aulas da faculdade com explicaçaoi 19SE0

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Alternativas: 
a) 2 
b) 4 
c) 6 
d) 8 
 
Resposta: 8 
 
Explicação: Para calcular a integral definida de f(x) = x^2 de 0 a 2, devemos primeiro 
encontrar a integral indefinida de f(x). A integral de x^2 é x^3/3 + C, onde C é a constante 
de integração. Então, a integral definida de f(x) no intervalo [0, 2] é [2^3/3 - 0^3/3] = 8/3 - 
0 = 8/3 ≈ 2,67. Portanto, a resposta correta é 8. 
 
Questão: Qual é a derivada da função \( f(x) = e^{2x} \)? 
Alternativas: 
a) \( 2e^{2x} \) 
b) \( 4e^{2x} \) 
c) \( e^{2x} \) 
d) \( 2e^{2x} \) 
 
Resposta: a) \( 2e^{2x} \) 
 
Explicação: Para encontrar a derivada da função \( f(x) = e^{2x} \), utilizamos a regra da 
cadeia. A derivada da exponencial \( e^{2x} \) é dada por \( e^{2x} \) vezes a derivada do 
expoente \( 2x \), que é 2. Portanto, a resposta correta é \( 2e^{2x} \), alternativa a). 
 
Questão: Qual é a derivada da função f(x) = ln(x^2 + 1)? 
 
Alternativas: 
a) f'(x) = 2x/(x^2 + 1) 
b) f'(x) = 2x/(2x^2 + 2) 
c) f'(x) = 2x/(2x^2 + 1) 
d) f'(x) = 2/(x^2 + 1) 
 
Resposta: a) f'(x) = 2x/(x^2 + 1) 
 
Explicação: Primeiramente, para encontrar a derivada da função f(x) = ln(x^2 + 1), 
aplicamos a regra da cadeia, que consiste em derivar a função externa (no caso, ln) e 
multiplicar pela derivada da função interna (x^2 + 1). A derivada da função ln(u) é 1/u 
vezes a derivada de u. Portanto, a derivada de ln(x^2 + 1) é 1/(x^2 + 1)*(2x). Simplificando, 
obtemos f'(x) = 2x/(x^2 + 1). 
 
Questão: Uma função f(x) é tal que f(x) = x^2 - 2x + 1. Qual é o valor mínimo dessa função? 
 
Alternativas: 
a) -1 
b) 0 
c) 1 
d) 2 
 
Resposta: c) 1 
 
Explicação: Para encontrarmos o valor mínimo da função, precisamos encontrar o vértice da 
parábola representada pela função f(x) = x^2 - 2x + 1. Sabemos que o valor do vértice de 
uma parábola com a forma f(x) = ax^2 + bx + c é dado por x = -b/2a. Neste caso, a = 1 e b = -
2, substituindo na fórmula do vértice, temos x = -(-2)/2*1 = 1. Portanto, o valor mínimo da 
função ocorre em x = 1. Substituindo x = 1 na função f(x), obtemos f(1) = 1^2 - 2*1 + 1 = 1 - 
2 + 1 = 0 + 1 = 1. Portanto, o valor mínimo da função é 1. 
 
Questão: Qual é a derivada da função \(f(x) = \frac{2x^2 + 3x}{x^3 + 4}\) em relação a x? 
 
Alternativas: 
a) \(f'(x) = \frac{6x^2 - 3}{x^4 + 4}\) 
b) \(f'(x) = \frac{6x^2 + 3}{x^3 + 4}\) 
c) \(f'(x) = \frac{6x^2 + 3}{x^4 + 4}\) 
d) \(f'(x) = \frac{6x^2 - 3}{x^3 + 4}\) 
 
Resposta: c) \(f'(x) = \frac{6x^2 + 3}{x^4 + 4}\) 
 
Explicação: Para derivar a função \(f(x)\), utilizamos a regra do quociente e a regra do 
produto. Primeiro, derivamos o numerador e o denominador separadamente: 
 
- Derivada do numerador: 
\(f'(x) = 2(2x) + 3 = 4x + 3\) 
 
- Derivada do denominador: 
\(g'(x) = 3x^2 + 0 = 3x^2\) 
 
Agora, aplicamos a regra do quociente para encontrar a derivada da função original: 
 
\(f'(x) = \frac{(4x + 3)(x^3 + 4) - (2x^2 + 3x)(3x^2)}{(x^3 + 4)^2}\)