Modelo Linear Simples

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<p>1</p><p>Elaborado por</p><p>Métodos Quantitativos</p><p>Aplicados à Gestão</p><p>Prof. Moisés Balassiano</p><p>Prof. Moisés Balassiano</p><p>Conteúdo da Seção</p><p>� O Modelo de Regressão Linear Simples</p><p>– Definir medidas de associação entre 2</p><p>variáveis</p><p>– Apresentar o modelo de regressão linear</p><p>– Mostrar os passos para a modelagem</p><p>– Estimar e interpretar os coeficientes do modelo</p><p>– Analisar os Resíduos</p><p>– Fazer previsões sobre a variável de estudo</p><p>2</p><p>Prof. Moisés Balassiano</p><p>Medidas de Associação</p><p>entre Duas Variáveis</p><p>3</p><p>Prof. Moisés Balassiano</p><p>Covariância</p><p>� Utilizada para avaliar o tipo da relação LINEAR entre dois</p><p>fenômenos</p><p>� Considere o quadro abaixo contendo os dados sobre as</p><p>idades (X) e os pesos (Y) de 10 alunos.</p><p>Idades (X) Pesos (Y)</p><p>25 75</p><p>27 89</p><p>24 70</p><p>28 82</p><p>23 70</p><p>26 85</p><p>30 84</p><p>28 80</p><p>26 78</p><p>23 67</p><p>4</p><p>2</p><p>Prof. Moisés Balassiano</p><p>Covariância</p><p>� Podemos dispor esses dados em um gráfico denominado</p><p>Diagrama de Dispersão</p><p>5</p><p>Prof. Moisés Balassiano</p><p>� Dividimos o Diagrama de Dispersão em 4 quadrantes,</p><p>definindo os novos eixos x i = Xi – X e yi = Yi - Y−−</p><p>III</p><p>III IV</p><p>x</p><p>y</p><p>Covariância</p><p>6</p><p>Prof. Moisés Balassiano</p><p>� Multiplicando as coordenadas de cada ponto na nova</p><p>escala (yi.xi), podemos posicionar o ponto em cada um dos</p><p>4 quadrantes.</p><p>� Quando o produto yi.xi for positivo o ponto estará no</p><p>quadrante I ou III.</p><p>� Quando o produto yi xi for negativo o ponto estará no</p><p>quadrante II ou IV.</p><p>Covariância</p><p>7</p><p>Prof. Moisés Balassiano</p><p>Covariância</p><p>� Considerando todos os pontos, a soma Σ yi.xi será:</p><p>– Positiva, quando a maior parte dos pontos estiver</p><p>concentrada em torno dos quadrantes I e III, indicando</p><p>uma relação linear DIRETA entre X e Y.</p><p>– Negativa, quando a maior parte dos pontos estiver</p><p>concentrada em torno dos quadrantes II e IV indicando</p><p>uma relação linear INVERSA entre X e Y.</p><p>– Nula, indicando falta de relação linear entre X e Y.</p><p>8</p><p>3</p><p>Prof. Moisés Balassiano</p><p>� Se dividirmos Σ yi.xi pelo tamanho da amostra</p><p>teremos uma medida de variação conjunta média</p><p>entre X e Y, denominada Covariância: Sxy.</p><p>� Essa medida indica o tipo de relação linear entre</p><p>duas variáveis e é definida como:</p><p>( )( )</p><p>.11</p><p>YX</p><p>n</p><p>i</p><p>ii</p><p>n</p><p>i</p><p>ii</p><p>XY S</p><p>n</p><p>xy</p><p>n</p><p>XXYY</p><p>S ==</p><p>−−</p><p>=</p><p>∑∑</p><p>==</p><p>Covariância</p><p>9</p><p>Prof. Moisés Balassiano</p><p>� Como a covariância depende das unidades das</p><p>variáveis, seu valor não pode ser usado para</p><p>avaliar o grau da relação linear entre elas.</p><p>� Quando as variáveis são padronizadas, a</p><p>covariância entre elas define o coeficiente de</p><p>correlação.