matematica das coisas MMCLXXXV

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<p>**Explicação:** Este resultado é conhecido como a soma da série de Basel.</p><p>10. **Qual é o produto de \( \int_0^{\pi} \sin(x) \, dx \) e \( \int_0^{\pi} \cos(x) \, dx \)?**</p><p>- A) 0</p><p>- B) \( \frac{\pi}{2} \)</p><p>- C) 1</p><p>- D) \( \frac{\pi^2}{4} \)</p><p>**Resposta: A) 0**</p><p>**Explicação:** A integral de \( \sin(x) \) é 2 e a de \( \cos(x) \) é 0, logo o produto é 0.</p><p>11. **Qual é o valor de \( \frac{d^2}{dx^2}(x^4 - 3x^3 + 2x) \) em \( x = 1 \)?**</p><p>- A) 0</p><p>- B) 2</p><p>- C) 6</p><p>- D) 12</p><p>**Resposta: C) 6**</p><p>**Explicação:** Primeiro, calculamos a primeira derivada: \( 4x^3 - 9x^2 + 2 \). A</p><p>segunda derivada é \( 12x^2 - 18x \). Avaliando em \( x = 1 \): \( 12(1)^2 - 18(1) = 12 - 18 = -6</p><p>\).</p><p>12. **Qual é o valor de \( \int_1^4 (2x^3 - 3x^2 + 5) \, dx \)?**</p><p>- A) 7</p><p>- B) 9</p><p>- C) 20</p><p>- D) 25</p><p>**Resposta: C) 20**</p><p>**Explicação:** Calculamos a integral:</p><p>\( \int (2x^3 - 3x^2 + 5) \, dx = 0.5x^4 - x^3 + 5x + C \). Avaliando de 1 a 4, obtemos 20.</p><p>13. **Qual é a série de Fourier para uma função periódica \( f(x) = x \) no intervalo [-π,</p><p>π]?**</p><p>- A) \( a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx)) \)</p><p>- B) \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \sin(nx) \)</p><p>- C) \( \frac{2}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} \sin(nx) \)</p><p>- D) \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \cos(nx) \)</p><p>**Resposta: C) \( \frac{2}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} \sin(nx) \)**</p><p>**Explicação:** A série de Fourier para funções ímpares é dada por essa fórmula.</p><p>14. **Qual é a equação da reta tangente à curva \( y = x^2 \) em \( x = 2 \)?**</p><p>- A) \( y = 4x - 4 \)</p><p>- B) \( y = 2x - 2 \)</p><p>- C) \( y = 4x + 4 \)</p><p>- D) \( y = 2x^2 - 4 \)</p><p>**Resposta: A) \( y = 4x - 4 \)**</p><p>**Explicação:** A derivada é \( y' = 2x \), avaliando em \( x = 2 \), temos \( m = 4 \). A</p><p>equação da reta é \( y - 4 = 4(x - 2) \).</p><p>15. **Qual é o valor de \( \lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 + 5}{2x^2 + 4} \)?**</p><p>- A) 1</p><p>- B) 2</p><p>- C) \( \frac{3}{2} \)</p><p>- D) 3</p><p>**Resposta: A) 1**</p><p>**Explicação:** Dividimos numerador e denominador por \( x^2 \) e obtemos \( \frac{3 +</p><p>0}{2 + 0} = \frac{3}{2} \).</p><p>16. **Qual é a integral imprópria \( \int_1^{\infty} \frac{1}{x^2} \, dx \)?**</p><p>- A) 1</p><p>- B) 2</p><p>- C) \( \frac{1}{x} \)</p><p>- D) Infinito</p><p>**Resposta: A) 1**</p><p>**Explicação:** Avaliando a integral, temos:</p><p>\( \lim_{b \to \infty} \left[ -\frac{1}{x} \right]_1^b = 0 + 1 = 1 \).</p><p>17. **Qual é a área sob a curva \( y = x^3 \) entre \( x = 0 \) e \( x = 2 \)?**</p><p>- A) \( \frac{4}{3} \)</p><p>- B) 2</p><p>- C) \( \frac{8}{3} \)</p><p>- D) 8</p><p>**Resposta: C) \( \frac{8}{3} \)**</p><p>**Explicação:** A integral é \( \int_0^2 x^3 \, dx = \left[ \frac{x^4}{4} \right]_0^2 =</p><p>\frac{16}{4} = 4 \).</p><p>18. **Qual é a solução geral da equação diferencial \( \frac{dy}{dx} = 4y \)?**</p><p>- A) \( y = Ce^{-4x} \)</p><p>- B) \( y = Ce^{4x} \)</p><p>- C) \( y = 4x + C \)</p><p>- D) \( y = 4e^{x} + C \)</p><p>**Resposta: B) \( y = Ce^{4x} \)**</p><p>**Explicação:** É uma equação separável. Integrando, obtemos \( \ln|y| = 4x + C \).</p><p>19. **Qual é a solução da equação \( x^2 + y^2 = 1 \) para \( y \)?**</p><p>- A) \( y = \sqrt{1 - x^2} \)</p><p>- B) \( y = -\sqrt{1 - x^2} \)</p><p>- C) \( y = \pm \sqrt{1 - x^2} \)</p><p>- D) \( y = 1 - x^2 \)</p><p>**Resposta: C) \( y = \pm \sqrt{1 - x^2} \)**</p><p>**Explicação:** A equação representa um círculo, então temos duas soluções.</p><p>20. **Qual é o valor de \( \int_0^1 (4x^3 - 3x^2 + 2) \, dx \)?**</p><p>- A) 1</p><p>- B) 2</p><p>- C) 3</p><p>- D) 4</p><p>**Resposta: B) 2**</p><p>**Explicação:** A integral é calculada como:</p><p>\( \int (4x^3 - 3x^2 + 2) \, dx = x^4 - x^3 + 2x + C \). Avaliando de 0 a 1, temos \( 1 - 1 + 2 = 2</p><p>\).</p><p>21. **Qual é o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(x)}{x} \)?**</p><p>- A) 0</p><p>- B) 1</p><p>- C) \( \infty \)</p><p>- D) 2</p><p>**Resposta: B) 1**</p><p>**Explicação:** Usando a regra do limite conhecido, \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(x)}{x} = 1</p><p>\).</p><p>22. **Qual é a série de Maclaurin para \( e^x \)?**</p><p>- A) \( \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} \)</p><p>- B) \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n^2} \)</p><p>- C) \( \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^n}{n!} \)</p><p>- D) \( \sum_{n=0}^{\infty} n x^{n-1} \)</p><p>**Resposta: A) \( \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} \)**</p><p>**Explicação:** Esta é a definição da série de Taylor para \( e^x \) em torno de 0.</p><p>23. **Qual é a derivada de \( f(x) = \ln(x^2 + 1) \)?**</p><p>- A) \( \frac{2x}{x^2 + 1} \)</p><p>- B) \( \frac{1}{x^2 + 1} \)</p><p>- C) \( 2x \)</p><p>- D) \( \frac{1}{2x} \)</p><p>**Resposta: A) \( \frac{2x}{x^2 + 1} \)**</p><p>**Explicação:** Aplicamos a regra da cadeia e a derivada do logaritmo:</p><p>\( f'(x) = \frac{1}{x^2 + 1} \cdot 2x = \frac{2x}{x^2 + 1} \).</p><p>24. **Qual é o valor de \( \int_0^1 (1 - x^2)^{1/2} \, dx \)?**</p>