Aula 5 - Derivadas Parciais e Regra da Cadeia_gabarito

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Profa. Me. Alessandra Azzolini 
 
 
 
CÁLCULO APLICADO – VÁRIAS VARIÁVEIS 
 
 
 
 
 
 
Aula 5 
Derivadas Parciais 
e 
Regra da Cadeia para Funções de Várias Variáveis 
 
 
 
 
 
Profa. Me. Alessandra Azzolini 
 
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Profa. Me. Alessandra Azzolini 
 
DERIVADAS PARCIAIS 
 
 
 
Este símbolo d curvado, ∂, chamado "del", é usado para distinguir derivadas 
parciais das derivadas ordinárias de uma variável. 
A razão para um novo tipo de derivada é que quando a entrada de uma função é 
composta de múltiplas variáveis, queremos ver como a função muda 
quando deixamos apenas uma dessas variáveis mudar enquanto mantemos todas as 
outras constantes. 
Exemplo 1: Para uma função multivariável, como 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2𝑦. 
 
 
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Profa. Me. Alessandra Azzolini 
Exemplo 2: 
𝒇(𝒙, 𝒚) = 𝟑𝒙𝟐 + 𝟒𝒙𝒚 + 𝒚² 
A notação que usamos é a seguinte: 
Derivada parcial de 𝒇(𝒙, 𝒚)𝒆𝒎 𝒓𝒆𝒍𝒂çã𝒐 𝒂 𝒙: 
𝝏𝒇(𝒙,𝒚)
𝝏𝒙
= 𝒇𝒙(𝒙, 𝒚) 
𝝏𝒇(𝒙, 𝒚)
𝝏𝒙
= 𝒇𝒙(𝒙, 𝒚) = 𝟔𝒙 + 𝟒𝒚 
 
Derivada parcial de 𝒇(𝒙, 𝒚)𝒆𝒎 𝒓𝒆𝒍𝒂çã𝒐 𝒂 𝒚: 
𝝏𝒇(𝒙,𝒚)
𝝏𝒚
= 𝒇𝒚(𝒙, 𝒚) 
𝝏𝒇(𝒙, 𝒚)
𝝏𝒚
= 𝒇𝒚(𝒙, 𝒚) = 𝟒𝒙 + 𝟐𝒚 
 
Exemplo 3: 
𝒇(𝒙, 𝒚) = 𝒙𝒚𝟑 + 𝟑𝒙𝟐𝒚 + 𝒆𝒙𝒚 
A notação que usamos é a seguinte: 
Derivada parcial de 𝒇(𝒙, 𝒚)𝒆𝒎 𝒓𝒆𝒍𝒂çã𝒐 𝒂 𝒙: 
𝝏𝒇(𝒙,𝒚)
𝝏𝒙
= 𝒇𝒙(𝒙, 𝒚) 
𝝏𝒇(𝒙, 𝒚)
𝝏𝒙
= 𝒇𝒙(𝒙, 𝒚) = 𝟏. 𝒚𝟑 + 𝟑𝒚. 𝟐𝒙 + 𝒚𝒆𝒙𝒚 
𝝏𝒇(𝒙, 𝒚)
𝝏𝒙
= 𝒇𝒙(𝒙, 𝒚) = 𝒚𝟑 + 𝟔𝒙𝒚 + 𝒚𝒆𝒙𝒚 
Derivada parcial de 𝒇(𝒙, 𝒚)𝒆𝒎 𝒓𝒆𝒍𝒂çã𝒐 𝒂 𝒚: 
𝝏𝒇(𝒙,𝒚)
𝝏𝒙
= 𝒇𝒙(𝒙, 𝒚) 
𝝏𝒇(𝒙, 𝒚)
𝝏𝒚
= 𝒇𝒚(𝒙, 𝒚) = 𝟑𝒙𝒚𝟐 + 𝟑𝒙𝟐 + 𝒙𝒆𝒙𝒚 
 
 
 
 
 
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Profa. Me. Alessandra Azzolini 
1) Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função: 
𝒂) 𝒇(𝒙, 𝒚) = 𝒙𝟐 + 𝒙𝒚 + 𝒚𝟐 
𝑹𝒆𝒔𝒑: 
𝝏𝒇
𝝏𝒙
= 𝟐𝒙 + 𝒚 
 
𝝏𝒇
𝝏𝒚
= 𝒙 + 𝟐𝒚 
 
 
𝒃) 𝒇(𝒙, 𝒚) = 𝟑𝒙𝟑 + 𝟓𝒚𝟒 
𝑹𝒆𝒔𝒑: 
𝝏𝒇
𝝏𝒙
= 𝟗𝒙² 
 
𝝏𝒇
𝝏𝒚
= 𝟐𝟎𝒚³ 
 
 
𝒄)𝒛 = √𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = (𝒙𝟐 + 𝒚𝟐)
𝟏
𝟐 
𝑹𝒆𝒔𝒑: 
𝝏𝒛
𝝏𝒙
= 𝟐𝒙.
𝟏
𝟐
(𝒙𝟐 + 𝒚𝟐)
𝟏
𝟐
−𝟏 
𝝏𝒛
𝝏𝒙
=
𝟐𝒙
𝟐
(𝒙𝟐 + 𝒚𝟐)−
𝟏
𝟐 
 
𝝏𝒛
𝝏𝒙
=
𝒙
(𝒙𝟐 + 𝒚𝟐)
𝟏
𝟐
 
𝝏𝒛
𝝏𝒙
=
𝒙
√𝒙𝟐 + 𝒚𝟐
 
 
 