</p><p>Covariância</p><p>10</p><p>Prof. Moisés Balassiano</p><p>Coeficiente de Correlação (r)</p><p>� Utilizado principalmente para avaliar o grau da relação</p><p>LINEAR entre 2 variáveis.</p><p>� É uma medida adimensional. Varia entre -1 e 1, inclusive.</p><p>� r = 0 não significa ausência de correlação, mas falta de</p><p>relação linear entre as variáveis.</p><p>� É expresso por:</p><p>� Note que rYX = rXY</p><p>( )( )</p><p>XY</p><p>XY</p><p>YX</p><p>XY</p><p>n</p><p>i</p><p>ii</p><p>YX r</p><p>SS</p><p>S</p><p>SSn</p><p>XXYY</p><p>r ==</p><p>−−</p><p>=</p><p>∑</p><p>=1</p><p>11</p><p>Prof. Moisés Balassiano</p><p>-1 +10</p><p>Correlação</p><p>Positiva</p><p>Perfeita</p><p>Aumenta o grau de</p><p>correlação negativa</p><p>-0,5 +0,5</p><p>Correlação</p><p>Negativa</p><p>Perfeita</p><p>Sem</p><p>Correlação</p><p>Linear</p><p>Aumenta o grau de</p><p>correlação positiva</p><p>Coeficiente de Correlação (r)</p><p>12</p><p>4</p><p>Prof. Moisés Balassiano</p><p>r = 1</p><p>r = -1Y</p><p>X</p><p>Y</p><p>X</p><p>Correlação perfeita e</p><p>direta (positiva)</p><p>Correlação perfeita e</p><p>inversa (negativa)</p><p>Coeficiente de Correlação (r)</p><p>13</p><p>Prof. Moisés Balassiano</p><p>r = 0,95</p><p>r = 0</p><p>Y</p><p>X</p><p>Correlação alta e</p><p>direta</p><p>Correlação nula:</p><p>não há relação</p><p>linear</p><p>X</p><p>Y</p><p>Coeficiente de Correlação (r)</p><p>14</p><p>Prof. Moisés Balassiano</p><p>0</p><p>20</p><p>40</p><p>60</p><p>80</p><p>100</p><p>120</p><p>140</p><p>160</p><p>0 5 10 15 20 25 30 35</p><p>Despesa com Propaganda (R$1.000)</p><p>V</p><p>en</p><p>da</p><p>s</p><p>(R</p><p>$1</p><p>,0</p><p>00</p><p>)</p><p>r = 0,97</p><p>Correlação</p><p>alta e direta</p><p>Coeficiente de Correlação (r)</p><p>Exemplo</p><p>15</p><p>Prof. Moisés Balassiano</p><p>Modelos Determinísticos</p><p>vs.</p><p>Modelos Probabilísticos</p><p>16</p><p>5</p><p>Prof. Moisés Balassiano</p><p>Modelos Determinísticos</p><p>1. Expressam relações exatas</p><p>2. São sempre verdadeiros (não podem ser refutados)</p><p>– Ex: Relação entre graus Celsius e Fahrenheit</p><p>F = 32 + (9/5) C</p><p>3. Não possuem erros de previsão</p><p>17</p><p>Prof. Moisés Balassiano</p><p>Modelos Probabilísticos</p><p>1. Constituído de 2 componentes:</p><p>– Determinístico</p><p>– Erro Aleatório</p><p>Ex: Uma corrida de táxi custa o valor da bandeirada, mais</p><p>R$3,2 por quilômetro, mais um erro aleatório.</p><p>2. O Erro pode ser devido a:</p><p>– Outras variáveis não incorporadas ao modelo;</p><p>– Formulação errada do modelo;</p><p>– Coleta dos dados.</p><p>18</p><p>Prof. Moisés Balassiano</p><p>Probabilísticos</p><p>Modelos</p><p>Regressão</p><p>Linear</p><p>Simples</p><p>Outros</p><p>Regressão</p><p>Linear</p><p>Múltipla</p><p>Tipos de</p><p>Modelos Probabilísticos</p><p>19</p><p>Prof. Moisés Balassiano</p><p>Propagand</p><p>a</p><p>Vendas</p><p>Propagand</p><p>a</p><p>Vendas</p><p>Propagand</p><p>a</p><p>Vendas</p><p>Propagand</p><p>a</p><p>Vendas</p><p>Modelos</p><p>20</p><p>6</p><p>Prof. Moisés Balassiano</p><p>O Que é um Modelo de</p><p>Regressão Linear?