teste do dia e semana 199

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D) \( 2^{n + 1} - 1 \) 
 Resposta: D 
 Explicação: Uma série geométrica, onde a soma é \( a \frac{1 - r^n}{1 - r} \) para \( a = 2 \). 
 
74. Qual é a integral de \( \frac{1}{x \ln(x)} \)? 
 A) \( \ln(\ln(x)) + C \) 
 B) \( \frac{1}{2} \ln^2(x) + C \) 
 C) \( \ln^2(x) + C \) 
 D) \( \ln(x) + C \) 
 Resposta: A 
 Explicação: Esta é uma forma clássica que exige substituição para resolver a integral. 
 
75. Determine a integral \( \int \sec^2(x) \, dx \). 
 A) \( \tan(x) + C \) 
 B) \( \sec(x) + C \) 
 C) \( -\sec(x) + C \) 
 D) \( -\tan(x) + C \) 
 Resposta: A 
 Explicação: A derivada de \( \tan(x) \) é \( \sec^2(x) \), levando à integral. 
 
76. Encontre \( \lim_{x \to \infty} \frac{5x^4 + 3}{4x^4 - 2} \). 
 A) \( \frac{5}{4} \) 
 B) \( 1 \) 
 C) \( 0 \) 
 D) \( \infty \) 
 Resposta: A 
 Explicação: Comparando os termos de maior grau resulta em uma razão simplificada. 
 
77. Para a equação \( x^4 - 6x^2 + 8 = 0 \), determine as raízes. 
 A) \( x = \pm 2, \pm 3 \) 
 B) \( x = 2, -2 \) 
 C) \( x = 0, \pm 2 \) 
 D) \( x = \pm 2, \pm 1 \) 
 Resposta: A 
 Explicação: A substituição \( y = x^2 \) simplifica a quartica a uma quadrática. 
 
78. Qual é a integral de \( \tan(x) \)? 
 A) \( -\ln|\cos(x)| + C \) 
 B) \( \ln|\sin(x)| + C \) 
 C) \( \sec(x) + C \) 
 D) \( -\tan(x) + C \) 
 Resposta: A 
 Explicação: A integral do tangente utiliza logaritmos de funções trigonométricas. 
 
79. O que resulta em \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^3} \)? 
 A) \( \frac{\pi^2}{6} \) 
 B) \( \frac{\pi^3}{6} \) 
 C) \( 1 \) 
 D) \( 2 \) 
 Resposta: B 
 Explicação: É uma série bem conhecida, a série de Turing e foi inicialmente resolvida por 
Euler. 
 
80. Emitir uma declaração para o valor de \( e \). 
 A) \( 2.71828... \) 
 B) \( 3.14159... \) 
 C) \( 1.41421... \) 
 D) \( 1.61803... \) 
 Resposta: A 
 Explicação: É o número base do logaritmo natural e tem um valor específico da sua série 
infinita. 
 
81. Calcule \( \sum_{n=1}^{10} n^2 \). 
 A) 385 
 B) 100 
 C) 10 
 D) 50 
 Resposta: A 
 Explicação: Usando a fórmula \(\frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}\), que para \( n = 10 \) resulta em 
385. 
 
82. Encontra \( \int_0^1 \sqrt{x} \, dx \). 
 A) \( \frac{2}{3} \) 
 B) \( \frac{1}{2} \) 
 C) \( 1 \) 
 D) \( \frac{3}{4} \) 
 Resposta: A 
 Explicação: A primitiva de \( x^{\frac{1}{2}} \), avaliada entre \( 0 \) e \( 1 \), resulta em \( 
\frac{2}{3} \). 
 
83. Determine o resultado do limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(3x)}{x} \). 
 A) 3 
 B) 1 
 C) 0 
 D) \( \infty \) 
 Resposta: A 
 Explicação: Aplicando a regra padrão de limites, isso resulta em 3. 
 
84. Determine \( I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^2(x) \, dx \). 
 A) \( \frac{\pi}{4} \) 
 B) \( 1 \) 
 C) \( 0 \) 
 D) \( \frac{\pi}{2} \) 
 Resposta: A 
 Explicação: A integral de \( \sin^2(x) \) pode ser resolvida com uma identidade.