 
𝝏𝒛
𝝏𝒚
=
𝒚
√𝒙𝟐 + 𝒚𝟐
 
 
 
 
 
 
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Profa. Me. Alessandra Azzolini 
𝒅) 𝒇(𝒙, 𝒚) = (𝒙𝟐 − 𝒙𝒚 + 𝒚𝟐)𝟒 
𝑹𝒆𝒔𝒑: 
𝝏𝒇(𝒙, 𝒚)
𝝏𝒙
= (𝟐𝒙 − 𝒚). 𝟒(𝒙𝟐 − 𝒙𝒚 + 𝒚𝟐)𝟑 
𝝏𝒇(𝒙, 𝒚)
𝝏𝒙
= (𝟖𝒙 − 𝟒𝒚)(𝒙𝟐 − 𝒙𝒚 + 𝒚𝟐)𝟑 
𝝏𝒇(𝒙, 𝒚)
𝝏𝒚
= (−𝒙 + 𝟐𝒚)𝟒(𝒙𝟐 − 𝒙𝒚 + 𝒚𝟐)𝟑 
𝝏𝒇(𝒙, 𝒚)
𝝏𝒚
= (−𝟒𝒙 + 𝟖𝒚)(𝒙𝟐 − 𝒙𝒚 + 𝒚𝟐)𝟑 
 
𝒆) 𝒇(𝒙, 𝒚) =
𝒙𝟑+𝒚𝟐
𝒙𝟐+𝒚𝟐 
 
𝑹𝒆𝒔𝒑: 
𝝏𝒇(𝒙, 𝒚)
𝝏𝒙
=
(𝒙𝟑 + 𝒚𝟐)
′
. (𝒙𝟐 + 𝒚𝟐) − (𝒙𝟑 + 𝒚𝟐). (𝒙𝟐 + 𝒚𝟐)′
(𝒙𝟐 + 𝒚𝟐)²
 
𝝏𝒇(𝒙, 𝒚)
𝝏𝒙
=
(𝟑𝒙² + 𝟎) . (𝒙𝟐 + 𝒚𝟐) − (𝒙𝟑 + 𝒚𝟐). (𝟐𝒙 + 𝟎)
(𝒙𝟐 + 𝒚𝟐)²
 
𝝏𝒇(𝒙, 𝒚)
𝝏𝒙
=
𝟑𝒙𝟐. (𝒙𝟐 + 𝒚𝟐) − (𝒙𝟑 + 𝒚𝟐). 𝟐𝒙
(𝒙𝟐 + 𝒚𝟐)
𝟐
 
𝝏𝒇(𝒙, 𝒚)
𝝏𝒙
=
𝟑𝒙𝟒 + 𝟑𝒙𝟐𝒚𝟐 − 𝟐𝒙𝟒 − 𝟐𝒙𝒚²
(𝒙𝟐 + 𝒚𝟐)
𝟐
 
𝝏𝒇(𝒙, 𝒚)
𝝏𝒙
=
𝒙𝟒 + 𝟑𝒙𝟐𝒚𝟐 − 𝟐𝒙𝒚²
(𝒙𝟐 + 𝒚𝟐)
𝟐
 
 
 
 
 
 
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Profa. Me. Alessandra Azzolini 
 
𝒇(𝒙, 𝒚) =
𝒙𝟑 + 𝒚𝟐
𝒙𝟐 + 𝒚𝟐
 
𝝏𝒇(𝒙, 𝒚)
𝝏𝒚
=
(𝒙𝟑 + 𝒚𝟐)
′
. (𝒙𝟐 + 𝒚𝟐) − (𝒙𝟑 + 𝒚𝟐). (𝒙𝟐 + 𝒚𝟐)′
(𝒙𝟐 + 𝒚𝟐)²
 
𝝏𝒇(𝒙, 𝒚)
𝝏𝒚
=
𝟐𝒚. (𝒙𝟐 + 𝒚𝟐) − (𝒙𝟑 + 𝒚𝟐). 𝟐𝒚
(𝒙𝟐 + 𝒚𝟐)²
 
𝝏𝒇(𝒙, 𝒚)
𝝏𝒚
=
(𝟐𝒙𝟐𝒚 + 𝟐𝒚𝟑
) − (𝟐𝒙𝟑𝒚 + 𝟐𝒚𝟑
)
(𝒙𝟐 + 𝒚𝟐)²
 
𝝏𝒇(𝒙, 𝒚)
𝝏𝒚
=
𝟐𝒙𝟐𝒚 + 𝟐𝒚𝟑 − 𝟐𝒙𝟑𝒚 − 𝟐𝒚𝟑
(𝒙𝟐 + 𝒚𝟐)²
 
𝝏𝒇(𝒙, 𝒚)
𝝏𝒚
=
𝟐𝒙𝟐𝒚 − 𝟐𝒙𝟑𝒚
(𝒙𝟐 + 𝒚𝟐)²
 
𝝏𝒇(𝒙, 𝒚)
𝝏𝒚
=
𝟐𝒙²𝒚(𝟏 − 𝒙)
(𝒙𝟐 + 𝒚𝟐)
𝟐
 
 
𝒇) 𝒇(𝒙, 𝒚) = 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈(𝒙𝟐 + 𝒚𝟐) 
𝑹𝒆𝒔𝒑: 
𝝏𝒇(𝒙, 𝒚)
𝝏𝒙
= 𝟐𝒙.
𝟏
𝟏 + (𝒙𝟐 + 𝒚𝟐)²
 
