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**Explicação:** Usando integração por partes duas vezes, obtemos a expressão final. 
 
50. **Qual é o valor de \( \int_0^1 (2x + 1) \, dx \)?** 
 A) 1 
 B) 2 
 C) 3 
 D) 4 
 **Resposta:** C) 3 
 **Explicação:** A integral resulta em \( \left[ x^2 + x \right]_0^1 = (1 + 1) - (0 + 0) = 2 \). 
 
51. **Qual é a derivada de \( f(x) = x^4 + 2x^2 + 1 \)?** 
 A) \( 4x^3 + 4x \) 
 B) \( 4x^3 + 2x \) 
 C) \( 2x^3 + 4x^2 \) 
 D) \( 4x^3 + 2 \) 
 **Resposta:** A) \( 4x^3 + 4x \) 
 **Explicação:** A derivada de \( x^4 \) é \( 4x^3 \) e a derivada de \( 2x^2 \) é \( 4x \). 
 
52. **Qual é o valor de \( \lim_{x \to \infty} \frac{6x^3 + 2x}{3x^3 - 4} \)?** 
 A) 0 
 B) 2 
 C) 1 
 D) 2 
 **Resposta:** D) 2 
 **Explicação:** Dividindo todos os termos pelo maior grau de \( x^3 \), obtemos \( 
\lim_{x \to \infty} \frac{6 + \frac{2}{x^2}}{3 - \frac{4}{x^3}} = \frac{6}{3} = 2 \). 
 
53. **Qual é a solução da equação diferencial \( \frac{dy}{dx} = 4y - 2 \)?** 
 A) \( y = Ce^{4x} + \frac{1}{2} \) 
 B) \( y = \frac{2}{4 - 1} \) 
 C) \( y = \frac{1}{4} + Ce^{-4x} \) 
 D) \( y = \frac{1}{4} + Ce^{4x} \) 
 **Resposta:** D) \( y = \frac{1}{4} + Ce^{4x} \) 
 **Explicação:** Esta é uma equação diferencial linear. A solução geral é obtida usando 
o fator integrante. 
 
54. **Qual é o valor de \( \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^4(x) \, dx \)?** 
 A) \( \frac{3\pi}{16} \) 
 B) \( \frac{1}{4} \) 
 C) \( \frac{2\pi}{16} \) 
 D) \( \frac{1}{8} \) 
 **Resposta:** A) \( \frac{3\pi}{16} \) 
 **Explicação:** Usando a identidade \( \sin^4(x) = \left( \sin^2(x) \right)^2 = \left( \frac{1 
- \cos(2x)}{2} \right)^2 \), podemos integrar e obter \( \frac{3\pi}{16} \). 
 
55. **Qual é a derivada de \( f(x) = \ln(x^2 + 1) \)?** 
 A) \( \frac{2x}{x^2 + 1} \) 
 B) \( \frac{1}{x^2 + 1} \) 
 C) \( \frac{2}{x^2 + 1} \) 
 D) \( \frac{2x}{x^2 + 1} \) 
 **Resposta:** A) \( \frac{2x}{x^2 + 1} \) 
 **Explicação:** Usando a regra da cadeia, temos \( f'(x) = \frac{1}{x^2 + 1} \cdot 2x = 
\frac{2x}{x^2 + 1} \). 
 
56. **Qual é o valor de \( \int_1^e \frac{1}{x} \, dx \)?** 
 A) 1 
 B) \( \ln(e) \) 
 C) \( \ln(1) \) 
 D) \( \ln(e) - \ln(1) \) 
 **Resposta:** D) \( \ln(e) - \ln(1) \) 
 **Explicação:** A integral \( \int \frac{1}{x} \, dx = \ln|x| + C \). Avaliando de 1 a \( e \), 
temos \( \ln(e) - \ln(1) = 1 - 0 = 1 \). 
 
57. **Qual é a solução da equação diferencial \( \frac{dy}{dx} = y^2 + x \)?** 
 A) \( y = \frac{1}{C - x} \) 
 B) \( y = \frac{1}{C - x^2} \) 
 C) \( y = C e^{x^2} - x \) 
 D) \( y = Ce^{-x^2} + x \) 
 **Resposta:** C) \( y = C e^{x^2} - x \) 
 **Explicação:** Esta é uma equação diferencial separável. A solução é obtida 
separando as variáveis. 
 
58. **Qual é o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(4x)}{x} \)?** 
 A) 0 
 B) 1 
 C) 4 
 D) Infinito 
 **Resposta:** C) 4 
 **Explicação:** Usando a regra do limite fundamental, temos \( \lim_{x \to 0} 
\frac{\tan(kx)}{x} = k \). Assim, \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(4x)}{x} = 4 \cdot \lim_{x \to 0} 
\frac{\tan(4x)}{4x} = 4 \cdot 1 = 4 \). 
 
59. **Qual é a integral de \( \int \sin(2x) \, dx \)?** 
 A) \( -\frac{1}{2} \cos(2x) + C \) 
 B) \( \frac{1}{2} \sin(2x) + C \) 
 C) \( -\sin(2x) + C \) 
 D) \( \cos(2x) + C \) 
 **Resposta:** A) \( -\frac{1}{2} \cos(2x) + C \) 
 **Explicação:** A integral de \( \sin(ax) \) é \( -\frac{1}{a} \cos(ax) + C \). Portanto, para \( 
a = 2 \), temos \( -\frac{1}{2} \cos(2x) + C \). 
 
60. **Qual é o valor de \( \int_0^1 (x^5 - 2x^4 + x^3) \, dx \)?** 
 A) 0 
 B) 1 
 C) 2