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### 28. Calcule a integral \( \int_1^2 \frac{1}{x^2} \, dx \). 
a) \( 1 \) 
b) \( \frac{1}{2} \) 
c) \( \frac{1}{3} \) 
d) \( \frac{1}{4} \) 
**Resposta:** a) \( 1 \) 
**Explicação:** A integral é: 
\[ 
\int_1^2 \frac{1}{x^2} \, dx = \left[ -\frac{1}{x} \right]_1^2 = -\frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2}. 
\] 
 
### 29. Encontre a série de Taylor para \( f(x) = \cos(x) \) em torno de \( x = 0 \). 
a) \( 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} - \ldots \) 
b) \( 1 + \frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{24} + \ldots \) 
c) \( 1 - x + \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{6} + \ldots \) 
d) \( 1 - x^2 + \frac{x^4}{4} - \ldots \) 
**Resposta:** a) \( 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} - \ldots \) 
**Explicação:** A série de Taylor é dada por: 
\[ 
f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}. 
\] 
 
### 30. Calcule a integral \( \int x e^{x^2} \, dx \). 
a) \( \frac{1}{2} e^{x^2} + C \) 
b) \( e^{x^2} + C \) 
c) \( \frac{1}{2} e^{2x} + C \) 
d) \( \frac{1}{3} e^{x^2} + C \) 
**Resposta:** a) \( \frac{1}{2} e^{x^2} + C \) 
**Explicação:** Usando a substituição \( u = x^2 \), temos \( du = 2x \, dx \). Assim, a 
integral se torna: 
\[ 
\int e^u \frac{du}{2} = \frac{1}{2} e^{x^2} + C. 
\] 
 
### 31. Determine o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{x} \). 
a) 0 
b) 1 
c) 3 
d) Não existe 
**Resposta:** c) 3 
**Explicação:** Usando a regra de L'Hôpital, temos: 
\[ 
\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{3 \cos(3x)}{1} = 3 \cos(0) = 3. 
\] 
 
### 32. Calcule a integral \( \int (3x^2 + 4x + 1) \, dx \). 
a) \( x^3 + 2x^2 + x + C \) 
b) \( x^3 + 2x^2 + C \) 
c) \( x^3 + 4x + C \) 
d) \( x^3 + 4x^2 + C \) 
**Resposta:** a) \( x^3 + 2x^2 + x + C \) 
**Explicação:** A integral é: 
\[ 
\int (3x^2 + 4x + 1) \, dx = x^3 + 2x^2 + x + C. 
\] 
 
### 33. Encontre a solução da equação diferencial \( y' + 2y = e^{-x} \). 
a) \( y = Ce^{-2x} + \frac{1}{3} e^{-x} \) 
b) \( y = Ce^{-2x} + e^{-x} \) 
c) \( y = Ce^{-2x} + 2e^{-x} \) 
d) \( y = Ce^{-2x} + \frac{1}{2} e^{-x} \) 
**Resposta:** a) \( y = Ce^{-2x} + \frac{1}{3} e^{-x} \) 
**Explicação:** A equação é linear e pode ser resolvida usando o fator integrante. A 
solução geral é: 
\[ 
y = Ce^{-2x} + \frac{1}{3} e^{-x}. 
\] 
 
### 34. Calcule a integral \( \int_0^1 (x^4 + 2x^2) \, dx \). 
a) \( \frac{1}{5} \) 
b) \( \frac{2}{5} \) 
c) \( \frac{1}{3} \) 
d) \( \frac{1}{6} \) 
**Resposta:** b) \( \frac{2}{5} \) 
**Explicação:** A integral é: 
\[ 
\int_0^1 (x^4 + 2x^2) \, dx = \left[ \frac{x^5}{5} + \frac{2x^3}{3} \right]_0^1 = \frac{1}{5} + 
\frac{2}{3} = \frac{2}{5}. 
\] 
 
### 35. Determine o limite \( \lim_{x \to \infty} \frac{2x^2 + 3x + 1}{4x^2 + 5} \). 
a) 0 
b) 1 
c) \( \frac{1}{2} \) 
d) \( \frac{2}{4} \) 
**Resposta:** c) \( \frac{1}{2} \) 
**Explicação:** Dividindo todos os termos pelo maior grau de \( x^2 \): 
\[ 
\lim_{x \to \infty} \frac{2 + \frac{3}{x} + \frac{1}{x^2}}{4 + \frac{5}{x^2}} = \frac{2}{4} = 
\frac{1}{2}. 
\] 
 
### 36. Calcule a integral \( \int_0^1 (1 - x^4)^{1/2} \, dx \).