𝝏𝒇(𝒙, 𝒚)
𝝏𝒙
= 
𝟐𝒙
𝟏 + (𝒙𝟐 + 𝒚𝟐)²
 
𝝏𝒇(𝒙, 𝒚)
𝝏𝒚
= 𝟐𝒚.
𝟏
𝟏 + (𝒙𝟐 + 𝒚𝟐)²
 
𝝏𝒇(𝒙, 𝒚)
𝝏𝒚
=
𝟐𝒚
𝟏 + (𝒙𝟐 + 𝒚𝟐)²
 
 
𝑶𝒃𝒔: (𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈 (𝒖))′ =
𝟏
𝟏 + 𝒖²
 
 
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Profa. Me. Alessandra Azzolini 
𝒈) 𝒇(𝒙, 𝒚) = 𝟓𝒙𝟒𝒚𝟐 + 𝒙𝒚𝟑 + 𝟒 
𝑹𝒆𝒔𝒑: 
𝝏𝒇(𝒙, 𝒚)
𝝏𝒙
= 𝟐𝟎𝒙𝟑𝒚𝟐 + 𝒚³ 
𝝏𝒇(𝒙, 𝒚)
𝝏𝒚
= 𝟏𝟎𝒙𝟒𝒚 + 𝟑𝒚²𝒙 
 
𝒉) 𝒛 = 𝐜𝐨𝐬 ( 𝒙 . 𝒚 ) 
𝑹𝒆𝒔𝒑: 
𝝏𝒛
𝝏𝒙
= −𝒚. 𝒔𝒆𝒏(𝒙𝒚) 
𝝏𝒛
𝝏𝒚
= −𝒙. 𝒔𝒆𝒏(𝒙𝒚) 
 
𝒊) 𝒇(𝒙, 𝒚) = 𝒆−𝒙𝟐−𝒚𝟐
 
𝑹𝒆𝒔𝒑: 
𝝏𝒇(𝒙, 𝒚)
𝝏𝒙
= −𝟐𝒙𝒆−𝒙𝟐−𝒚𝟐
 
𝝏𝒇(𝒙, 𝒚)
𝝏𝒚
= −𝟐𝒚𝒆−𝒙𝟐−𝒚𝟐
 
 
𝒋) 𝒇(𝒙, 𝒚) = 𝒙𝒚 
𝑹𝒆𝒔𝒑: 
𝝏𝒇(𝒙, 𝒚)
𝝏𝒙
= 𝒚𝒙𝒚−𝟏 
𝝏𝒇(𝒙, 𝒚)
𝝏𝒚
= 𝒙𝒚𝒍𝒏(𝒙) 
 
𝒌)𝒇(𝒙, 𝒚) = √𝒙𝟑 + 𝒚𝟐 + 𝟑
𝟑
=> 𝒇(𝒙, 𝒚) = 
𝑹𝒆𝒔𝒑: 
𝝏𝒇(𝒙, 𝒚)
𝝏𝒙
=
𝟑𝒙² 
𝟑√(𝒙𝟑 + 𝒚𝟐 + 𝟑)𝟐𝟑
 
𝝏𝒇(𝒙, 𝒚)
𝝏𝒙
=
𝒙² 
√(𝒙𝟑 + 𝒚𝟐 + 𝟑)𝟐𝟑
 
𝝏𝒇(𝒙, 𝒚)
𝝏𝒚
=
𝟐𝒚 
𝟑√(𝒙𝟑 + 𝒚𝟐 + 𝟑)𝟐𝟑
 
 
 
 
 
 
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Profa. Me. Alessandra Azzolini 
Exemplo 4: 
 
 𝒇𝒚(𝟐, 𝟏) =8 
 
2) Suponhamos que a quantidade de batata demandada por semana (em kg) num 
supermercado seja função do seu preço unitário x (por kg) e do preço unitário y (por kg) 
de arroz, de acordo com a relação 𝑞 = 𝑓(𝑥, 𝑦) = 1000 − 2𝑥2 + 15𝑦. 
 
𝜕𝑓
𝜕𝑥
= −4𝑥 
𝜕𝑓
𝜕𝑥
(3, 4) = −12 
 
𝜕𝑓
𝜕𝑦
= 15 
𝜕𝑓
𝜕𝑦
(3, 4) = 15 
 
3) Considere a função 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 + 3𝑦2. Determine a derivada parcial, calcule 
𝑓𝑥(3, 2) 𝑒 𝑓𝑦(3, 2). 
 
 
𝜕𝑓
𝜕𝑥
= 2𝑥 
𝜕𝑓
𝜕𝑥
(3, 2) = 6 
 
𝜕𝑓
𝜕𝑦
= 6𝑦 
𝜕𝑓
𝜕𝑦
(3, 2) = 12 
 
 
4) Considere a função 𝑓(𝑥, 𝑦) = 4𝑥𝑦2. Determine a derivada parcial, calcule 
𝑓𝑥(−1, 2) 𝑒 𝑓𝑦(−1, 2). 
𝜕𝑓
𝜕𝑥
= 4𝑦² 
𝜕𝑓
𝜕𝑥
(−1,2) = 16 
 
𝜕𝑓
𝜕𝑦
= 8𝑥𝑦 
𝜕𝑓
𝜕𝑦
(−1,2) = −16 
 
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Profa. Me. Alessandra Azzolini 
 
5) Considere a função 𝑓(𝑥, 𝑦) = 3𝑥2𝑦. 
a) Calcule 𝑓𝑥(10, 15). 
𝜕𝑓
𝜕𝑥
= 6𝑥𝑦 
𝜕𝑓
𝜕𝑥
(10, 15) = 900 
 
b) Calcule 𝑓𝑦(10, 15). 
𝜕𝑓
𝜕𝑦
= 3𝑥² 
𝜕𝑓
𝜕𝑦
(10, 15) = 300 
 
 
Funções de Mais de Duas Variáveis 
As derivadas parciais também podem ser definidas para funções de três ou mais 
variáveis. Por exemplo, se f é uma função de três variáveis x, y e z, então sua 
derivada parcial em relação a x é definida como 
 
e é determinada pela relação de y e z como constantes e derivando f (x, y, z) em 
relação a x. 
 
