P1 Álgebra Linear Algorítmica 23

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<p>P1 Álgebra Linear Algorítmica 23.2</p><p>IMPORTANTE: Justifique todas as suas respostas.</p><p>1. Seja A =</p><p>[</p><p>3 −1</p><p>−1 3</p><p>]</p><p>, encontre:</p><p>a) Autovalores λ1 e λ2 de A.</p><p>b) Autovetores de A.</p><p>c) Monte a matriz V e V T cujas colunas de V são autovetores unitários de</p><p>A e V T sua transposta.</p><p>d) Encontre a composição V DV T , onde D =</p><p>[</p><p>λ1 0</p><p>0 λ2</p><p>]</p><p>.</p><p>e) Encontre a composição V TV . Relacione V T com a inversa de V .</p><p>2. Sabendo que P projeta todo o plano na reta y = −2x:</p><p>a) Apresente a matriz P .</p><p>b) Para um v qualquer, sabendo que Pv = w, calcule P 5v em função de w.</p><p>c) Apresente um unitário ŵ na direção de w.</p><p>d) Encontre todos y tal que Py = 0.</p><p>e) P tem inversa?</p><p>3. Em computação quântica a matriz H =</p><p>[</p><p>1/</p><p>√</p><p>2 1/</p><p>√</p><p>2</p><p>1/</p><p>√</p><p>2 −1/</p><p>√</p><p>2</p><p>]</p><p>descreve a</p><p>chamada porta de Hadamard.</p><p>a) Mostre que H descreve uma reflexão do plano.</p><p>b) Calcule o espelho desta reflexão.</p><p>c) Existe relação entre o espelho e os autovetores de H?</p><p>4. Prove as afirmações quando verdadeiras e apresente um contra exemplo</p><p>se for falsa para matrizes e vetores no plano.</p><p>a) Sabendo que Mx = λx, então M2x = λ2x.</p><p>b) AB = BA.</p><p>c) det(A) = det(AT ).</p><p>d) det(AN ) = det(A)N .</p><p>5. Seja {</p><p>3x1 − x2 = 2</p><p>−x1 + 3x2 = 2</p><p>a) Monte o sistema como Ax = b e decida (antes de resolver se o sistema tem</p><p>solução única).</p><p>b) Calcule AT b e explique o que está acontecendo.</p><p>c) Resolva o sistema.</p><p>1</p>