simulado de matematica DG

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<p>**Explicação:** Reescrevendo a equação, temos \( x^2 - 1 = 2^3 = 8 \), então \( x^2 = 9 \)</p><p>e \( x = 3 \) ou \( x = -3 \). Como \( x^2 - 1 > 0 \), temos \( x = 4 \).</p><p>9. **Problema 9:** Qual é a derivada de \( f(x) = \tan^{-1}(x) \)?</p><p>a) \( \frac{1}{x^2 + 1} \)</p><p>b) \( \frac{1}{x} \)</p><p>c) \( \frac{x}{x^2 + 1} \)</p><p>d) \( \frac{1}{\cos^2(x)} \)</p><p>**Resposta:** a) \( \frac{1}{x^2 + 1} \)</p><p>**Explicação:** A derivada da função arco tangente é bem conhecida e pode ser</p><p>derivada usando a regra da cadeia e a definição da função inversa.</p><p>10. **Problema 10:** Qual é o valor de \( \frac{d}{dx}(e^{3x}) \)?</p><p>a) \( 3e^{3x} \)</p><p>b) \( e^{3x} \)</p><p>c) \( 9e^{3x} \)</p><p>d) \( 3e^{x} \)</p><p>**Resposta:** a) \( 3e^{3x} \)</p><p>**Explicação:** Usando a regra da cadeia, a derivada de \( e^{u} \) é \( e^{u} \cdot u' \),</p><p>onde \( u = 3x \) e \( u' = 3 \).</p><p>11. **Problema 11:** Resolva a equação \( \sqrt{x + 3} + \sqrt{x - 1} = 4 \).</p><p>a) 5</p><p>b) 6</p><p>c) 7</p><p>d) 8</p><p>**Resposta:** a) 5</p><p>**Explicação:** Isolando \( \sqrt{x + 3} \), temos \( \sqrt{x + 3} = 4 - \sqrt{x - 1} \).</p><p>Elevando ao quadrado e resolvendo a equação resultante, encontramos \( x = 5 \).</p><p>12. **Problema 12:** Qual é a equação da reta tangente à curva \( y = x^2 \) no ponto \( (2,</p><p>4) \)?</p><p>a) \( y = 4x - 4 \)</p><p>b) \( y = 2x - 4 \)</p><p>c) \( y = 2x + 4 \)</p><p>d) \( y = x + 2 \)</p><p>**Resposta:** a) \( y = 4x - 4 \)</p><p>**Explicação:** A derivada de \( y = x^2 \) é \( 2x \). No ponto \( (2, 4) \), a inclinação é \( 4</p><p>\). Usando a fórmula da reta tangente \( y - y_0 = m(x - x_0) \), obtemos \( y - 4 = 4(x - 2) \),</p><p>que simplifica para \( y = 4x - 4 \).</p><p>13. **Problema 13:** Qual é o valor de \( \lim_{x \to \infty} \frac{3x^3 + 2x^2 + 1}{5x^3 - 4x +</p><p>2} \)?</p><p>a) 0</p><p>b) 1</p><p>c) \( \frac{3}{5} \)</p><p>d) \( \infty \)</p><p>**Resposta:** c) \( \frac{3}{5} \)</p><p>**Explicação:** Dividindo todos os termos pelo maior grau de \( x \), temos \( \lim_{x \to</p><p>\infty} \frac{3 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^3}}{5 - \frac{4}{x^2} + \frac{2}{x^3}} = \frac{3}{5} \).</p><p>14. **Problema 14:** Qual é a integral indefinida \( \int (2x + 3) e^{x^2 + 3x} \, dx \)?</p><p>a) \( e^{x^2 + 3x} + C \)</p><p>b) \( e^{x^2 + 3x} + C \)</p><p>c) \( e^{x^2 + 3x} + C \)</p><p>d) \( e^{x^2 + 3x} + C \)</p><p>**Resposta:** b) \( e^{x^2 + 3x} + C \)</p><p>**Explicação:** Usamos a substituição \( u = x^2 + 3x \), então \( du = (2x + 3)dx \). A</p><p>integral se torna \( \int e^u \, du = e^u + C = e^{x^2 + 3x} + C \).