</p><p>Semana Despesa com</p><p>Propaganda</p><p>(R$1.000)</p><p>Resultado das</p><p>Vendas</p><p>(R$1.000)</p><p>1 5 50</p><p>2 8 68</p><p>3 15 78</p><p>4 24 110</p><p>5 30 150</p><p>21</p><p>Prof. Moisés Balassiano</p><p>Diagrama de Dispersão</p><p>0</p><p>20</p><p>40</p><p>60</p><p>80</p><p>100</p><p>120</p><p>140</p><p>160</p><p>0 5 10 15 20 25 30 35</p><p>Despesa com Propaganda (R$1.000)</p><p>V</p><p>en</p><p>da</p><p>s</p><p>(R</p><p>$1</p><p>.0</p><p>00</p><p>)</p><p>O Que é um Modelo de</p><p>Regressão Linear?</p><p>22</p><p>Prof. Moisés Balassiano</p><p>‘Qual é a relação entre as variáveis</p><p>VOLUME DE VENDASVOLUME DE VENDAS e</p><p>DESPESAS COM PROPAGANDADESPESAS COM PROPAGANDA ?’</p><p>O Que é um Modelo de</p><p>Regressão Linear?</p><p>23</p><p>Prof. Moisés Balassiano</p><p>‘Como podemos prever o</p><p>VOLUME DE VENDASVOLUME DE VENDAS esperado quando</p><p>sabemos quanto investir em</p><p>PROPAGANDAPROPAGANDA ?’</p><p>O Que é um Modelo de</p><p>Regressão Linear?</p><p>24</p><p>7</p><p>Prof. Moisés Balassiano</p><p>Diagrama de Dispersão</p><p>160</p><p>VENDAS = b0 + b1. (DESPESA COM PROPAGANDA)</p><p>0</p><p>20</p><p>40</p><p>60</p><p>80</p><p>100</p><p>120</p><p>140</p><p>0 5 10 15 20 25 30 35</p><p>Despesa com Propaganda (R$1.000)</p><p>V</p><p>en</p><p>da</p><p>s</p><p>(R</p><p>$1</p><p>.0</p><p>00</p><p>)</p><p>O Que é um Modelo de</p><p>Regressão Linear?</p><p>25</p><p>Prof. Moisés Balassiano</p><p>Modelo de</p><p>Regressão Linear Simples</p><p>� O modelo é composto de:</p><p>– Uma variável dependente quantitativa (Y)</p><p>• Variável objeto das previsões</p><p>• No exemplo: Volume de vendas</p><p>– Uma variável independente quantitativa (X)</p><p>• No exemplo: Despesa com Propaganda</p><p>26</p><p>Prof. Moisés Balassiano</p><p>� Usado basicamente para fazer previsões, quando</p><p>existir relação entre as variáveis.</p><p>� Dado um valor de X, qual deverá ser o valor de Y?</p><p>� No exemplo:</p><p>– Qual será o volume de vendas se a despesa</p><p>com propagandas for igual a R$ 50 mil?</p><p>Modelo de</p><p>Regressão Linear Simples</p><p>27</p><p>Prof. Moisés Balassiano</p><p>Y</p><p>Y = b0 + b1X</p><p>b0 = intercepto</p><p>X</p><p>b1 = inclinação</p><p>Equação da Reta</p><p>28</p><p>8</p><p>Prof. Moisés Balassiano</p><p>Interpretação dos</p><p>Coeficientes</p><p>1. Inclinação (b1)</p><p>– Variação esperada em Y para 1 unidade de</p><p>variação em X.</p><p>2. Intercepto (b0)</p><p>– Valor médio de Y quando X = 0.</p><p>29</p><p>Prof. Moisés Balassiano</p><p>εεεε</p><p>Y</p><p>X</p><p>Observação na</p><p>população</p><p>Yi</p><p>Y β β Xi i= +o 1</p><p>εεεε iβ β X i= +o 1 +</p><p>Modelo de Regressão Linear</p><p>População</p><p>30</p><p>Prof. Moisés Balassiano</p><p>Y Xi i i= + +β β ε0 1</p><p>Variável</p><p>Dependente</p><p>(Explicada)</p><p>Variável</p><p>Independente</p><p>(Explicativa)</p><p>InclinaçãoIntercepto</p><p>Erro</p><p>Aleatório</p><p>� A relação entre as variáveis é uma função linear</p><p>Modelo de Regressão Linear</p><p>População</p><p>31</p><p>Prof. Moisés Balassiano</p><p>ei = Resíduo</p><p>Y</p><p>X</p><p>Observação na</p><p>amostra</p><p>Yi</p><p>$Y b b Xi i= +o 1</p><p>Modelo de Regressão Linear</p><p>Amostra</p><p>ei = Yi - Yi</p><p>$</p><p>32</p><p>9</p><p>Prof. Moisés Balassiano</p><p>Y Xi i i= + +b b e0 1</p><p>Variável</p><p>Dependente</p><p>(Explicada)</p><p>Variável</p><p>Independente</p><p>(Explicativa)</p><p>InclinaçãoIntercepto Resíduo</p><p>Modelo de Regressão Linear</p><p>Amostra</p><p>� Os valores observados na amostra são</p><p>expressos pelo modelo e pelos resíduos.