a linguagem dos numeros 8QF6C

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Assim, concluímos que o limite da função é 4. 
 
Questão: Qual é o valor da integral definida de \( \int_{0}^{1} x^2 dx \)? 
 
Alternativas: 
a) 0 
b) 1/3 
c) 1/2 
d) 1 
 
Resposta: c) 1/3 
 
Explicação: Para calcular a integral definida de \( \int_{0}^{1} x^2 dx \), primeiro é 
necessário encontrar a primitiva da função \( x^2 \). 
A primitiva de \( x^2 \) é \( \frac{x^3}{3} \). 
Então, para encontrar o valor da integral definida, basta substituir os limites de integração e 
calcular a diferença. 
\[ 
\int_{0}^{1} x^2 dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1} = \frac{1^3}{3} - \frac{0^3}{3} = 
\frac{1}{3} 
\] 
Portanto, o valor da integral definida de \( \int_{0}^{1} x^2 dx \) é 1/3. 
 
Questão: Qual é a integral indefinida da função \(f(x) = e^{2x} \cos(3x)\)? 
 
Alternativas: 
a) \(\frac{1}{2} (e^{2x} \sin(3x) + 3e^{2x} \cos(3x)) + C\) 
b) \(e^{2x} \cos(3x) + C\) 
c) \(\frac{1}{13} (e^{2x} \cos(3x) - 6e^{2x} \sin(3x)) + C\) 
d) \(\frac{1}{13} (e^{2x} \sin(3x) + 6e^{2x} \cos(3x)) + C\) 
 
Resposta: c) \(\frac{1}{13} (e^{2x} \cos(3x) - 6e^{2x} \sin(3x)) + C\) 
 
Explicação: Para encontrar a integral indefinida da função dada, devemos usar a integração 
por partes. Neste caso, a função \(u\) será \(e^{2x}\) e a função \(dv\) será \(\cos(3x)dx\). 
 
Calculando as derivadas e integrais sucessivas de \(u\) e \(v\), obtemos: 
 
\(du = 2e^{2x}dx\) 
\(v = \frac{1}{3}\sin(3x)\) 
 
Aplicando a fórmula da integração por partes: 
 
\(\int e^{2x} \cos(3x)dx = e^{2x} \frac{1}{3}\sin(3x) - \int \frac{1}{3} \sin(3x) 
2e^{2x}dx\) 
\(\int e^{2x} \cos(3x)dx = \frac{1}{3} e^{2x} \sin(3x) - \frac{2}{3}\int e^{2x} \sin(3x)dx\) 
 
Para integrar \(\int e^{2x} \sin(3x)dx\), devemos usar a integração por partes novamente. 
Assim, podemos encontrar que \(\int e^{2x} \sin(3x)dx = \frac{1}{13}(e^{2x} \sin(3x) - 
6e^{2x} \cos(3x)) + C\). 
 
Substituindo o resultado na expressão anterior, obtemos: 
 
\(\int e^{2x} \cos(3x)dx = \frac{1}{3} e^{2x} \sin(3x) - \frac{2}{3} 
\left(\frac{1}{13}(e^{2x} \sin(3x) - 6e^{2x} \cos(3x)) + C\right)\) 
\(\int e^{2x} \cos(3x)dx = \frac{1}{13}(e^{2x} \cos(3x) - 6e^{2x} \sin(3x)) + C\) 
 
Portanto, a integral indefinida da função \(f(x) = e^{2x} \cos(3x)\) é \(\frac{1}{13}(e^{2x} 
\cos(3x) - 6e^{2x} \sin(3x)) + C\). 
 
Questão: Qual é a derivada da função f(x) = 3x^2 + 5x - 2? 
 
Alternativas: 
a) f'(x) = 6x + 5 
b) f'(x) = 6x + 2 
c) f'(x) = 3x + 5 
d) f'(x) = 3x + 2 
 
Resposta: a) f'(x) = 6x + 5 
 
Explicação: Para encontrar a derivada da função f(x), utilizamos a regra de derivada de 
potências, que diz que a derivada de x^n é n*x^(n-1). 
 
Calculando a derivada termo a termo, teremos: 
f'(x) = d/dx [3x^2] + d/dx [5x] - d/dx [2] 
f'(x) = 6x + 5 - 0 
f'(x) = 6x + 5 
 
Portanto, a derivada de f(x) = 3x^2 + 5x - 2 é f'(x) = 6x + 5. A alternativa correta é a letra a).