3Q0 exercicios e etc

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b) \( 2 + 3i \) 
 c) \( -2 + 3i \) 
 d) \( -2 - 3i \) 
 **Resposta:** c) \( -2 + 3i \) 
 **Explicação:** Calculando \( z^3 = (1 - i)^3 = 1 - 3i + 3i^2 - i^3 = -2 + 3i \). 
 
40. **Qual é a forma polar do número complexo \( z = 5 - 5i \)?** 
 a) \( 5\sqrt{2}(\cos(-\frac{\pi}{4}) + i\sin(-\frac{\pi}{4})) \) 
 b) \( 5(\cos(\frac{7\pi}{4}) + i\sin(\frac{7\pi}{4})) \) 
 c) \( 5\sqrt{2}(\cos(\frac{3\pi}{4}) + i\sin(\frac{3\pi}{4})) \) 
 d) \( 5(\cos(\frac{5\pi}{4}) + i\sin(\frac{5\pi}{4})) \) 
 **Resposta:** d) \( 5(\cos(\frac{5\pi}{4}) + i\sin(\frac{5\pi}{4})) \) 
 **Explicação:** O módulo é \( r = \sqrt{(5)^2 + (-5)^2} = 5\sqrt{2} \) e o argumento é \( 
\theta = \tan^{-1}\left(\frac{-5}{5}\right) = \frac{5\pi}{4} \). 
 
41. **Qual é a solução da equação \( z^2 - 2z + 2 = 0 \)?** 
 a) \( 1 + i \) 
 b) \( 1 - i \) 
 c) \( 2 + i \) 
 d) \( 2 - i \) 
 **Resposta:** a) \( 1 + i \) 
 **Explicação:** Usando a fórmula de Bhaskara, temos \( \Delta = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 
2 = 4 - 8 = -4 \). As soluções são \( z = \frac{2 \pm \sqrt{-4}}{2} = 1 \pm i \). 
 
42. **Qual é o valor de \( z^2 + 1 \) se \( z = 3i \)?** 
 a) -8 
 b) 10 
 c) 1 
 d) 9 
 **Resposta:** a) -8 
 **Explicação:** Calculando \( z^2 + 1 = (3i)^2 + 1 = -9 + 1 = -8 \). 
 
43. **Qual é a forma retangular do número complexo \( z = 4(\cos(\frac{\pi}{3}) + 
i\sin(\frac{\pi}{3})) \)?** 
 a) \( 2 + 2\sqrt{3}i \) 
 b) \( 4 + 2\sqrt{3}i \) 
 c) \( 4 + 4i \) 
 d) \( 2 + 4i \) 
 **Resposta:** a) \( 2 + 2\sqrt{3}i \) 
 **Explicação:** Calculando \( z = 4\left(\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 2 + 
2\sqrt{3}i \). 
 
44. **Qual é a distância entre os pontos \( z_1 = 2 + 3i \) e \( z_2 = 2 - i \)?** 
 a) \( 4 \) 
 b) \( 2 \) 
 c) \( \sqrt{10} \) 
 d) \( \sqrt{5} \) 
 **Resposta:** c) \( \sqrt{10} \) 
 **Explicação:** A distância é dada por \( |z_1 - z_2| = |(2 + 3i) - (2 - i)| = |4i| = 4 \). 
 
45. **Qual é a solução da equação \( z^2 + 1 = 0 \)?** 
 a) \( i, -i \) 
 b) \( 1, -1 \) 
 c) \( 0, 1 \) 
 d) \( 1, 0 \) 
 **Resposta:** a) \( i, -i \) 
 **Explicação:** A equação \( z^2 + 1 = 0 \) pode ser reescrita como \( z^2 = -1 \). As 
soluções são \( z = i \) e \( z = -i \). 
 
46. **Qual é o valor de \( z^4 \) se \( z = 1 + i \)?** 
 a) \( 4 + 4i \) 
 b) \( 2 + 2i \) 
 c) \( 0 \) 
 d) \( 4 - 4i \) 
 **Resposta:** a) \( 4 + 4i \) 
 **Explicação:** Calculando \( z^4 = (1 + i)^4 = 4 + 4i \). 
 
47. **Qual é a forma polar do número complexo \( z = -1 + 0i \)?** 
 a) \( 1(\cos(\pi) + i\sin(\pi)) \) 
 b) \( 1(\cos(0) + i\sin(0)) \) 
 c) \( 1(\cos(-\pi) + i\sin(-\pi)) \) 
 d) \( 1(\cos(\frac{\pi}{2}) + i\sin(\frac{\pi}{2})) \) 
 **Resposta:** a) \( 1(\cos(\pi) + i\sin(\pi)) \) 
 **Explicação:** A forma polar é \( r = 1 \) e \( \theta = \pi \), logo \( z = 1(\cos(\pi) + 
i\sin(\pi)) \). 
 
48. **Qual é a solução da equação \( z^2 + 4z + 4 = 0 \)?** 
 a) \( -2, -2 \) 
 b) \( 2, 2 \) 
 c) \( -4, -4 \) 
 d) \( 0, 0 \) 
 **Resposta:** a) \( -2, -2 \) 
 **Explicação:** A equação pode ser fatorada como \( (z + 2)(z + 2) = 0 \), resultando em \( 
z = -2 \). 
 
49. **Qual é o valor de \( z^3 \) se \( z = 2 - i \)?** 
 a) \( 8 - 12i \) 
 b) \( 8 + 12i \) 
 c) \( 8 - 4i \) 
 d) \( 8 - 6i \) 
 **Resposta:** a) \( 8 - 12i \) 
 **Explicação:** Calculando \( z^3 = (2 - i)^3 = 8 - 12i + 6 - i = 8 - 12i \). 
 
50. **Qual é a forma retangular do número complexo \( z = 3(\cos(\frac{\pi}{6}) + 
i\sin(\frac{\pi}{6})) \)?** 
 a) \( \frac{3\sqrt{3}}{2} + \frac{3}{2}i \)