Aula_2_-_juro_composto

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<p>Bacharelado em Administração</p><p>Matemática Financeira</p><p>Profª. Marilia Vasconcellos</p><p>JURO COMPOSTO</p><p>Nesse regime consideramos que os juros formados em cada período são</p><p>adicionados ao capital formando o montante (capital + juros) do período, esse</p><p>montante passa a ser o novo capital e irá incidir juros sobre esse novo capital e</p><p>assim sucessivamente. Dizemos ainda que os juros são capitalizados, e como não</p><p>apenas o capital inicial rende juros, denominamos juros compostos. Entendemos,</p><p>então, que a composição do capital mais os juros transformam-se em um novo</p><p>capital.</p><p>Cada vez que os juros são incorporados ao principal, denominamos capitalização. Este termo</p><p>representa a principal diferença entre juros simples e compostos. Vejamos o exemplo abaixo sobre a diferença</p><p>entre juros simples e compostos.</p><p>Por exemplo:</p><p>Quadro 1– Comparativo juros simples x juros compostos</p><p>Bacharelado em Administração</p><p>Matemática Financeira</p><p>Profª. Marilia Vasconcellos</p><p>CÁLCULO DO JURO COMPOSTO</p><p>Como é do nosso conhecimento, o montante é a soma do principal aos juros da aplicação no prazo</p><p>determinado e à taxa de juros estipulada. Para obtenção dos juros, temos a seguinte fórmula:</p><p>𝑴 = 𝑪 ∙ (𝟏 + 𝒊)𝒕 𝒐𝒖 𝒊 = √</p><p>𝑴</p><p>𝑪</p><p>𝒕</p><p>− 𝟏 𝒐𝒖 𝑪 =</p><p>𝑴</p><p>(𝟏 + 𝒊)𝒕</p><p>Onde:</p><p>𝑀 = 𝑚𝑜𝑛𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒, 𝑖 = 𝑡𝑎𝑥𝑎 𝑑𝑒 𝑗𝑢𝑟𝑜, 𝐶 = 𝑐𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙, 𝑡 = 𝑝𝑒𝑟í𝑜𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜</p><p>Para calcularmos apenas os juros basta diminuir o capital do montante ao final do período:</p><p>𝑱 = 𝑴 − 𝑪</p><p>Obs.: a taxa 𝒊 tem que ser expressa na mesma medida de tempo de 𝒕, ou seja, taxa de juros ao mês para 𝒕</p><p>meses.</p><p>Vamos ver cada um dos casos</p><p>Exercício 1: Calcular o montante de um capital de $ 5.000,00 aplicados a juros de 6% ao mês durante dois</p><p>anos.</p><p>Basicamente existem quatro exercícios clássicos de juros compostos:</p><p>• Calcular o Montante (Valor Futuro)</p><p>• Calcular o Capital (Valor Presente)</p><p>• Calcular o Prazo (n)</p><p>• Calcular a Taxa (i)</p><p>Bacharelado em Administração</p><p>Matemática Financeira</p><p>Profª. Marilia Vasconcellos</p><p>Exercício 2: Suponhamos que você possua um título que vencerá daqui a um ano com valor nominal de</p><p>R$ 3.138,43. Você recebe uma proposta para trocar o título por outro que vence daqui a seis meses no valor</p><p>de R$ 1.780,00. Assumindo uma taxa de juros praticada pelo mercado de 10% a.m., perguntamos: a troca é</p><p>vantajosa?</p><p>Exercício 3: Você recebe uma proposta para investir hoje a importância de R$ 300.000,00 para receber</p><p>R$ 440.798,42 ao fim de 5 meses. Qual a taxa de rentabilidade mensal desse investimento?</p><p>Exercício 4: Determinar o prazo de uma aplicação de R$ 50.000,00, no regime de capitalização composta, à</p><p>taxa de 7% ao mês, cujo resgate foi de R$ 65.539,80.</p><p>Para resolver o próximo exemplo precisamos recordar...