 
 
 
 
 
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Profa. Me. Alessandra Azzolini 
6) Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função: 
𝒂) 𝒇(𝒙, 𝒚, 𝒛) = 𝒙𝟐𝒚 − 𝟑𝒙𝒚𝟐 + 𝟐𝒚𝒛 
𝝏𝒇
𝝏𝒙
= 𝟐𝒙𝒚 − 𝟑𝒚𝟐 
𝝏𝒇
𝝏𝒚
= 𝒙𝟐 − 𝟔𝒙𝒚 + 𝟐𝒛 
𝝏𝒇
𝝏𝒛
= 𝟐𝒚 
 
 
 
7) Calcule as derivadas parciais 𝑓𝑥 , 𝑓𝑦 𝑒 𝑓𝑧 para as seguintes funções: 
𝒂) 𝒇(𝒙, 𝒚, 𝒛) = 𝟑𝒙 + 𝟓𝒚 − 𝟔𝒛 
𝝏𝒇
𝝏𝒙
= 𝟑 
𝝏𝒇
𝝏𝒚
= 𝟓 
𝝏𝒇
𝝏𝒛
= −𝟔 
 
𝒃) 𝒇(𝒙, 𝒚, 𝒛) = 𝒆𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐
 
𝝏𝒇
𝝏𝒙
= 𝟐𝒙𝒆𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐
 
𝝏𝒇
𝝏𝒚
= 𝟐𝒚𝒆𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐
 
𝝏𝒇
𝝏𝒛
= 𝟐𝒛𝒆𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐
 
 
 
 
 
 
 
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Profa. Me. Alessandra Azzolini 
Derivadas de Ordem Mais Alta 
Se f é uma função de duas variáveis, suas derivadas parciais fx e fy são funções de duas 
variáveis, de modo que podemos considerar novamente suas derivadas parciais (fx)x, 
(fx)y, (fy)x e (fy)y, chamadas derivadas parciais de segunda ordem de f. Se z = f (x, y), 
usamos a seguinte notação: 
 
Portanto, a notação fxy (ou ∂2f / ∂y ∂x) significa que primeiro derivamos com relação a x 
e, depois em relação a y, ao passo que no cálculo de fyx a ordem é invertida. 
 
8) Calcule as derivadas parciais de segunda ordem para as funções: 
𝒂) 𝒇(𝒙, 𝒚) = 𝟐𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 
𝒇𝒙 = 𝟒𝒙 
 
𝒇𝒚 = 𝟐𝒚 
 
𝒇𝒙𝒙 = 𝟒 𝒇𝒚𝒙 = 𝟎 
 
𝒇𝒙𝒚 =0 𝒇𝒚𝒚 = 𝟐 
 
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Profa. Me. Alessandra Azzolini 
𝒃) 𝒇(𝒙, 𝒚) =
𝒙
𝒚
=> 𝒇(𝒙,𝒚) = 𝒙. 𝒚−𝟏 
𝒇𝒙 =
𝟏
𝒚
= 𝒚−𝟏 
 
𝒇𝒚 = −
𝒙
𝒚𝟐
 
 
𝒇𝒙𝒙 = 𝟎 
𝒇𝒚𝒙 = −
𝟏
𝒚𝟐
 
 
𝒇𝒙𝒚 = −
𝟏
𝒚𝟐
 𝒇𝒚𝒚 =
𝟐𝒙
𝒚𝟑
 
 
 
𝒄) 𝒇(𝒙, 𝒚) = 𝒔𝒆𝒏 (𝒙) + 𝟐 𝒄𝒐𝒔 (𝒚) 
𝒇𝒙 = 𝒄𝒐𝒔(𝒙) 
 
𝒇𝒚 = −𝟐. 𝒔𝒆𝒏(𝒚) 
 
𝒇𝒙𝒙 = −𝒔𝒆𝒏(𝒙) 𝒇𝒚𝒙 = 𝟎 
 
𝒇𝒙𝒚 =0 𝒇𝒚𝒚 = −𝟐𝒄𝒐𝒔(𝒚) 
 
 
Interpretações das Parciais Derivadas 
 
 
 
 
 
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Profa. Me. Alessandra Azzolini 
Equações Diferenciais Parciais 
As derivadas parciais ocorrem em equações diferenciais parciais que exprimem certas leis 
físicas. Por exemplo, a equação diferencial parcial 
 
 
é denominada equação de Laplace em homenagem a Pierre Laplace (1749-1827). As 
soluções dessa equação são chamadas funções harmônicas e são muito importantes no 
estudo de condução de calor, escoamento de fluidos e potencial elétrico. 
A equação de onda 
 
descreve o movimento de uma onda, que pode ser do mar, uma onda sonora, de som, 
luminosa ou se movendo em uma corda vibrante. 
 
Por exemplo, se u(x, t) representa o deslocamento da corda vibrante de violino no 
instante t e à distância x de uma extremidade da corda (como na Figura 8), então u(x, t) 
satisfaz a equação de onda. A constante a depende da densidade da corda e da tensão 
aplicada nela. 
 
