cases GLC

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c) \( 5 \) 
 d) \( 6 \) 
 **Resposta**: c) \( 5 \) 
 **Explicação**: A integral se torna \( \left[ x^2 + 3x \right]_0^1 = 1 + 3 = 4 \). 
 
30. **Problema 30**: Encontre a solução da equação \( y'' - 4y = 0 \). 
 a) \( y = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-2x} \) 
 b) \( y = C_1 \cos(2x) + C_2 \sin(2x) \) 
 c) \( y = C_1 e^{x} + C_2 e^{-x} \) 
 d) \( y = C_1 \cosh(2x) + C_2 \sinh(2x) \) 
 **Resposta**: a) \( y = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-2x} \) 
 **Explicação**: A equação é uma EDO de segunda ordem com coeficientes constantes. 
A solução é da forma \( y = C_1 e^{\sqrt{4}x} + C_2 e^{-\sqrt{4}x} \). 
 
31. **Problema 31**: Calcule o determinante da matriz \( C = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 
& 1 & 4 \\ 5 & 6 & 0 \end{pmatrix} \). 
 a) 1 
 b) -1 
 c) -24 
 d) 24 
 **Resposta**: c) -24 
 **Explicação**: O determinante pode ser calculado usando a regra de Sarrus ou co-
fatores, resultando em -24. 
 
32. **Problema 32**: Calcule \( \int_0^{\pi/2} \sin^3(x) \, dx \). 
 a) \( \frac{2}{3} \) 
 b) \( \frac{1}{3} \) 
 c) \( \frac{1}{2} \) 
 d) \( \frac{4}{3} \) 
 **Resposta**: a) \( \frac{2}{3} \) 
 **Explicação**: Usamos a identidade \( \sin^3(x) = \sin(x)(1 - \cos^2(x)) \) e a 
substituição \( u = \cos(x) \). 
 
33. **Problema 33**: Determine o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x} \). 
 a) 0 
 b) 1 
 c) \( \infty \) 
 d) Não existe 
 **Resposta**: b) 1 
 **Explicação**: Usamos a regra de L'Hôpital, obtendo \( \lim_{x \to 0} \frac{1/(1+x)}{1} = 
1 \). 
 
34. **Problema 34**: Encontre a primitiva de \( f(x) = 5x^4 - 3x^2 + 2 \). 
 a) \( x^5 - x^3 + 2x + C \) 
 b) \( 5x^5 - x^3 + 2x + C \) 
 c) \( x^5 - x^3 + 2 + C \) 
 d) \( \frac{5}{5}x^5 - \frac{3}{3}x^3 + 2x + C \) 
 **Resposta**: a) \( x^5 - x^3 + 2x + C \) 
 **Explicação**: A primitiva é dada por \( \int (5x^4 - 3x^2 + 2) \, dx = x^5 - x^3 + 2x + C \). 
 
35. **Problema 35**: Calcule a integral \( \int_0^1 (2x^3 + 3x^2) \, dx \). 
 a) \( \frac{1}{2} \) 
 b) \( \frac{5}{4} \) 
 c) \( \frac{3}{4} \) 
 d) \( \frac{1}{3} \) 
 **Resposta**: b) \( \frac{5}{4} \) 
 **Explicação**: A integral se torna \( \left[ \frac{2x^4}{4} + \frac{3x^3}{3} \right]_0^1 = 
\frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2} \). 
 
36. **Problema 36**: Determine a solução da equação \( y' + 2y = e^{-x} \). 
 a) \( y = Ce^{-2x} + \frac{1}{3} e^{-x} \) 
 b) \( y = Ce^{2x} + \frac{1}{2} e^{-x} \) 
 c) \( y = Ce^{-2x} + \frac{1}{2} e^{-x} \) 
 d) \( y = Ce^{-2x} + e^{-x} \) 
 **Resposta**: a) \( y = Ce^{-2x} + \frac{1}{3} e^{-x} \) 
 **Explicação**: Usamos o método do fator integrante, que resulta na solução dada. 
 
37. **Problema 37**: Calcule o limite \( \lim_{x \to \infty} \frac{2x^3 + 3x^2}{4x^3 + 5} \). 
 a) 0 
 b) 1 
 c) \( \frac{1}{2} \) 
 d) \( \frac{3}{4} \) 
 **Resposta**: b) 1 
 **Explicação**: Dividindo todos os termos por \( x^3 \), obtemos \( \lim_{x \to \infty} 
\frac{2 + \frac{3}{x}}{4 + \frac{5}{x^3}} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \). 
 
38. **Problema 38**: Encontre a integral \( \int e^{-x^2} \, dx \). 
 a) \( \frac{\sqrt{\pi}}{2} \) 
 b) Não possui forma fechada 
 c) \( e^{-x^2} + C \) 
 d) \( \frac{1}{2} e^{-x^2} + C \) 
 **Resposta**: b) Não possui forma fechada 
 **Explicação**: A integral de \( e^{-x^2} \) não possui uma primitiva expressável em 
termos de funções elementares. 
 
39. **Problema 39**: Calcule a integral \( \int_0^1 (1 - x^2)^{5/2} \, dx \). 
 a) \( \frac{2}{15} \) 
 b) \( \frac{4}{15} \) 
 c) \( \frac{8}{15} \) 
 d) \( \frac{16}{15} \) 
 **Resposta**: b) \( \frac{4}{15} \) 
 **Explicação**: Usamos a substituição trigonométrica \( x = \sin(t) \), resultando em um 
fator que leva à integral. 
 
40. **Problema 40**: Determine o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(3x)}{x} \). 
 a) 0