</p><p>15. **Problema 15:** Qual é a solução da equação \( 3^x = 81 \)?</p><p>a) 3</p><p>b) 4</p><p>c) 5</p><p>d) 6</p><p>**Resposta:** b) 4</p><p>**Explicação:** Reescrevendo \( 81 \) como \( 3^4 \), temos \( 3^x = 3^4 \), logo \( x = 4 \).</p><p>16. **Problema 16:** Qual é o valor de \( \int_0^1 x^3 \, dx \)?</p><p>a) \( \frac{1}{4} \)</p><p>b) \( \frac{1}{5} \)</p><p>c) \( \frac{1}{6} \)</p><p>d) \( \frac{1}{3} \)</p><p>**Resposta:** b) \( \frac{1}{5} \)</p><p>**Explicação:** A antiderivada de \( x^3 \) é \( \frac{x^4}{4} \). Avaliando de 0 a 1, temos</p><p>\( \left[\frac{1^4}{4} - 0\right] = \frac{1}{4} \).</p><p>17. **Problema 17:** Qual é a solução da equação \( \log_3(x + 2) = 2 \)?</p><p>a) 1</p><p>b) 4</p><p>c) 5</p><p>d) 7</p><p>**Resposta:** b) 4</p><p>**Explicação:** Reescrevendo, temos \( x + 2 = 3^2 \), ou seja, \( x + 2 = 9 \), logo \( x = 7</p><p>\).</p><p>18. **Problema 18:** Qual é a derivada de \( f(x) = \sin(x^2) \)?</p><p>a) \( 2x \cos(x^2) \)</p><p>b) \( \cos(x^2) \)</p><p>c) \( 2 \sin(x^2) \)</p><p>d) \( x \cos(x^2) \)</p><p>**Resposta:** a) \( 2x \cos(x^2) \)</p><p>**Explicação:** Usando a regra da cadeia, temos \( f'(x) = \cos(x^2) \cdot (x^2)' = 2x</p><p>\cos(x^2) \).</p><p>19. **Problema 19:** Qual é o valor de \( \int_0^{\pi} \sin(x) \, dx \)?</p><p>a) 1</p><p>b) 2</p><p>c) \( \pi \)</p><p>d) 0</p><p>**Resposta:** b) 2</p><p>**Explicação:** A antiderivada de \( \sin(x) \) é \( -\cos(x) \). Avaliando de 0 a \( \pi \),</p><p>temos \( [-\cos(\pi) - (-\cos(0))] = [1 + 1] = 2 \).</p><p>20. **Problema 20:** Qual é o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(x)}{x} \)?</p><p>a) 0</p><p>b) 1</p><p>c) \( \infty \)</p><p>d) Não existe</p><p>**Resposta:** b) 1</p><p>**Explicação:** Este é um limite fundamental que se pode demonstrar usando a série</p><p>de Taylor ou a regra de L'Hôpital.</p><p>21. **Problema 21:** Qual é a integral indefinida \( \int e^{2x} \, dx \)?</p><p>a) \( \frac{1}{2} e^{2x} + C \)</p><p>b) \( 2e^{2x} + C \)</p><p>c) \( e^{2x} + C \)</p><p>d) \( \frac{1}{e^{2x}} + C \)</p><p>**Resposta:** a) \( \frac{1}{2} e^{2x} + C \)</p><p>**Explicação:** A antiderivada de \( e^{kx} \) é \( \frac{1}{k} e^{kx} + C \). Assim, \( \int</p><p>e^{2x} \, dx = \frac{1}{2} e^{2x} + C \).</p><p>22. **Problema 22:** Qual é a soma dos ângulos internos de um hexágono?</p><p>a) 540°</p><p>b) 720°</p><p>c) 900°</p><p>d) 1080°</p><p>**Resposta:** b) 720°</p><p>**Explicação:** A soma dos ângulos internos de um polígono é dada por \( (n - 2) \times</p><p>180° \), onde \( n \) é o número de lados. Para um hexágono (\( n = 6 \)), temos \( (6 - 2)</p><p>\times 180° = 720° \).</p>