 
As equações diferenciais parciais que envolvem as funções de três variáveis também são 
muito importantes na ciência e na engenharia. A equação tridimensional de Laplace é 
 
 
 
E um lugar em que ocorre é na geofísica. Se u(x, y, z) representa a força do campo 
magnético na posição (x, y, z), então ela satisfaz a Equação 5. A força do campo magnético 
indica a distribuição de minérios ricos em ferro e reflete diferentes tipos de rochas e a 
localização de falhas. 
 
 
 
 
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Profa. Me. Alessandra Azzolini 
A Regra da Cadeia 
Função Composta 
A regra da cadeia é usada para derivar uma função composta. Para funções de uma única 
variável, se y = f(x) e x = g(t), tem-se 
𝒅𝒚
𝒅𝒕
=
𝒅𝒚
𝒅𝒙
.
𝒅𝒙
𝒅𝒕
 
se ambas f e g forem deriváveis. Para funções de duas variáveis, tem-se: 
Exemplo 1 
 𝒚 = 𝒙𝟑 𝒆𝒎 𝒒𝒖𝒆 𝒙 = 𝟐𝒕𝟐 
𝒅𝒚
𝒅𝒕
=
𝒅𝒚
𝒅𝒙
.
𝒅𝒙
𝒅𝒕
 
 
𝒚 = 𝒙𝟑 𝒆𝒎 𝒒𝒖𝒆 𝒙 = 𝟐𝒕𝟐 
 
𝒅𝒚
𝒅𝒕
=
𝒅𝒚
𝒅𝒙
.
𝒅𝒙
𝒅𝒕
 
𝒅𝒚
𝒅𝒕
= 𝟑(𝟐𝒕𝟐)𝟐. 𝟒𝒕 
 
𝒅𝒚
𝒅𝒕
= 𝟑(𝟒𝒕𝟒). 𝟒𝒕 
 
𝒅𝒚
𝒅𝒕
= 𝟒𝟖𝒕𝟓 
 
 
𝒚 = 𝒙𝟑 𝒆𝒎 𝒒𝒖𝒆 𝒙 = 𝟐𝒕𝟐 
𝒚 = ( 𝟐𝒕² )𝟑 
𝒚 = 𝟖𝒕𝟔 
𝒚′ = 𝟒𝟖𝒕𝟓 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Profa. Me. Alessandra Azzolini 
Exercício 
1) O raio r de uma esfera está variando com o tempo, a uma taxa constante de 4 cm/s. Com 
que taxa está variando o volume da esfera no instante que r=3 cm? Volume da esfera 
𝑉 =
4π𝑟3
3
. 
𝑉 =
4π𝑟3
3
 𝑡𝑎𝑥𝑎 = 4
𝑐𝑚
𝑠
=> 4𝑡 = 4 
𝒅𝑽
𝒅𝒕
=
𝒅𝑽
𝒅𝒓
.
𝒅𝒓
𝒅𝒕
 
𝒅𝑽
𝒅𝒕
=
4.3π𝑟2
3
. 4 
𝒅𝑽
𝒅𝒕
= 4π𝑟2. 4 = 16 π(3)2 = 144π 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Profa. Me. Alessandra Azzolini 
Regra da Cadeia - Caso I 
Suponha que z = f(x, y) seja uma função diferenciável de x e y, em que x = g(t) e y = 
h(t) são funções diferenciáveis em t. Então z é uma função diferenciável de t e 
𝒅𝒛
𝒅𝒕
=
𝝏𝒇
𝝏𝒙
.
𝒅𝒙
𝒅𝒕
+
𝝏𝒇
𝝏𝒚
.
𝒅𝒚
𝒅𝒕
 
 
 
O primeiro caso de regra de cadeia para funções de várias variáveis, quando temos a 
função “de fora” de duas variáveis x e y, e cada uma dessas variáveis é função de uma 
única variável t, o parâmetro. 
 
Exemplo 2 
𝒛 = 𝒙𝟐𝒚 + 𝟐𝒙𝒚𝟐 {
𝒙 = 𝒙(𝒕) = 𝟐𝒕
𝒚 = 𝒚(𝒕) = 𝒕²
 produto {
𝝏𝒛
𝝏𝒙
. 𝒅𝒙
𝒅𝒕
𝝏𝒛
𝝏𝒚
. 𝒅𝒚
𝒅𝒕
 
𝒅𝒛
𝒅𝒕
=
𝝏𝒛
𝝏𝒙
.
𝒅𝒙
𝒅𝒕
+
𝝏𝒛
𝝏𝒚
.
𝒅𝒚
𝒅𝒕
 
𝒅𝒛
𝒅𝒕
= (𝟐𝒙𝒚 + 𝟐𝒚𝟐). 𝟐 + (𝒙𝟐 + 𝟒𝒙𝒚). 𝟐𝒕 
𝒅𝒛
𝒅𝒕
= 𝟒𝒙𝒚 + 𝟒𝒚𝟐 + 𝟐𝒙𝟐𝒕 + 𝟖𝒙𝒚𝒕 
𝒅𝒛
𝒅𝒕
= 𝟒(𝟐𝒕)𝒕𝟐 + 𝟒(𝒕𝟐)𝟐 + 𝟐(𝟐𝒕)𝟐𝒕 + 𝟖(𝟐𝒕)𝒕𝟐. 𝒕 
𝒅𝒛
𝒅𝒕
= 𝟖𝒕³ + 𝟒𝒕𝟒 + 𝟖𝒕³ + 𝟏𝟔𝒕𝟒 
𝒅𝒛
𝒅𝒕
= 𝟐𝟎𝒕𝟒 + 𝟏𝟔𝒕𝟑 
 
 
 
