Exercícios de Álgebra Linear

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Universidade Federal de Pernambuco
Departamento de Matema´tica - A´rea II
3a Lista de Exerc´ıcios de A´lgebra Linear
2o semestre de 2005 14/02/2006
Prof. Cla´udio Tadeu Cristino
1. Quais das transformac¸o˜es abaixo sa˜o lineares:
(a) F : R3 → R3, F (x, y, z) = (x, 2y, 2z).
(b) G : R3 → R3, G(x, y, z) = (3x,−1, 5z).
(c) H : R4 → R3, H(x, y, z, t) = (x− t, y − t, x+ z).
(d) T :M3×3(R)→ R3, T ([aij]) =
(
a11, a22, a33
)
.
(e) D :M3×3(R)→ R, D
([
a b
c d
])
= ad− bc.
(f) I : P2(R)→ P3(R), I(p) =
∫
p(t)dt.
2. Para M2×2(R) (conjunto das matrizes reais 2× 2) considere os seguintes conjuntos
de vetores:
α =
{
M1 =
[
2 1
−1 2
]
,M2 =
[
1 3
2 −3
]
,M3 =
[ −1 2
1 1
]
,M4 =
[
2 −2
−1 4
]}
e
β =
{
N1 =
[
10 −3
−3 10
]
, N2 =
[ −3 23
10 −21
]
, N3 =
[ −3 10
7 −13
]
, N4 =
[
10 −21
−13 30
]}
Pede-se:
(a) Mostre que α e β sa˜o bases de M2×2(R).
(b) Encontre uma matriz P tal que [M ]α = P [M ]β para toda matrizM ∈M2×2(R).
(c) Encontre uma matriz P ′ tal que [M ]β = P ′[M ]α para toda matriz M ∈
M2×2(R).
3. Seja C = {e1, e2, e3}, base canoˆnica de R3. Encontre a lei da transformac¸a˜o linear
T : R3 → R3 tal que Te1 = e2 − e3, Te2 = e1 + e2 e Te3 = e2 − e3.
4. Sejam v1 = (1, 0, 0)
T , v2 = (0, 1, 0)
T e v3 = (0, 0, 1)
T vetores de R3. Considere uma
transformac¸a˜o (ou, melhor a transformac¸a˜o) linear T de R3 em R3 satisfazendo:
Tv1 =
 12
3
 Tv2 =
 −14
2
 Tv1 =
 06
4

1
Quem e´:
T
 56
−4
 T
 10−11
0
?
E se v1 = (1, 0, 1)
T , v2 = (1,−1, 0)T e v3 = (−1, 2, 1)T ?
5. Considere a transformac¸a˜o T : R4 → R3, definida por Tv =Mv, onde
M =
 1 2 3 14 5 6 1
7 8 9 1