</p><p>Yi = Yi + ei$</p><p>33</p><p>Prof. Moisés Balassiano</p><p>1. “Melhor ajustamento” significa menor distância global</p><p>entre os valores observados e os estimados</p><p>– Mas diferenças positivas e negativas se anulam.</p><p>2. Minimiza a soma dos resíduos ao quadrado</p><p>Este método é denominado Mínimos Quadrados</p><p>Penaliza os maiores resíduos</p><p>i =1</p><p>Y Yi i</p><p>4</p><p>− =∑ $( )</p><p>2</p><p>e e e e1</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>3</p><p>2</p><p>4</p><p>2+ + +</p><p>Estimação dos Coeficientes</p><p>34</p><p>Prof. Moisés Balassiano</p><p>Estimação dos Coeficientes</p><p>e1</p><p>Y</p><p>X</p><p>$Y b b Xi i= +0 1</p><p>e2</p><p>e4</p><p>$Y1</p><p>Y1</p><p>e3</p><p>X1 X2 X3 X4</p><p>35</p><p>Prof. Moisés Balassiano</p><p>Estimação</p><p>dos Coeficientes</p><p>� Modelo de regressão linear na amostra</p><p>� Inclinação</p><p>� Intercepto</p><p>$Y b b Xi i= +o 1</p><p>b Y b X= −o 1</p><p>36</p><p>( )( )</p><p>( ) )X(VAR</p><p>)X,Y(COV</p><p>XX</p><p>YYXX</p><p>XnX</p><p>YXnYX</p><p>b n</p><p>1i</p><p>2</p><p>i</p><p>n</p><p>1i</p><p>ii</p><p>n</p><p>1i</p><p>22</p><p>i</p><p>n</p><p>1i</p><p>ii</p><p>1 =</p><p>−</p><p>−−</p><p>=</p><p>−</p><p>−</p><p>=</p><p>∑</p><p>∑</p><p>∑</p><p>∑</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>10</p><p>Prof. Moisés Balassiano</p><p>Estimação dos Coeficientes</p><p>Coeficientes</p><p>Erro</p><p>padrão Stat t valor-P</p><p>Intercepto 31 8,74 3,58 0,03</p><p>Propaganda 3,65 0,46 7,9 0,004</p><p>b0</p><p>b1</p><p>37</p><p>Prof. Moisés Balassiano</p><p>160</p><p>VENDAS = 31 + 3,65 . (DESPESA COM PROPAGANDA)</p><p>0</p><p>20</p><p>40</p><p>60</p><p>80</p><p>100</p><p>120</p><p>140</p><p>0 5 10 15 20 25 30 35</p><p>Despesa com Propaganda (R$1.000)</p><p>V</p><p>en</p><p>da</p><p>s</p><p>(R</p><p>$1</p><p>.0</p><p>00</p><p>) $Y 31 3,65 X</p><p>i i</p><p>= +</p><p>Modelo de Regressão Linear</p><p>38</p><p>Prof. Moisés Balassiano</p><p>1. Inclinação (b1)</p><p>–– Volume de Vendas (Volume de Vendas (YY) deve aumentar 3,65 ) deve aumentar 3,65</p><p>mil reais para cada mil reais adicionais mil reais para cada mil reais adicionais</p><p>investidos em Propaganda (investidos em Propaganda (XX).).</p><p>2. Intercepto (bo)</p><p>–– O volume médio de vendas (O volume médio de vendas (YY) é de 31 mil ) é de 31 mil</p><p>reais quando não se investe em Propaganda reais quando não se investe em Propaganda</p><p>((X = 0X = 0).).</p><p>Interpretação dos Coeficientes</p><p>39</p><p>Prof. Moisés Balassiano</p><p>Avaliação do Modelo</p><p>� Para se avaliar um modelo podemos utilizar</p><p>os seguintes procedimentos:</p><p>1. Examinar as estatísticas do modelo.