Apostila Calculo1 com Exercicios_pag98

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<p>94</p><p>= 2u ln(u)− 2u+ C</p><p>Resposta: 2</p><p>√</p><p>xe</p><p>√</p><p>x − 2e</p><p>√</p><p>x + C</p><p>(i) Seja:</p><p>u =</p><p>√</p><p>x⇒ du =</p><p>1</p><p>2</p><p>√</p><p>x</p><p>dx⇒ dx = 2u du</p><p>Então,</p><p>∫ √</p><p>1− x</p><p>1−√x dx =</p><p>∫ √</p><p>1− u2</p><p>1− u 2u du</p><p>Agora, tome:</p><p>u = sen(θ) ∴ du = cos(θ) dθ</p><p>Logo, �camos com:</p><p>∫ √</p><p>1− u2</p><p>1− u 2u du =</p><p>∫</p><p>cos2(θ) sen(θ)</p><p>1− sen(θ)</p><p>dθ</p><p>Multiplicando por 1 + sen(θ), temos:</p><p>∫</p><p>cos2(θ) sen(θ)</p><p>1− sen(θ)</p><p>dθ =</p><p>∫</p><p>cos2(θ) sen(θ)(1 + sen(θ))</p><p>1− sen2(θ)</p><p>dθ = 2</p><p>∫</p><p>(sen(θ)+sen2(θ)) dθ</p><p>= −2 cos(θ) +</p><p>∫</p><p>(1− cos(2θ)) dθ = −2 cos(θ) + θ − sen(θ) cos(θ) + C</p><p>Resposta: −2</p><p>√</p><p>1− x+ arcsen(</p><p>√</p><p>x)−√x</p><p>√</p><p>1− x+ C</p><p>9. (a) Observemos que 1 é raiz do denominador D(x) = x3 +x2−x−1 e, por divisão,</p><p>obtemos D(x)/(x−1) = (x2 +2x+1) = (x+1)2. Logo, D(x) = (x−1)(x+1)2.</p><p>Por frações parciais:</p><p>2x2 + 7x− 1</p><p>x3 + x2 − x− 1</p><p>=</p><p>A</p><p>x− 1</p><p>+</p><p>B</p><p>x+ 1</p><p>+</p><p>C</p><p>(x+ 1)2</p><p>=</p><p>(A+B)x2 + (2A+ C)x+ A−B − C</p><p>(x− 1)(x+ 1)2</p>