T e´ linear? E´ injetiva? E´ sobrejetiva?
6. Seja T uma transformac¸a˜o linear entre R-espac¸os vetoriais V e W e seja w um vetor
fixo em W . Mostre que toda soluc¸a˜o da equac¸a˜o Tv = w e´ da forma v1 + v2, onde
v1 ∈ ker(T ) e v2 e´ uma soluc¸a˜o particular para Tv = w.
7. Seja T uma transformac¸a˜o linear de R3 em R3 definida por
T (x, y, z) = (x− y + 2z, 2x+ y,−x− 2y + 2z).
Encontre uma base para a imagem de T .
8. Seja T : R4 → R3 definida por:
T (x1, x2, x3, x4) = (x1 + 2x2 − x3, 2x1 − 5x2, 7x1 − 3x2).
(a) Encontre a matriz de T em relac¸a˜o as bases canoˆnicas de R4 e R3.
(b) Determine ker(T ) e Im(T ).
(c) T e´ injetiva? E´ sobrejetiva?
9. Idem anterior, considerando as bases:
α = {(1, 2, 0, 1)T , (−1, 1, 3, 1)T , (1, 0, 0, 0)T , (1, 0, 0,−1)T} ∈ R4,
β = {(1, 1, 0)T , (0, 2,−1)T , (0,−1, 0)T} ∈ R3.
10. Seja T uma transformac¸a˜o linear de R3 em R5 definida por:
T (x1, x2, x3) = (x1 + x2, 0, x2 + x3, 0, x1 + x3).
Considere β{(1, 1, 1)T , (1,−1, 0)T , (0, 1, 1)T} base de R3 e C a base canoˆnica de R5.
Encontre [T ]βC .
11. Seja T : R3 → R3 um operador linear, cuja representac¸a˜o matricial na base canoˆnica
e´:
[T ]CC =
 7 −8 −89 −16 −18
−5 11 13
 .
Encontre [T ]αα, onde α = {(0,−1, 1), (1, 3,−2), (2, 0, 1)}.
2
12. Seja V um R-espac¸o vetorial e {v1, ..., vn} uma base de V . Construa f1 ∈ L(V,R)
tal que fi(vi) = 1, i = 1, ..., n e fi(vj) = 0, i 6= j. Prove que {f1, ...fn} e´ base de
L(V,R).
13. Considere o espac¸o vetorial V = M2×2(R) (como no item (1)), a matriz A =[
1 2
−1 3
]
e W = {B ∈ V : AB = BA} (conjunto das matrizes que comutam com
A).
(a) Mostre que W e´ subespac¸o de V .
(b) Determine a dimensa˜o de W e uma base para W .
(c) Complete a base encontrada no item (b) para uma base de V .
(d) Calcule as matrizes de mudanc¸a de base entre a base do item (c) e a base
canoˆnica de V , a saber,
C =
{[
1 0
0 0
]
,
[
0 1
0 0
]
,
[
0 0
1 0
]
,
[
0 0
0 1
]}
.
(e) Encontre as coordenadas de A, A2 e C =
[
1 1
1 1
]
na base encontrada no item
(c).
(f) Olhando para as coordenadas das matrizes do item (e), qual das matrizes
pertencem ou na˜o ao subespac¸o W?
14. Para P4(R) (conjunto dos polinoˆmios de grau menor ou igual a 4), sa˜o dadas as
seguintes bases (verifique!):
C = {1, x, x2, x3, x4} e β = {1, x,−1 + x2,−3x+ 4x3, 1− 8x2 + 8x4}.
Em P3(R) (conjunto dos polinoˆmios de grau menor ou igual a 3) temos as seguintes
bases:
E = {1, x, x2, x3} e α = {1, x,−1 + x2,−3x+ 4x3}.
(a) SejaM = [D]βα e N = [S]
α
β , onde D e´ a derivac¸a˜o sobre P4(R) e S a integrac¸a˜o
sobre P3(R). Encontre as representac¸o˜es de (D◦S ◦D) e (S ◦D◦S) em termos
de M e N .
(b) Se p(x) = a0 + a1x + a2x
2 + a3x
3, defina a transformac¸a˜o de P3(R) em P4(R)
por:
Tp(x) = a0.1 + 0 · x+ 0 · x2 + 0 · x3 + 0 · x4 = a0,
um polinoˆmio constante em P4(R). Encontre [T ]βα, [D ◦ T ]αα, [T ◦D]ββ.
(c) Encontre [S]EC , [D]
C
E , [T ]
E
C .
15. Responda (V)erdadeiro ou (F)also e justifique:
3
(a) Se A e´ uma matriz n × n, denote por N(A) o espac¸o das soluc¸o˜es do sistema
AX = 0. Se dim(N(A)) = n, enta˜o A = 0.
(b) Se A e B sa˜o matrizes n× n, enta˜o N(BA) ⊆ N(A).
(c) Se T e´ uma func¸a˜o do espac¸o vetorial V sobre ele pro´prio, tal que T (v +w) =
Tv + Tw, enta˜o T (αv) = αTv, para todo escalar α e todo vetor v.
16. FAC¸A MAIS EXERCI´CIOS!!!
4