PROVA (10)

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UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA
INSTITUTO DE MATEMÁTICA
Disciplina: Cálculo B – MATA03 / Turma: 09
Nome(leǵıvel):
Assinatura:
Professor: Paulo Malta Data: 21/09/2016
Questão Nota
1
2
3
4
Total
“A minha consciência tem milhares de vozes,
e cada voz traz-me milhares de histórias,
e de cada história sou o vilão condenado.”
William Shakespeare.
2
a Avaliação
1. (2,0 pontos) Seja f : R2 → R dada por f(x, y) = x2 + y2. Determine a equação do plano tangente
ao gráfico de f que seja paralelo ao plano z = x + 2y e a equação da reta normal neste ponto de
tangência.
2. (3,0 pontos) Sejam γ1 : [−1, 1] → R
2, γ2 : [0, 1] → R
2 dadas por γ1(t) = (t, |t|),
γ2(t) = (cos(arctg(t2 − t)), 2t2 − 2t+ 3). Nestas condições calcule as seguintes integrais de linha:
(a) (1,5)
Z
γ1
xdx+ xydy (b) (1,5)
Z
γ2
x
x2 + y2
dx+
y
x2 + y2
dy
3. (3,0 pontos) Calcule os seguintes limites, caso existam:
(a) (1,5) lim
(x,y)→(0,0)
xy
x2 + y2
(b) (1,5) lim
(x,y)→(0,0)
x2
p
x2 + y2
4. (2,0 pontos) Um morro possui uma forma definida pelo gráfico da função f : R2 → R dada por
f(x, y) = 18− x2 − 2y2.
(a) (0,5) Se um alpinista está no ponto P = (2, 1, 12) que direção deve tomar para subir pela parte
mais ı́ngreme do morro?
(b) (0,5) Qual a taxa de variação neste ponto?
(c) (0,5) Qual a taxa de variação na direção do vetor v = (
√
2
2 ,−
√
2
2 ) no ponto P?
(d) (0,5) Seguindo na direção do vetor v ele estará subindo ou descendo?
Instruções
i) A prova pode ser feita a lápis. Na medida do posśıvel utilize uma questão por folha. Todas as
folhas serão recolhidas, inclusive as usadas para rascunho e a folha de questões.
ii) Não é permitido o uso de nenhum aparelho eletrônico durante a prova. A prova é individual
e não é permitido consultar nem dar aux́ılio aos demais. Em caso de descumprimento a prova
será anulada.
iii) Seja leǵıvel ao responder a prova. Todas as questões devem estar claro o racioćınio utilizado
para obter a solução e devidamente justificadas.