Para encontrar a forma polar do número complexo \( z = 5 - 5i \), precisamos calcular o módulo e o argumento. 1. Módulo: O módulo \( r \) é dado por: \[ r = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{5^2 + (-5)^2} = \sqrt{25 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \] 2. Argumento: O argumento \( \theta \) é dado por: \[ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{b}{a}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{-5}{5}\right) = \tan^{-1}(-1) \] O ângulo cuja tangente é -1 é \( -\frac{\pi}{4} \) (ou \( 7\frac{\pi}{4} \) se considerarmos a forma positiva, já que estamos no quarto quadrante). Agora, podemos expressar \( z \) na forma polar: \[ z = r(\cos \theta + i \sin \theta) = 5\sqrt{2} \left( \cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) + i \sin\left(-\frac{\pi}{4}\right) \right) \] Analisando as alternativas: a) \( 5\sqrt{2}(\cos(-\frac{\pi}{4}) + i\sin(-\frac{\pi}{4})) \) - Correto. b) \( 5(\cos(7\frac{\pi}{4}) + i\sin(7\frac{\pi}{4})) \) - Correto, mas não é a forma que encontramos. c) \( 5\sqrt{2}(\cos(3\frac{\pi}{4}) + i\sin(3\frac{\pi}{4})) \) - Incorreto, pois está no segundo quadrante. d) \( 5(\cos(5\frac{\pi}{4}) + i\sin(5\frac{\pi}{4})) \) - Incorreto, pois está no terceiro quadrante. Portanto, a alternativa correta é: a) \( 5\sqrt{2}(\cos(-\frac{\pi}{4}) + i\sin(-\frac{\pi}{4})) \).