</p><p>2. Testar a significância dos parâmetros</p><p>3. Análise dos resíduos</p><p>– Presença de outliers</p><p>– Violação das premissas</p><p>40</p><p>11</p><p>Prof. Moisés Balassiano</p><p>Estatísticas do Modelo</p><p>41</p><p>Prof. Moisés Balassiano</p><p>Estatísticas do Modelo</p><p>Estatística de regressão</p><p>R múltiplo 0,97</p><p>R-Quadrado 0,95</p><p>R-quadrado ajustado 0,93</p><p>Erro padrão 9,74</p><p>Observações 5</p><p>R2 ajustado</p><p>ao número de</p><p>variáveis</p><p>explicativas &</p><p>tamanho da</p><p>amostra</p><p>R2</p><p>Sεεεε</p><p>Cor (Y , Y)^</p><p>42</p><p>Prof. Moisés Balassiano</p><p>� O Coeficiente de correlação múltipla mede a</p><p>correlação entre os valores observados na</p><p>amostra e os estimados pela reta.</p><p>� Serve de medida do grau de aderência da reta</p><p>aos dados.</p><p>� É sempre positivo. Representa o valor absoluto</p><p>do coeficiente de correlação linear entre X e Y.</p><p>Correlação Múltipla</p><p>)ˆ,( YYCORRm =</p><p>43</p><p>Prof. Moisés Balassiano</p><p>� Mede a proporção da variação total de Y que é</p><p>explicada pela regressão (variável independente).</p><p>� Serve de medida da capacidade preditiva do</p><p>modelo.</p><p>� Como proporção, seu valor está compreendido</p><p>entre 0 e 1. Representa a razão entre a variação</p><p>explicada pelo modelo e a variação total.</p><p>R 2 =</p><p>Variação Explicada</p><p>Variação Total</p><p>Coeficiente de Determinação</p><p>44</p><p>12</p><p>Prof. Moisés Balassiano</p><p>Variação explicada</p><p>pela regressão</p><p>Variação explicada</p><p>pela regressão</p><p>Variação devida aos</p><p>resíduos</p><p>Variação devida aos</p><p>resíduos</p><p>Variação Total</p><p>Partição da Variação Total</p><p>Soma dos Quadrados</p><p>dos Resíduos (SQRes)</p><p>Soma dos Quadrados da</p><p>Regressão (SQReg)</p><p>( )∑</p><p>=</p><p>−</p><p>n</p><p>i</p><p>i YY</p><p>1</p><p>2</p><p>( )∑</p><p>=</p><p>−</p><p>n</p><p>i</p><p>i YY</p><p>1</p><p>2ˆ ( )∑</p><p>=</p><p>−</p><p>n</p><p>i</p><p>ii YY</p><p>1</p><p>2ˆ</p><p>45</p><p>Prof. Moisés Balassiano</p><p>VARIAÇÃO</p><p>TOTAL (SQT)</p><p>VARIAÇÃO</p><p>EXPLICADA</p><p>(SQReg)</p><p>VARIAÇÃO NÃO</p><p>EXPLICADA (SQRes)</p><p>Medidas de Variação</p><p>46</p><p>Prof. Moisés Balassiano</p><p>�� Variação Total de Y (SQT)Variação Total de Y (SQT)</p><p>– Variação das observações Yi em torno da</p><p>média Y</p><p>�� Variação Explicada pelo Modelo (SQVariação Explicada pelo Modelo (SQRegReg))</p><p>– Devida à relação entre X e Y</p><p>�� Variação Não Explicada pelo Modelo (SQVariação Não Explicada pelo Modelo (SQResRes))</p><p>– Devida a outros fatores fora da regressão</p><p>−</p><p>Medidas de Variação</p><p>47</p><p>Prof. Moisés Balassiano</p><p>Medidas de Variação</p><p>Y</p><p>X</p><p>Y3</p><p>X1 X2 X3 X4</p><p>Y</p><p>NÃO-EXPLICADA</p><p>(residual)</p><p>EXPLICADA</p><p>TOTAL</p><p>Y3</p><p>^</p><p>48</p><p>13</p><p>Prof. Moisés Balassiano</p><p>R2 = 1</p><p>R2 = 0,95 R2 = 0</p><p>Y</p><p>X</p><p>Y</p><p>X</p><p>Y</p><p>X</p><p>Y</p><p>X</p><p>Yi = b0 + b1Xi</p><p>^</p><p>Yi = b0 + b1Xi</p><p>^</p><p>R2 = 1</p><p>Yi = b0 + b1Xi</p><p>^Yi = b0 + b1Xi</p><p>^</p><p>Coeficiente de Determinação</p><p>Exemplos</p><p>49</p><p>Prof. Moisés Balassiano</p><p>� No exemplo, R2 = 0,95. Isso significa que 95% da</p><p>variação total do volume de vendas podem ser</p><p>explicados pela variável investimento em</p><p>propaganda.