Lista 1 - Função Bijetora e Função Inversa

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Funções
Atividade 5.1
5.1.1. Dada a função f tal que
 com 
 e contra domínio 
, calcule: f(2), f(-2), f(0), f(3),e f(-3). 
 
 com 
 e contra domínio 
, calcule f(4)e f(-4)
 
 com 
 e contra domínio 
., calcule: f(-1), f(5) e f(-7). 
Observe que nos três casos temos funções que têm imagens iguais para valores distintos no seu domínio. 
5.1.2. Para todas as funções f seguintes dadas ou por uma expressão algébrica ou por um gráfico, verifique se existem dois valores distintos 
 de domínio 
com a mesma imagem. Se sua resposta for sim dê exemplos. Isso poderia ser dito da seguinte maneira:
?
Lembrete: 
 é o conjunto dos números reais, 
 é o conjunto dos números reais maiores ou iguais a zero e que 
 é o conjunto dos números reais menores ou iguais a zero. 
(a) f(x) = 2x + 1 com 
 e contra domínio 
. 
(b) f(x) = x ² com 
 e contra domínio 
. 
(c) f(x) = x ² com 
 e contra domínio 
.
(d) f(x) = x ² com 
 e contra domínio 
. 
(e) f(x) = x ³ com 
 e contra domínio 
.
(f)
 com 
 e contra domínio 
. 
(g) 
 com 
 e contra domínio 
. 
(h)
 com 
 e contra domínio 
.
(i)
 com 
 e contra domínio 
. 
(j)
 com 
 e contra domínio 
. 
 (k) 		 l) m)
 
Como você notou, em alguns casos para
ocorre 
e em outros não. Este fato motiva as seguintes definições:
 
 Definição 1. Diz-se que uma função f com domínio 
 e contra domínio Y é injetora (ou injetiva) se, para todo 
de
com
 e, lembrando que o símbolo
significa qualquer que seja e 
 significa implica, podemos dizer que f é injetora se, para
.
Observação: se alguma reta horizontal intercepta o gráfico de uma função f em mais de um ponto, então f não é injetora. 
Verifique quais funções f definidas no exercício 5.1.2 são injetoras.
Definição 2. Diz-se que uma função f com domínio 
 e contra domínio Y é sobrejetora ou sobrejetiva se Y coincide com a imagem de f, ou seja, todo y de Y é correspondente de algum x de 
, 
, ou ainda, f(
) = Y. Neste caso dizemos que não há nenhum elemento no contra domínio que não seja correspondente de algum elemento do domínio. Em outras palavras:
.
Verifique quais funções f dadas em 5.1.2 são sobrejetoras.
Definição 3. Uma função que é, ao mesmo tempo, injetora e sobrejetora, chama-se função bijetora, ou bijeção. Assim, se f é uma função bijetora então cada elemento de 
é levado em um único elemento de Y pela f e cada elemento de Y é imagem de um único elemento de 
. Diz-se também que f é uma função um a um ou que f estabelece uma correspondência buinívoca. Em outras palavras:
Verifique quais funções dadas em 5.1.2 são bijetoras. 
Atividade 5.2
5.2.1. Você deve ter concluído que as funções definidas em (a), (c), (d), (e), (g) e (j) na atividade 5.1.2 são bijetoras. Em cada caso, observe que temos y = f(x). Isole x, ou seja, escreva x como uma função de y, isto é, encontre uma função g tal que x = g(y). Preste sempre bastante atenção ao domínio da função. 
(a) 
 = g(y) 
(c) 
= g(y)
(d) 
 = g(y) 
(e) 
 = g(y) 
(g) 
 
 = g(y)
(j) 
= g(y)
Observe que, em todos os casos a função g existe, ou seja, é de fato uma função. 
Se uma função f é bijetora com domínio 
e imagem 
, então para cada y em
existe exatamente um número x em 
tal que y = f(x). Como x é único podemos definir uma função g de 
em 
, ou seja uma função g com domínio igual a 
 e imagem igual a 
 (
e 
),por meio da regra x = g(y). Esta função g é chamada função inversa da função f e indica-se por 
 . 
Observe que só as funções bijetoras admitem inversa.
Para os seis casos do item 5.2.1 temos
(a) 
De 
 obtém-se 
. Para que se possa construir o gráfico da função inversa utilizando o mesmo sistema de coordenadas cartesianas ortogonal onde foi construído o gráfico de f, faz-se a troca de letras (variáveis) e escreve-se 
 , ou seja, 
. 
A seguir, construímos os gráficos das funções f e 
utilizando um mesmo sistema de eixos.
Observe que os pontos (1, 3) e (2,5) estão no gráfico de f e que os pontos (3,1) e (5,2) estão no gráfico de 
. O ponto A’ é simétrico do ponto A em relação à reta de equação y = x. O ponto B’ é simétrico do ponto B em relação à reta de equação y = x. Se o ponto (a,b) está no gráfico de f, então o ponto (b,a) está o gráfico de 
e estes dois pontos são simétricos em relação à reta de equação y = x.
(b) 
(c) 
 
(d) 
(e) 
(f) 
No caso I temos 
 .
Considere a função seno com domínio 
. 
Qual é a imagem desta função? Esta função é injetora? Justifique. 
Em que condições esta função admite inversa? Justifique.
(b) Considere a função cosseno com domínio 
. 
Qual é a imagem desta função?
Esta função é injetora? Justifique. 
Em que condições esta função admite inversa? Justifique.
(c) Considere a função tangente com domínio 
. 
Qual é a imagem desta função?
Esta função é injetora? Justifique. 
Em que condições esta função admite inversa? Justifique.
Você deve ter concluído que, para as três funções, seno, cosseno e tangente, com os domínios dados em (a), (b) e (c) respectivamente, se fizermos o contra domínio de cada uma coincidir com a sua imagem teremos função bijetora. 
(a)A função seno com domínio 
 e imagem 
 é bijetora e associa a cada arco x do domínio um único número da imagem chamado 
. Esta função admite inversa 
 que associa a cada número no intervalo 
um único arco no intervalo 
. Esta última função se denota por 
. Alguns livros e as calculadoras denotam esta inversa por sen-1. 
Assim, por exemplo, 
 e 
.
(b) A função cosseno com domínio 
 e imagem 
 é bijetora e associa a cada arco x do domínio um único número da imagem chamado 
. Esta função admite inversa 
que associa a cada número no intervalo 
um único arco no intervalo 
. Esta última função se denota por 
. Alguns livros e as calculadoras denotam esta inversa por cos-1. 
Por exemplo, 
 e 
.
(c) A função tangente, com domínio 
 e imagem IR é bijetora e associa a cada arco x do domínio um único número da imagem chamado 
. Esta função admite inversa 
 que associa a cada número real um único arco no intervalo 
. Esta última função se denota por 
. Alguns livros e as calculadoras denotam esta inversa por tg-1. 
Por exemplo, 
 e 
.
Atividade 5.3
Para cada uma das funções a seguir determine:
 I) 
, para 
 II) 
 para 
(a) Seu domínio e sua imagem
(b) A expressão algébrica de sua inversa
(c) O domínio e a imagem da inversa
(d) Utilizando o software Geogebra, construa o gráfico de f e de f-1 em um mesmo sistema de eixos. 
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