jpct criando do zero

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**Resposta:** a) \( \frac{1}{2\sqrt{x}} \) 
 **Explicação:** A derivada é calculada como \( \frac{1}{2} x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}} \). 
 
66. **Problema 66:** Calcule a integral \( \int (x^2 + 2) \, dx \). 
 a) \( \frac{1}{3} x^3 + 2x + C \) 
 b) \( \frac{1}{3} x^3 + 2 + C \) 
 c) \( x^3 + 2x + C \) 
 d) \( \frac{1}{3} x^3 + 2 + C \) 
 **Resposta:** a) \( \frac{1}{3} x^3 + 2x + C \) 
 **Explicação:** Integrando, obtemos \( \left[ \frac{1}{3} x^3 + 2x \right] + C \). 
 
67. **Problema 67:** Determine o valor da derivada \( \frac{d}{dx} (x^5 - x^3 + 2) \). 
 a) \( 5x^4 - 3x^2 \) 
 b) \( 5x^4 - 3x \) 
 c) \( 3x^2 - 5x^4 \) 
 d) \( 5x^4 + 3x^2 \) 
 **Resposta:** a) \( 5x^4 - 3x^2 \) 
 **Explicação:** A derivada é calculada como \( 5x^4 - 3x^2 \). 
 
68. **Problema 68:** Calcule o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(5x)}{x} \). 
 a) \( 5 \) 
 b) \( 1 \) 
 c) \( 0 \) 
 d) \( -5 \) 
 **Resposta:** a) \( 5 \) 
 **Explicação:** Usando a regra do limite fundamental, temos \( \lim_{x \to 0} 
\frac{\tan(kx)}{x} = k \) onde \( k = 5 \). 
 
69. **Problema 69:** Determine a integral \( \int (3x^2 + 4) \, dx \). 
 a) \( x^3 + 4x + C \) 
 b) \( \frac{3}{3} x^3 + 4x + C \) 
 c) \( 3x^3 + 4 + C \) 
 d) \( 3x^3 + 4x + C \) 
 **Resposta:** a) \( x^3 + 4x + C \) 
 **Explicação:** Integrando, obtemos \( \left[ x^3 + 4x \right] + C \). 
 
70. **Problema 70:** Calcule a integral \( \int_0^1 (x^4 + 2x^2) \, dx \). 
 a) \( \frac{1}{5} \) 
 b) \( \frac{2}{3} \) 
 c) \( \frac{1}{3} \) 
 d) \( \frac{4}{15} \) 
 **Resposta:** d) \( \frac{4}{15} \) 
 **Explicação:** Integrando, obtemos \( \left[ \frac{x^5}{5} + \frac{2x^3}{3} \right]_0^1 = 
\frac{1}{5} + \frac{2}{3} = \frac{3 + 10}{15} = \frac{13}{15} \). 
 
71. **Problema 71:** Determine a derivada de \( f(x) = \ln(x^3 + 1) \). 
 a) \( \frac{3x^2}{x^3 + 1} \) 
 b) \( \frac{1}{x^3 + 1} \) 
 c) \( \frac{3}{x^3 + 1} \) 
 d) \( \frac{3}{x^3} \) 
 **Resposta:** a) \( \frac{3x^2}{x^3 + 1} \) 
 **Explicação:** A derivada é \( f'(x) = \frac{1}{x^3 + 1} \cdot 3x^2 \). 
 
72. **Problema 72:** Calcule a integral \( \int (5x^3 - 2x) \, dx \). 
 a) \( \frac{5}{4} x^4 - x^2 + C \) 
 b) \( \frac{5}{4} x^4 - x + C \) 
 c) \( \frac{5}{4} x^4 + C \) 
 d) \( 5x^4 - x^2 + C \) 
 **Resposta:** a) \( \frac{5}{4} x^4 - x^2 + C \) 
 **Explicação:** Integrando, obtemos \( \left[ \frac{5}{4} x^4 - x^2 \right] + C \). 
 
73. **Problema 73:** Determine o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x} \). 
 a) \( 1 \) 
 b) \( 0 \) 
 c) \( \infty \) 
 d) \( -1 \) 
 **Resposta:** a) \( 1 \) 
 **Explicação:** Este limite é uma forma indeterminada e pode ser resolvido usando a 
regra de L'Hôpital, resultando em \( 1 \). 
 
74. **Problema 74:** Calcule a integral \( \int_0^1 (x^3 - 4x + 4) \, dx \). 
 a) \( 1 \) 
 b) \( 0 \) 
 c) \( 2 \) 
 d) \( 4 \) 
 **Resposta:** c) \( 2 \) 
 **Explicação:** Integrando, obtemos \( \left[ \frac{x^4}{4} - 2x^2 + 4x \right]_0^1 = (0.25 - 
2 + 4) - 0 = 2.25 \). 
 
75. **Problema 75:** Determine a derivada de \( f(x) = \sqrt{x^2 + 1} \). 
 a) \( \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} \) 
 b) \( \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}} \) 
 c) \( \frac{2x}{\sqrt{x^2 + 1}} \) 
 d) \( \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 1}} \) 
 **Resposta:** a) \( \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} \) 
 **Explicação:** A derivada é \( \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 1}} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} 
\). 
 
76. **Problema 76:** Calcule a integral \( \int (x^2 - 2x + 1) \, dx \). 
 a) \( \frac{1}{3} x^3 - x^2 + x + C \) 
 b) \( \frac{1}{3} x^3 - x^2 + C \) 
 c) \( \frac{1}{3} x^3 - x^2 + 2x + C \) 
 d) \( \frac{1}{3} x^3 + C \) 
 **Resposta:** a) \( \frac{1}{3} x^3 - x^2 + x + C \)