</p><p>� Esse modelo pode ser visto como tendo alta</p><p>capacidade preditiva.</p><p>Coeficiente de Determinação</p><p>50</p><p>Prof. Moisés Balassiano</p><p>� Penaliza a entrada de novas variáveis e novas</p><p>observações no modelo.</p><p>� É utilizada para comparar modelos com número</p><p>diferente de variáveis explicativas.</p><p>� Não tem utilidade nos modelos de regressão</p><p>linear simples.</p><p>� É expressa por:</p><p>onde p é o número de variáveis explicativas e n o</p><p>número de observações na amostra.</p><p>( )22</p><p>ajustado R1</p><p>1pn</p><p>1n</p><p>1R −</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>−−</p><p>−−=</p><p>Coeficiente de</p><p>Determinação Ajustado</p><p>51</p><p>Prof. Moisés Balassiano</p><p>� É uma medida absoluta de dispersão das</p><p>observações em torno da reta.</p><p>� Quanto menor o seu valor, melhor é a variável X</p><p>para explicar Y.</p><p>� É utilizada na distribuição de amostragem dos</p><p>coeficientes estimados da reta.</p><p>� Estima o desvio padrão dos erros na população.</p><p>Erro Padrão de Estimativa</p><p>52</p><p>14</p><p>Prof. Moisés Balassiano</p><p>1. Examinar as medidas do modelo.</p><p>2. Testar a significância do modelo e dos</p><p>coeficientes</p><p>3. Análise dos resíduos</p><p>– Presença de outliers</p><p>– Violação das premissas</p><p>Avaliação do Modelo</p><p>Procedimentos</p><p>53</p><p>Prof. Moisés Balassiano</p><p>� Como os erros são não observáveis, não temos</p><p>como controlá-los. Portanto, devemos partir de</p><p>premissas sobre o seu comportamento.</p><p>� As principais premissas dizem respeito à forma</p><p>como os erros se distribuem.</p><p>� Posteriormente, analisaremos se as premissas</p><p>são, ou não, plausíveis.</p><p>Premissas do Modelo</p><p>54</p><p>Prof. Moisés Balassiano</p><p>1. As variáveis X e Y são linearmente relacionadas.</p><p>2. Os erros são normalmente distribuídos para cada</p><p>valor de X.</p><p>3. E(ε) =0 para cada valor de X.</p><p>4. A variância dos erros é constante, mas</p><p>desconhecida, para cada valor de X</p><p>(Homoscedasticidade).</p><p>5. Erros são independentes (Não auto correlacionados)</p><p>Premissas do Modelo</p><p>55</p><p>Prof. Moisés Balassiano</p><p>Y</p><p>f(εεεε)</p><p>X</p><p>X1</p><p>X2</p><p>Premissas do Modelo</p><p>56</p><p>15</p><p>Prof. Moisés Balassiano</p><p>� Testa a existência de relação linear entre X e Y.</p><p>� A formulação do teste é:</p><p>Ho: Y=βo + ε (o modelo não se ajusta aos dados)</p><p>H1: Y=βo + β1X + ε (o modelo se ajusta aos</p><p>dados)</p><p>� Rejeita Ho quando a significância do teste (Valor-p</p><p>ou F de significação) for menor do que o nível de</p><p>significância (α ) estabelecido para o teste.</p><p>Teste do Modelo</p><p>Análise da Variância</p><p>57</p><p>Prof. Moisés Balassiano</p><p>� A idéia é comparar a variação devida ao modelo</p><p>com a variação residual para avaliar o modelo.