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Profa. Me. Alessandra Azzolini 
Exercício 
2) 𝑺𝒆 𝒛 = 𝒇(𝒙, 𝒚) = 𝒙𝟓𝒚𝟐 + 𝟑𝒙𝟐𝒚 + 𝟏𝟎 {
𝒙 = 𝒙(𝒕) = 𝟐𝒆𝒕 => 𝒙′(𝒕) = 𝟐𝒆𝒕
𝒚 = 𝒚(𝒕) = 𝟑 𝒍𝒏(𝒕) => 𝒚′(𝒕) =
𝟑
𝒕
 
𝑫𝒆𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒆 
𝒅𝒇
𝒅𝒕
 𝒆𝒎 𝒕𝟎 = 𝟏. 
 {
𝒙 = 𝒙(𝟏) = 𝟐𝒆
𝒚 = 𝒚(𝟏) = 𝟑
 
𝒅𝒛
𝒅𝒕
=
𝝏𝒛
𝝏𝒙
.
𝒅𝒙
𝒅𝒕
+
𝝏𝒛
𝝏𝒚
.
𝒅𝒚
𝒅𝒕
 
𝒅𝒛
𝒅𝒕
= (𝟓𝒙𝟒𝒚𝟐 + 𝟓𝒙𝒚). 𝟐𝒆 + (𝟐𝒙𝟓𝒚 + 𝟑𝒙𝟐). 𝟑 
𝒅𝒛
𝒅𝒕
= 𝟐𝒆𝟓(𝟐𝒆𝒕)
𝟒
(𝟑 𝒍𝒏(𝒕))
𝟐
+ 𝟐𝒆𝟓(𝟐𝒆𝒕). (𝟑 𝒍𝒏(𝒕)) + 𝟔(𝟐𝒆𝒕)𝟓. (𝟑 𝒍𝒏(𝒕)) + 𝟗(𝟐𝒆𝒕)
𝟐
 
𝒅𝒛
𝒅𝒕
= 𝟐𝒆𝟓(𝟐𝒆𝟏)
𝟒
(𝟑 𝒍𝒏(𝟏))
𝟐
+ 𝟐𝒆𝟓(𝟐𝒆𝟏). (𝟑 𝒍𝒏(𝟏)) + 𝟔(𝟐𝒆𝟏)𝟓. (𝟑 𝒍𝒏(𝟏)) + 𝟗(𝟐𝒆𝟏)
𝟐
 
𝒅𝒛
𝒅𝒕
= 𝟐𝒆𝟓(𝟐𝒆)𝟒(𝟑 . 𝟎 )𝟐 + 𝟐𝒆𝟓(𝟐𝒆). (𝟑 . 𝟎) + 𝟔(𝟐𝒆)𝟓. (𝟑 . 𝟎 ) + 𝟗(𝟐𝒆)𝟐 
𝒅𝒛
𝒅𝒕
= 𝟐𝒆𝟓(𝟐𝒆)𝟒(𝟎 )𝟐 + 𝟐𝒆𝟓(𝟐𝒆). (𝟎) + 𝟔(𝟐𝒆)𝟓. (𝟎 ) + 𝟗(𝟐𝒆)𝟐 
𝒅𝒛
𝒅𝒕
= 𝟗(𝟐𝒆)𝟐 
𝒅𝒛
𝒅𝒕
= 𝟗. 𝟒 𝒆𝟐 
𝒅𝒛
𝒅𝒕
= 𝟑𝟔𝒆𝟐 
 
 
 
 
 
 
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Profa. Me. Alessandra Azzolini 
 
3) Se 𝐳=𝐱𝟐𝐲 + 𝟑𝐱𝐲𝟒, onde x = sen (2t) e y = cos t, determine 
𝑑𝑧
𝑑𝑡
 
quando t=0. 
𝑆𝑒 𝑧 = 𝑥2𝑦 + 3𝑥𝑦4 {
𝑥 = 𝑥(𝑡) = 𝑠𝑒𝑛(2𝑡)
𝑦 = 𝑦(𝑡) = 𝑐𝑜𝑠(𝑡)
 => {
𝑥′(𝑡) = 2cos (2𝑡)
𝑦′(𝑡) = −𝑠𝑒𝑛(𝑡)
 
 => {
𝑥′(0) =
𝑦′(0) =
 
𝑑𝑧
𝑑𝑡
=
𝜕𝑧
𝜕𝑥
.
𝑑𝑥
𝑑𝑡
+
𝜕𝑧
𝜕𝑦
.
𝑑𝑦
𝑑𝑡
 
 
𝑑𝑧
𝑑𝑡
= ( 2𝑥𝑦 + 3𝑦4 ). 2 cos(2𝑡) + (𝑥2 + 12𝑥𝑦3). (−𝑠𝑒𝑛(𝑡)) 
 
𝑑𝑧
𝑑𝑡
= ( 2𝑥𝑦 + 3𝑦4 ). 2 cos(0) + (𝑥2 + 12𝑥𝑦3). (−𝑠𝑒𝑛(0)) 
𝑑𝑧
𝑑𝑡
= ( 2𝑥𝑦 + 3𝑦4 ). 2.1 + (𝑥2 + 12𝑥𝑦3). 0 
 
𝑑𝑧
𝑑𝑡
= ( 2𝑠𝑒𝑛(2𝑡)(cos(𝑡)) + 3(cos(𝑡))4 ). 2 
 
𝑑𝑧
𝑑𝑡
= ( 2𝑠𝑒𝑛(2.0)(cos(0)) + 3(cos(0))4 ). 2 
𝑑𝑧
𝑑𝑡
= ( 2𝑠𝑒𝑛(0)(cos(0)) + 3(cos(0))4 ). 2 
𝑑𝑧
𝑑𝑡
= ( 2.0.1) + 3(1)4 ). 2 
𝑑𝑧
𝑑𝑡
= 3.2 
𝑑𝑧
𝑑𝑡
= 6 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
19 
Profa. Me. Alessandra Azzolini 
4) A areia é derramada num monte cônico na velocidade de 11 m3 por minuto. Num dado 
instante, o monte tem 3 m de raio e 5 m de altura. Qual a taxa de aumento da altura 
nesse instante, se o raio aumenta na velocidade de 0,01 metros por minuto? Volume do 
cone 𝑉 =
π𝑟2ℎ
3
. 
 
