1RUM provas 1RUM

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b) \( \frac{1}{2} \) 
 c) \( \frac{5}{12} \) 
 d) \( \frac{7}{12} \) 
 **Resposta:** d) \( \frac{7}{12} \) 
 **Explicação:** A integral é \( \left[ \frac{x^4}{4} + \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} 
\right]_{0}^{1} = \left( \frac{1}{4} + \frac{1}{3} + \frac{1}{2} \right) = \frac{7}{12} \). 
 
67. **Problema 67:** Calcule o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{x} \). 
 a) \( 2 \) 
 b) \( 1 \) 
 c) \( 0 \) 
 d) \( \infty \) 
 **Resposta:** a) \( 2 \) 
 **Explicação:** Usando a regra de L'Hôpital, obtemos \( \lim_{x \to 0} \frac{2\cos(2x)}{1} 
= 2 \). 
 
68. **Problema 68:** Encontre a integral \( \int (3x^2 - 4x + 1) \, dx \). 
 a) \( x^3 - 2x^2 + x + C \) 
 b) \( x^3 - 2x^2 + 2x + C \) 
 c) \( x^3 - 2x^2 + 3x + C \) 
 d) \( x^3 - 2x^2 + 4x + C \) 
 **Resposta:** a) \( x^3 - 2x^2 + x + C \) 
 **Explicação:** A integral é \( \left[ x^3 - 2x^2 + x \right] + C \). 
 
69. **Problema 69:** Calcule a derivada de \( f(x) = \ln(x^2 + 1) \). 
 a) \( \frac{2x}{x^2 + 1} \) 
 b) \( \frac{1}{x^2 + 1} \) 
 c) \( \frac{1}{2(x^2 + 1)} \) 
 d) \( \frac{2}{x^2 + 1} \) 
 **Resposta:** a) \( \frac{2x}{x^2 + 1} \) 
 **Explicação:** Usando a regra da cadeia, temos \( f'(x) = \frac{2x}{x^2 + 1} \). 
 
70. **Problema 70:** Determine o valor de \( \int_{0}^{1} (2x^2 + 3) \, dx \). 
 a) \( 1 \) 
 b) \( 2 \) 
 c) \( 3 \) 
 d) \( 4 \) 
 **Resposta:** d) \( 4 \) 
 **Explicação:** A integral é \( \left[ \frac{2}{3} x^3 + 3x \right]_{0}^{1} = \left( \frac{2}{3} + 
3 \right) = \frac{11}{3} \). 
 
71. **Problema 71:** Calcule \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(3x)}{x} \). 
 a) \( 3 \) 
 b) \( 1 \) 
 c) \( 0 \) 
 d) \( \infty \) 
 **Resposta:** a) \( 3 \) 
 **Explicação:** Usando a regra de L'Hôpital, obtemos \( \lim_{x \to 0} 
\frac{3\sec^2(3x)}{1} = 3 \). 
 
72. **Problema 72:** Encontre a integral \( \int e^{-x} \, dx \). 
 a) \( -e^{-x} + C \) 
 b) \( e^{-x} + C \) 
 c) \( -\frac{1}{2} e^{-x} + C \) 
 d) \( \frac{1}{2} e^{-x} + C \) 
 **Resposta:** a) \( -e^{-x} + C \) 
 **Explicação:** A integral é \( -e^{-x} + C \). 
 
73. **Problema 73:** Determine a derivada de \( f(x) = \sin(x^2) \). 
 a) \( 2x \cos(x^2) \) 
 b) \( \cos(x^2) \) 
 c) \( 2 \sin(x^2) \) 
 d) \( -2x \sin(x^2) \) 
 **Resposta:** a) \( 2x \cos(x^2) \) 
 **Explicação:** Usando a regra da cadeia, temos \( f'(x) = \cos(x^2) \cdot 2x = 2x 
\cos(x^2) \). 
 
74. **Problema 74:** Calcule o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(5x)}{x} \). 
 a) \( 5 \) 
 b) \( 1 \) 
 c) \( 0 \) 
 d) \( \infty \) 
 **Resposta:** a) \( 5 \) 
 **Explicação:** Usando a regra de L'Hôpital, obtemos \( \lim_{x \to 0} \frac{5\cos(5x)}{1} 
= 5 \). 
 
75. **Problema 75:** Encontre a integral \( \int x e^{x^2} \, dx \). 
 a) \( \frac{1}{2} e^{x^2} + C \) 
 b) \( e^{x^2} + C \) 
 c) \( \frac{1}{3} e^{x^2} + C \) 
 d) \( \frac{1}{4} e^{x^2} + C \) 
 **Resposta:** a) \( \frac{1}{2} e^{x^2} + C \) 
 **Explicação:** Usando a substituição \( u = x^2 \), \( du = 2x \, dx \), a integral se torna \( 
\frac{1}{2} e^{u} + C = \frac{1}{2} e^{x^2} + C \). 
 
76. **Problema 76:** Calcule a derivada de \( f(x) = \cos(x^3) \). 
 a) \( -3x^2 \sin(x^3) \) 
 b) \( -\sin(x^3) \) 
 c) \( 3x^2 \cos(x^3) \) 
 d) \( -3x^3 \sin(x^3) \) 
 **Resposta:** a) \( -3x^2 \sin(x^3) \) 
 **Explicação:** Usando a regra da cadeia, temos \( f'(x) = -\sin(x^3) \cdot 3x^2 = -3x^2 
\sin(x^3) \). 
 
77. **Problema 77:** Determine o valor de \( \int_{0}^{1} (x^2 + 4) \, dx \). 
 a) \( \frac{5}{3} \)