</p><p>� Utilizamos a razão entre a variação média do</p><p>modelo e a dos resíduos. Se essa razão for</p><p>significativamente maior do que 1, o modelo</p><p>pode ser aceito porque explica a variação total</p><p>mais do que os resíduos.</p><p>� Como as Soma dos Quadrados (Variações) da</p><p>regressão e a dos resíduos têm graus de liberdade</p><p>diferentes, devemos trabalhar com as respectivas</p><p>Médias dos Quadrados.</p><p>Teste do Modelo</p><p>Análise da Variância - ANOVA</p><p>58</p><p>Prof. Moisés Balassiano</p><p>Fontes de</p><p>Variação</p><p>Graus</p><p>Lib.</p><p>Soma dos</p><p>Quadrados</p><p>Média dos</p><p>Quadrados</p><p>Fc F de</p><p>Significação</p><p>Regressão 1</p><p>SQReg</p><p>1</p><p>MQReg</p><p>MQRes P(F > Fc)</p><p>Resíduos n - 2</p><p>SQRes</p><p>(n-2)</p><p>Total n - 1</p><p>( )∑</p><p>=</p><p>−</p><p>n</p><p>i</p><p>i YY</p><p>1</p><p>2ˆ</p><p>( )∑</p><p>=</p><p>−</p><p>n</p><p>i</p><p>ii YY</p><p>1</p><p>2ˆ</p><p>( )∑</p><p>=</p><p>−</p><p>n</p><p>i</p><p>i YY</p><p>1</p><p>2</p><p>Teste do Modelo</p><p>Análise da Variância - ANOVA</p><p>59</p><p>Prof. Moisés Balassiano</p><p>Fontes de</p><p>Variação</p><p>gl SQ MQ F F de</p><p>significação</p><p>Regressão 1 5.935,7 5.935,7 62,46 0,0042</p><p>Resíduos 3 285,1 95</p><p>Total 4 6.220,8</p><p>ANOVA (Exemplo )</p><p>Teste do Modelo</p><p>Análise da Variância – ANOVA</p><p>60</p><p>16</p><p>Prof. Moisés Balassiano</p><p>Teste do Modelo</p><p>Análise da Variância – ANOVA</p><p>� Desejamos testar:</p><p>Ho: Y = βo + ε</p><p>H1: Y = βo + β1X+ ε</p><p>� Como Fsig (= 0,0042)</p><p>3. Formulação do Teste de Hipóteses:</p><p>Ho: β1 = 0 (X não “explica” Y na população)</p><p>H1: β1 ≠ 0 (X “explica” Y na população)</p><p>Teste dos Coeficientes</p><p>Inclinação (β1)</p><p>62</p><p>Prof. Moisés Balassiano</p><p>Estatística do Teste</p><p>Decisão</p><p>Rejeita H0 com 5% de</p><p>significância</p><p>Conclusão</p><p>Há evidência da relação entre</p><p>despesa com propaganda e</p><p>vendas</p><p>Ho: β1 = 0</p><p>H1: β1 ≠ 0</p><p>α = 5%</p><p>gl = 5 - 2 = 3</p><p>Valores Críticos: ±3.18</p><p>t</p><p>0 3,18-3,18</p><p>2,5%</p><p>Rejeita Rejeita</p><p>2,5%</p><p>9,7</p><p>46,0</p><p>065,3</p><p>)b(padrãoErro</p><p>b</p><p>t</p><p>1</p><p>11 =−=β−=</p><p>Teste dos coeficientes</p><p>Inclinação</p><p>63</p><p>Prof. Moisés Balassiano</p><p>1. Examinar as medidas do modelo.</p><p>2. Testar a significância dos parâmetros</p><p>3. Análise dos resíduos</p><p>� Presença de outliers</p><p>� Violação das premissas</p><p>Avaliação do Modelo</p><p>Procedimentos</p><p>64</p><p>17</p><p>Prof. Moisés Balassiano</p><p>1. Análise Gráfica dos Resíduos (e)</p><p>– Plotar Resíduos vs. Valores de Xi (ou de Yi), de</p><p>preferência na forma padronizada.</p><p>– Resíduos estimam os Erros na População</p><p>Diferença entre Yi observados & Yi estimados.</p><p>2. Objetivos</p><p>– Examinar a forma funcional do modelo (Linear vs.</p><p>Não-linear – Premissa 1)</p><p>– Avaliar as violações das premissas dos erros.