 
𝑉 =
π𝑟2ℎ
3
; 𝑟 = 0,01𝑚/𝑚 
 
𝑑𝑉
𝑑𝑡
=
𝜕𝑉
𝜕𝑟
.
𝑑𝑟
𝑑𝑡
+
𝜕𝑉
𝜕ℎ
.
𝑑ℎ
𝑑𝑡
 
 
11 =
2π𝑟ℎ
3
. 0,01 +
π𝑟2
3
.
𝒅𝒉
𝒅𝒕
 
 
11 −
π𝑟
2
3
.
𝑑ℎ
𝑑𝑡
=
2π𝑟ℎ
3
. 0,01 
 
11 −
π. 32
3
.
𝑑ℎ
𝑑𝑡
=
2π. 3.5
3
. 0,01 
 
11 −
9π
3
.
𝑑ℎ
𝑑𝑡
=
30π
3
. 0,01 
11 − 3π.
𝑑ℎ
𝑑𝑡
= 10π. 0,01 
𝑑ℎ
𝑑𝑡
= 10π. 0,01 − 11 
 
𝑑ℎ
𝑑𝑡
=
10π. 0,01 − 11
−3π
 
 
𝑑ℎ
𝑑𝑡
= 1,13𝑚/𝑚 
 
 
𝑑ℎ
𝑑𝑡
=
11 − 10π. 0,01
3π
 
 
 
 
 
 
 
 
 
20 
Profa. Me. Alessandra Azzolini 
Regra da Cadeia - Caso II 
Suponha que 𝑧 = 𝒇(𝒙, 𝒚) seja uma função diferenciável de 𝑥 𝑒 𝑦, em que 𝒙 = 𝒈(𝒔, 𝒕) 𝑒 𝑦 =
𝒉(𝒔, 𝒕) são funções diferenciáveis de 𝑠 𝑒 𝑡. Então, 
𝒅𝒛
𝒅𝒕
=
𝝏𝒛
𝝏𝒙
.
𝒅𝒙
𝒅𝒕
+
𝝏𝒛
𝝏𝒚
.
𝒅𝒚
𝒅𝒕
 
 
𝒅𝒛
𝒅𝒔
=
𝝏𝒛
𝝏𝒙
.
𝒅𝒙
𝒅𝒔
+
𝝏𝒛
𝝏𝒚
.
𝒅𝒚
𝒅𝒔
 
São as derivadas parciais de z com respeito a t e s, respectivamente. 
 
Exemplo 3 
Se 𝑧 = 𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛 𝑦 , em que 𝑥 = 𝑠𝑡2𝑒 𝑦 = 𝑠2𝑡, determine 
𝜕𝑧
𝜕𝑡
 𝑒 
𝜕𝑧
𝜕𝑠
. 
𝒅𝒛
𝒅𝒕
=
𝝏𝒛
𝝏𝒙
.
𝒅𝒙
𝒅𝒕
+
𝝏𝒛
𝝏𝒚
.
𝒅𝒚
𝒅𝒕
 
𝒅𝒛
𝒅𝒕
= 𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛 𝑦 .2𝑠𝑡 + 𝑒𝑥𝑐𝑜𝑠 𝑦 . 𝑠² 
𝒅𝒛
𝒅𝒕
= 𝑒𝑠𝑡²𝑠𝑒𝑛 (𝑠2𝑡) .2𝑠𝑡 + 𝑒𝑠𝑡2
𝑐𝑜𝑠 (𝑠2𝑡) . 𝑠² 
𝒅𝒛
𝒅𝒕
= 2𝑠𝑡𝑒𝑠𝑡²𝑠𝑒𝑛 (𝑠2𝑡) + 𝑠²𝑒𝑠𝑡2
𝑐𝑜𝑠 (𝑠2𝑡) 
 
𝒅𝒛
𝒅𝒔
=
𝝏𝒛
𝝏𝒙
.
𝒅𝒙
𝒅𝒔
+
𝝏𝒛
𝝏𝒚
.
𝒅𝒚
𝒅𝒔
 
𝒅𝒛
𝒅𝒔
= 𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛 𝑦. 𝑡2 + 𝑒𝑥𝑐𝑜𝑠 𝑦 .2𝑠𝑡 
𝒅𝒛
𝒅𝒔
= 𝑒𝑠𝑡²𝑠𝑒𝑛 (𝑠2𝑡). 𝑡2 + 𝑒𝑠𝑡²𝑐𝑜𝑠 (𝑠2𝑡) .2𝑠𝑡 
𝒅𝒛
𝒅𝒔
= 𝑒𝑠𝑡²𝑠𝑒𝑛 (𝑠2𝑡). 𝑡2 + 𝑒𝑠𝑡²𝑐𝑜𝑠 (𝑠2𝑡) .2𝑠𝑡 
 
 
 
 
21 
Profa. Me. Alessandra Azzolini 
 
Regra da Cadeia - Caso Geral 
No caso mais geral, a variável dependente u é dada por 
 
em que cada variável intermediáriaxj é uma função de m variáveis independentes 
t1, . . . , tm. 
 
