ATIVIDADE 1 - MAT - ANÁLISE MATEMÁTICA - 53_2024

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<p>AE 1 – ATIVIDADE DE ESTUDO 01</p><p>ACADÊMICO: Emily Gabriely Dias Campos Da Silva R.A.: 19124237-5</p><p>CURSO: Licenciatura em Matemática</p><p>DISCIPLINA: ANÁLISE MATEMÁTICA</p><p>VALOR DA ATIVIDADE: 0,5 PONTO PRAZO: 08/09/2024 23:59</p><p>Estudar a convergência de sequências e séries é essencial porque</p><p>esses conceitos são fundamentais para o entendimento e aplicação de muitos</p><p>ramos da matemática e suas aplicações práticas. Eles fornecem as</p><p>ferramentas necessárias para análise, modelagem, e solução de problemas em</p><p>diversas áreas do conhecimento</p><p>Sobre a convergência de sequências e séries, considere a sequência</p><p>an definida por an =1/n2, e resolva as seguintes questões.</p><p>1) Prove, utilizando a definição, que a sequência an converge e determine o</p><p>seu limite.</p><p>Convergência da Sequência:</p><p>• Definição de Convergência: Uma sequência converge para um limite L se,</p><p>para todo , existe um N tal que para todo , .</p><p>Para , escolha L = 0. Para qualquer , se</p><p>escolher (resolvendo a partir da equação ), então para todo n > N,</p><p>temos . Assim, a sequência converge para 0.</p><p>A sequência converge e seu limite é 0. Isso é provado pela definição</p><p>de convergência de sequência.</p><p>2) Considere a série dada por ∑an . Determine se a série converge ou diverge.</p><p>Convergência da Série:</p><p>Podemos usar o critério da integral de Cauchy, pelo qual a integral imprópria</p><p>entre 1 e infinito deve ser finita, isso é possível porque an é monotonamente</p><p>decrescente e sempre positiva:</p><p>A série converge, pois é uma série p-série com p > 1, isso pode</p><p>ser comprovado mediante o critério da integral de Cauchy.</p>