</p><p>– Examinar existência de outliers</p><p>^</p><p>Análise dos Resíduos</p><p>65</p><p>Prof. Moisés Balassiano</p><p>Gráfico dos Resíduos</p><p>� Avaliação da relação linear entre X e Y</p><p>Relação e não linear Especificação correta</p><p>X</p><p>e</p><p>X</p><p>e</p><p>Mudar escala de Y e/ou X</p><p>66</p><p>Prof. Moisés Balassiano</p><p>� Avaliação da homoscedasticidade</p><p>Heteroscedasticidade Especificação correta</p><p>X</p><p>e</p><p>X</p><p>e</p><p>Gráfico dos Resíduos</p><p>Ponderar resíduos para</p><p>aplicar mínimos quadrados</p><p>67</p><p>Prof. Moisés Balassiano</p><p>� Avaliação da auto correlação dos erros</p><p>Não Independência Especificação correta</p><p>X</p><p>e</p><p>X</p><p>e</p><p>Gráfico dos Resíduos</p><p>Utilizar um modelo de séries</p><p>temporais (auto-regressivo)</p><p>68</p><p>18</p><p>Prof. Moisés Balassiano</p><p>Análise Residual</p><p>X Y Y Resíduos</p><p>Resíduos</p><p>padrão</p><p>1 1,0 0,6 0,4 0,763</p><p>2 1,0 1,3 -0,3 -0,572</p><p>3 2,0 2,0 0,0 0,000</p><p>4 2,0 2,7 -0,7 -1,335</p><p>5 4,0 3,4 0,6 1,144</p><p>^</p><p>Os resíduos padrão são os resíduos absolutos</p><p>divididos pelo seu desvio padrão.</p><p>69</p><p>Prof. Moisés Balassiano</p><p>Análise Residual</p><p>Gráfico dos Resíduos Padronizados</p><p>-1,5</p><p>-1,0</p><p>-0,5</p><p>0,0</p><p>0,5</p><p>1,0</p><p>1,5</p><p>0 1 2 3 4 5 6</p><p>R</p><p>e</p><p>sí</p><p>d</p><p>u</p><p>o</p><p>s</p><p>P</p><p>a</p><p>d</p><p>ro</p><p>n</p><p>iz</p><p>a</p><p>d</p><p>o</p><p>s</p><p>Sem padrão de tendência. Não há violação de premiss a.</p><p>70</p><p>Prof. Moisés Balassiano</p><p>1. Observações que podem afetar o valor dos</p><p>coeficientes</p><p>Exemplo – Erro de digitação ou de coleta</p><p>2. Deve-se tentar entender o motivo da sua</p><p>ocorrência</p><p>3. Uma possibilidade de ação é o expurgo da</p><p>observação</p><p>4. Pode ser o motivo da investigação</p><p>Análise de Outliers</p><p>71</p><p>Prof. Moisés Balassiano</p><p>Y</p><p>X</p><p>Outlier</p><p>Reta com o Outlier</p><p>Reta sem o Outlier</p><p>Efeito de um Outlier</p><p>72</p><p>19</p><p>Prof. Moisés Balassiano</p><p>� Cuidados na análise:</p><p>1. Violação das premissas</p><p>2. Relevância dos dados</p><p>3. Nível de significância adequado</p><p>4. Generalizações e extrapolações</p><p>5. Causa e efeito</p><p>Cuidados com a Regressão</p><p>73</p><p>Prof. Moisés Balassiano</p><p>Bibliografia</p><p>� Bibliografia Básica:</p><p>– LEVINE D. M., STEPHAN, D., KREHBIEL,T.C. e</p><p>BERENSON, M. L. Estatística: Teoria e aplicações .</p><p>Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos Editora,</p><p>5ª. Edição 2008.</p><p>74</p><p>Prof. Moisés Balassiano</p><p>Bibliografia</p><p>� Bibliografia Complementar:</p><p>– LEVIN Jack, e FOX, James A. Estatística para Ciências</p><p>Humanas, 9a. Ed., São Paulo Prentice Hall, 2004.</p><p>– MILONE, Giuseppe. Estatística Geral e Aplicada, São</p><p>Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2004.</p><p>– LEVINE, D.M., BERENSON, M.L. STEPHAN, D.</p><p>Estatística: Teoria e Aplicações. 3a. ed. Rio de Janeiro:</p><p>Livros Técnicos e Científicos, 2005.</p><p>75</p>