R tais
que u1 = au2 + bu3.
(d) Verdadeiro. Se Ax = b enta˜o b e´ combinac¸a˜o linear das colunas de A.