</p><p>Logaritmo: Sendo “a”, “b” e “n” números reais e positivos, com 𝑎 ≠ 1, temos que</p><p>𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒃𝒏 ↔ 𝒏 ∙ 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒃</p><p>Bacharelado em Administração</p><p>Matemática Financeira</p><p>Profª. Marilia Vasconcellos</p><p>APLICAÇÕES COM PERÍODOS FRACIONÁRIOS</p><p>No regime de capitalização composta, quando o período é fracionário podem ser usadas duas</p><p>convenções:</p><p>CONVENÇÃO EXPONENCIAL</p><p>Neste caso, remunera-se a aplicação, com juros compostos, durante todo o período (inteiro + fração).</p><p>O montante cresce segundo uma curva exponencial.</p><p>Por exemplo: O capital de R$ 12.000,00 foi aplicado a juros compostos, à taxa de 60% ao ano, capitalizada</p><p>trimestralmente, pelo prazo de 8 meses. Determine o montante.</p><p>CONVENÇÃO LINEAR</p><p>Neste caso, a parte inteira do período é remunerada a juros compostos. O montante assim obtido é,</p><p>então, remunerado a juros simples, no período correspondente à parte fracionária.</p><p>Por exemplo: O capital de R$ 12.000,00 foi aplicado a juros compostos à taxa de 60% ao ano, capitalizada</p><p>trimestralmente, durante 8 meses. Determine o montante.</p><p>OBSERVAÇÃO</p><p>O montante obtido através da convenção linear é sempre um pouquinho maior que o montante obtido</p><p>pela convenção exponencial</p><p>Bacharelado em Administração</p><p>Matemática Financeira</p><p>Profª. Marilia Vasconcellos</p><p>EXERCÍCIOS:</p><p>1) Determinar o montante que um investimento de R$ 80.000,00 produzirá em dois semestres, à taxa de 15%</p><p>ao trimestre, no regime de capitalização composta.</p><p>2) Em quanto tempo um capital de R$ 2000,00 gera um montante de R$ 2251,07, se ele rende 3% a.m?</p><p>3) Qual o capital que, aplicado à taxa composta de 2% a.m, durante um semestre, gera montante igual a</p><p>R$ 225.323,40?</p><p>4) Determinar o tempo necessário para o capital de R$ 20.000,00 gerar um montante de R$ 28.142,00,</p><p>quando aplicado à taxa de 5% ao mês.</p><p>Bacharelado em Administração</p><p>Matemática Financeira</p><p>Profª. Marilia Vasconcellos</p><p>5) Você vai adquirir dois títulos, o primeiro tem valor de resgate de R$ 50.000,00 e prazo de resgate 6 meses;</p><p>o segundo tem valor de resgate de R$ 30.000,00 e prazo de resgate de 9 meses. Qual o valor da aplicação, se</p><p>a instituição financeira está oferecendo uma taxa de 6% ao mês, no regime de juros compostos?</p><p>6) Quantos períodos serão necessários para triplicar um capital, a juros compostos, à taxa de 10% ao</p><p>período?</p><p>7) Qual a taxa mensal de juros compostos que transforma um capital de R$ 30.000,00 em R$ 212.537,21 em</p><p>dois anos?</p><p>8) O capital de R$ 100.000,00 colocado a juros compostos, capitalizados mensalmente durante 8 meses,</p><p>elevou-se, no final desse prazo, a R$ 156.994,83. Calcular a taxa de juros aplicada.</p><p>Bacharelado em Administração</p><p>Matemática Financeira</p><p>Profª. Marilia Vasconcellos</p><p>9) Calcule o quanto será pago por um empréstimo de R$ 20.000,00 vencível de hoje a 14 meses e ao se</p><p>antecipar por 5 meses a data do seu pagamento. Sabe-se que o credor está disposto a atualizar a dívida à taxa</p><p>composta de 2,5% ao mês.</p><p>10) Ricardo fez uma aplicação de R$ 15.000,00 por 15 meses à taxa de 45% a.a., no regime de juros</p><p>compostos. Determine o montante recebido, utilizando as convenções linear e exponencial.</p><p>Bacharelado em Administração</p><p>Matemática Financeira</p><p>Profª. Marilia Vasconcellos</p>