prova_p3_calc3_2013_1_mat

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Universidade Federal do Rio de Janeiro
INSTITUTO DE MATEMA´TICA
Departamento de Me´todos Matema´ticos
3a Prova de Ca´lculo III - Matema´tica - Monica
05/07/2013
Ao longo da prova na˜o se esquec¸a de orientar a curva ou a superf´ıcie, sempre que
necessa´rio.
1a Questa˜o: (2,5 pontos)
Seja
−→
F (x, y, z) =
(
ex sen y, ex cos y, z2
)
um campo vetorial em IR3. Seja C a curva para-
metrizada por σ(t) =
(√
t, t3, e
√
t
)
, 0 ≤ t ≤ 1. Calcule
∫
C
−→
F · ds.
2a Questa˜o: (4 pontos)
Seja Ω = {(x, y, z) ∈ IR3;x2 + y2 − 2 ≤ z ≤ 2}. Calcule
∫ ∫
∂Ω
(−→
F · η
)
ds, quando:
1.
−→
F (x, y, z) = (x, z, xz).
2.
−→
F (x, y, z) =
(
y
x2 + y2 + z2
,
−x− z
x2 + y2 + z2
,
y
x2 + y2 + z2
)
.
3a Questa˜o: (3,5 pontos)
Seja
−→
F (x, y, z) =
(
z2 − y2,−2xy2, e
√
z cos z
)
um campo vetorial em IR3. Seja C a curva
parametrizada por σ(t) =
(
cos t, sen t, 8− cos2 t− sen t), 0 ≤ t ≤ 2pi.
1. Em que domı´nio D de IR3 o campo
−→
F e´ C1?
2. Mostre que C esta´ contida na superf´ıcie S definida pela equac¸a˜o z = 8− x2 − y.
3. Qual a projec¸a˜o de C sobre o plano xy? Qual o sentido desta projec¸a˜o, hora´rio ou
trigonome´trico?
4. Oriente S de modo a poder calcular
∫
C
−→
F · ds, usando Stokes. Porque pode aplicar
Stokes? Calcule usando Stokes.
JUSTIFIQUE SUAS RESPOSTAS !
Boa Sorte!!!
A nota e revisa˜o da prova sera´ na segunda feira, dia 08 de julho, na sala de aula, a`s 10h15m.
A prova final sera´ dia 17 de julho. Se voceˆs precisarem de atendimento do monitor Gabriel, no
per´ıodo antes da final, enviem e-mail para ele marcando hora´rio.