Se u e cada xj , j = 1, . . . , n, são funções diferenciáveis, então a derivada parcial de u 
com respeito à uma variável independente ti , para i ∈ {1, . . . , m}, 
 
Exemplo 3 
Escreva a regra da cadeia para o caso em que 𝑤 = 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡), 
𝑐𝑜𝑚 𝑥 = 𝑥(𝑢, 𝑣, 𝑎), 𝑦 = 𝑦(𝑢, 𝑣, 𝑎), 𝑧 = 𝑧(𝑢, 𝑣, 𝑎)𝑒 𝑡 = 𝑡(𝑢, 𝑣, 𝑎). 
 
 
Exercício 
5) Se 𝒖 = 𝒙𝟒𝒚 + 𝒚𝟐𝒛𝟑, 𝑥 = 𝑟𝑠𝑒𝑡, 𝑦 = 𝑟𝑠2𝑒−𝑡 𝑒 𝑧 = 𝑟2𝑠. 𝑠𝑒𝑛 𝑡, determine o valor de 
𝜕𝑢
𝜕𝑠
 quando 𝑟 = 2, 𝑠 = 1 𝑒 𝑡 = 0. 
𝑥 = 𝑟𝑠𝑒𝑡 => 𝑥 = 2.1. 𝑒0 = 2 
𝑦 = 𝑟𝑠2𝑒−𝑡 => 2. 12𝑒−0 = 2 
𝑧 = 𝑟2𝑠. 𝑠𝑒𝑛 𝑡 => 22. 1. 𝑠𝑒𝑛 0 = 0 
𝜕𝑢
𝜕𝑠
=
𝝏𝒖
𝝏𝒙
.
𝒅𝒙
𝒅𝒔
+
𝝏𝒖
𝝏𝒚
.
𝒅𝒚
𝒅𝒔
+
𝝏𝒖
𝝏𝒛
.
𝒅𝒛
𝒅𝒔
 
𝜕𝑢
𝜕𝑠
= 𝟒𝒙³𝒚. 𝑟𝑒𝑡 + (𝒙𝟒 + 𝟐𝒚𝒛𝟑).2𝑟𝑠𝑒−𝑡 + 𝟑𝒚²𝒛². 𝑟² 𝑠𝑒𝑛 𝑡 
𝜕𝑢
𝜕𝑠
= 𝟒(2)3𝟐. 2𝑒0 + (𝟐𝟒 + 𝟐. 𝟐. 𝟎𝟑).2.2.1. 𝑒−0 + 𝟑. 𝟐2𝟎2. 22
𝑠𝑒𝑛 0 
𝜕𝑢
𝜕𝑠
= 𝟒(2)3𝟐. 2.1 + (𝟐𝟒 + 𝟐. 𝟐. 𝟎𝟑).2.2.1.1 + 𝟑. 𝟐2𝟎2. 22
. 0 
𝜕𝑢
𝜕𝑠
= 𝟏𝟐𝟖 + 𝟔𝟒 = 𝟏𝟗𝟐 
 
22 
Profa. Me. Alessandra Azzolini 
 
6) O raio de cone circular reto aumenta a uma taxa de 4,6 cm/s enquanto sua 
altura decresce à taxa 6,5 cm/s. Qual a taxa de variação do volume do cone 
quando seu raio é de 300 cm e a altura 350 cm? Volume do cone 𝑉 =
π𝑟2ℎ
3
. 
 
𝑉 =
π𝑟2ℎ
3
 𝑟 = 4,6
𝑐𝑚
𝑠
 ℎ = −6,5𝑐𝑚/𝑠 
 
 
𝜕𝑉
𝜕𝑡
=
𝝏𝑽
𝝏𝒓
.
𝒅𝒓
𝒅𝒕
+
𝝏𝑽
𝝏𝒉
.
𝒅𝒉
𝒅𝒕
 
 
𝜕𝑉
𝜕𝑡
=
2πrℎ
3
. 𝟒, 𝟔 +
π𝑟2
3
. (−𝟔, 𝟓) 
 
𝜕𝑉
𝜕𝑡
=
2π. 300.350
3
. 𝟒, 𝟔 +
π(300)2
3
. (−𝟔, 𝟓) 
𝜕𝑉
𝜕𝑡
= 70.000π. 𝟒, 𝟔 − 30.000π. (𝟔, 𝟓) 
 
𝜕𝑉
𝜕𝑡
= 322.000π. −195.000π 
𝜕𝑉
𝜕𝑡
= 127.000π 𝑐𝑚2/𝑠 
 
𝜕𝑉
𝜕𝑡
= 398.982,27 𝑐𝑚2/𝑠 
 
 
 
23 
Profa. Me. Alessandra Azzolini 
 
 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
STEWART, James. Cálculo, volume I. 5ª edição. São Paulo - SP: Pioneira Thomson 
Learning, 2006. 
 
GUIDORIZZI, Hamilton L. Um Curso de Cálculo: Volume 1. Rio de Janeiro: Editora 
LTC, 2001. 
Disponível em http://www.lapolli.pro.br/escolas/unicid/CalDifIntII/teoria/3_3-
VolSolRevo.pdf acesso em 20 de março de 2020. 
 
http://www.lapolli.pro.br/escolas/unicid/CalDifIntII/teoria/3_3-VolSolRevo.pdf
http://www.lapolli.pro.br/escolas/unicid/CalDifIntII/teoria/3_3-VolSolRevo.pdf