Prévia do material em texto

essencial no cálculo e na resolução de problemas que envolvem áreas sob curvas e cálculo 
de velocidades médias. 
 
Questão: Qual o valor da integral definida de x^2 de 0 a 2? 
Alternativas: 
a) 2/3 
b) 4/3 
c) 8/3 
d) 16/3 
Resposta: c) 8/3 
Explicação: Para encontrar o valor da integral definida de x^2 de 0 a 2, primeiramente 
devemos encontrar a primitiva da função, que é (1/3)*x^3. Em seguida, substituímos os 
limites de integração na primitiva e fazemos as devidas subtrações: 
 
F(2) - F(0) = (1/3)*(2^3) - (1/3)*(0^3) 
F(2) - F(0) = (1/3)*(8) - (1/3)*(0) 
F(2) - F(0) = 8/3 
 
Portanto, o valor da integral definida de x^2 de 0 a 2 é 8/3. 
 
Questão: Qual é a derivada da função f(x) = x^3 + 4x^2 - 2x + 5 em relação a x? 
 
Alternativas: 
a) f'(x) = 3x^2 + 8x - 2 
b) f'(x) = 3x^2 + 4x - 2 
c) f'(x) = 3x^2 + 8x + 2 
d) f'(x) = 3x^2 + 4x + 2 
 
Resposta: a) f'(x) = 3x^2 + 8x - 2 
 
Explicação: Para encontrar a derivada da função f(x) em relação a x, utilizamos a regra do 
poder, que consiste em derivar cada termo da função separadamente. Dessa forma, temos 
que a derivada de x^3 é 3x^(3-1) = 3x^2, a derivada de 4x^2 é 2*4x^(2-1) = 8x, a derivada 
de -2x é -2, e a derivada de 5 em relação a x é 0, pois é uma constante. Portanto, a derivada 
da função f(x) = x^3 + 4x^2 - 2x + 5 é f'(x) = 3x^2 + 8x - 2. 
 
Questão: Qual é a integral indefinida da função \(f(x) = e^x \cos(x)\)? 
 
Alternativas: 
 
a) \(\frac{e^x \sin(x)}{2} + C\) 
 
b) \(\frac{e^x \cos(x)}{2} + C\) 
 
c) \(\frac{e^x (\cos(x) + \sin(x))}{2} + C\) 
 
d) \(\frac{e^x (\cos(x) - \sin(x))}{2} + C\) 
 
Resposta: b) \(\frac{e^x \cos(x)}{2} + C\) 
 
Explicação: Para encontrar a integral indefinida da função \(f(x) = e^x \cos(x)\), utilizamos 
a integração por partes, onde \(u = e^x\) e \(dv = \cos(x) dx\). 
 
Então, temos que \(du = e^x dx\) e \(v = \sin(x)\). 
 
Aplicando a fórmula da integração por partes, temos: 
 
\[\int e^x \cos(x) dx = e^x \sin(x) - \int e^x \sin(x) dx\] 
 
Para encontrar \(\int e^x \sin(x) dx\), utilizamos novamente a integração por partes, com 
\(u = e^x\) e \(dv = \sin(x) dx\). 
 
Assim, obtemos que \(du = e^x dx\) e \(v = -\cos(x)\). 
 
Aplicando a fórmula da integração por partes novamente, encontramos que: 
 
\[\int e^x \sin(x) dx = -e^x \cos(x) - \int -e^x \cos(x) dx\] 
 
Simplificando a equação, temos: 
 
\[\int e^x \cos(x) dx = e^x \sin(x) + e^x \cos(x) - \int e^x \cos(x) dx\] 
 
Rearranjando os termos, chegamos em: 
 
\[2 \int e^x \cos(x) dx = e^x (\sin(x) + \cos(x)) + C\] 
 
Dividindo ambos os lados por 2, obtemos a resposta correta: 
 
\[\int e^x \cos(x) dx = \frac{e^x \cos(x)}{2} + C\]