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INTRODUÇÃO
Olá, estudante! Nesta unidade abordaremos um dos conceitos mais relevantes da Matemática, as
Transformações Lineares.
As transformações lineares são funções de�nidas em espaços vetoriais que preservam as operações de soma
de vetores e multiplicação de vetores por escalares.  Tal característica determina propriedades e resultados
notáveis que são utilizados em praticamente todas as áreas da Matemática.
A aula contribuirá para o reconhecimento e veri�cação desse tipo de função, a análise de suas principais
propriedades e especi�cidades relacionadas ao contexto do espaço vetorial.
O conhecimento dos temas abordados nesta aula lhe auxiliará na compreensão de muitos resultados que
estudará pela frente, ou que já tenha estudado, uma vez que o tema não se restringe somente à Álgebra,
assim, entendendo a teoria, terá uma boa compreensão de um problema modelado matematicamente.
Boa leitura.
Aula 1
TRANSFORMAÇÃO LINEAR
Olá, estudante! Nesta unidade abordaremos um dos conceitos mais relevantes da Matemática, as
Transformações Lineares.
21 minutos
TRANSFORMAÇÕES LINEARES
 Aula 1 - Transformação linear
 Aula 2 - Núcleo e imagem de transformações
 Aula 3 - Matriz de uma transformação linear
 Aula 4 - Autovalores, autovetores e diagonalização de matrizes
 Aula 5 - Revisão da unidade
 Referências
121 minutos
DEFINIÇÃO E PROPRIEDADES DE TRANSFORMAÇÕES LINEARES
O estudo das transformações lineares envolve os conceitos de funções, espaços vetoriais e linearidade. 
As transformações lineares se referem a um conjunto de funções cujos domínios e contradomínios são
espaços vetoriais e, além disso, preservam as operações de adição e multiplicação de vetores por escalares. 
Estudaremos nesta unidade as transformações lineares sobre espaços vetoriais reais, suas propriedades e
principais resultados. 
Basearemos as de�nições, propriedades e resultados nos teórios Anton (2012), Boldrini (1986), Cervelin (2018)
e Lima (2016). As provas de resultados serão omitidas e poderão ser consultadas nas mesmas referências.    
Iniciamos com a de�nição formal de transformação linear.
De�nição 1: Sejam U e V espaços vetoriais reais. Uma função T:U→V é denominada uma transformação linear
se T satis�zer as seguintes propriedades, 
T(u+v)=T(u)+T(v), para quaisquer u,v ∈U.
T(λu)=λT(u), para quaisquer u ∈U e λ∈R.
Observação: As propriedades 1. e 2. podem ser reescritas na forma de apenas uma propriedade como: 
T(u+λv)=T(u)+λT(v), para quaisquer u,v,∈U e λ∈ R.
Uma outra consequência da De�nição 1é que uma transformação linear associa o vetor nulo do domínio U ao
vetor nulo do contradomínio V. Veja uma demonstração em (LIMA, 2016). 
Considere o exemplo introdutório a seguir sobre uma transformação linear com domínio no espaço
euclidiano R e contradomínio igual a R.  
Exemplo: Seja T:R →R dada por f(x,y)=2x-y . Para veri�car a De�nição 1, é necessário considerar vetores
genéricos quaisquer. 
No caso de vetores u,v ∈R  , representa-se u=(x ,y ) e v=(x ,y ). Basta então analisar se a de�nição é satisfeita
para a função T. Utilizaremos a versão 1’ da Observação 4.2. Tem-se: 
T(u+λv)=T((x ,y )+λ(x ,y ))=T((x +λx ,y +λy ))
=2(x +λx )-(y +λy )=(2x -y )+(2λx -λy )
=(2x -y )+λ(2x -y )=T((x ,y ))+λ T((x ,y ))
=T(u)+λT(v).
Portanto, T é uma transformação linear. Observe que T(0,0)=2⋅0-0=0. 
Seja T:U→V uma transformação Linear, se o contradomínio V=U, T é denominada um operador Linear e se
V=R, T é denominada um funcional linear. 
Exemplo: A transformação linear T:R →R dada por T(x,y)=2x-y é um funcional linear e a transformação linear
T:R →R  dada por f(x,y)=(x,3y) é um operador linear. 
Teorema 1: Seja T:U→V uma transformação linear e B={u ,u ,…,u } uma base de U. T é completamente
determinada, se conhecidos T(u ),T(u ),…,T(u ). 
2
2
2
1 1 2 2
1 1 2 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 1 2 2
1 1 2 2 1 1 2 2
2
2 2
1 2 n
1 2 n
Uma abordagem do Teorema 1 pode ser consultada em (ANTON, 2012). Para exempli�cá-lo e facilitar a
compreensão do leitor, utilizamos no exemplo a seguir uma base canônica, no entanto, o resultado é válido
para qualquer base. 
Exemplo: Considere o funcional linear dos exemplos anteriores, T(x,y)=2x-y. Note que B={(1,0),(0,1)} é a base
canônica de R e tem-se T(1,0)=2 e T(0,1)=-1. Logo,
T(x,y)=T(x(1,0)+y(0,1))=xT(1,0)+yT(0,1)=2x-y.  
O Teorema 1 fornece uma informação particular de transformações lineares, observe que as demais funções
não lineares não satisfazem esse resultado. Observe, também, que o resultado é proveniente tanto da
de�nição de transformação linear, quanto da de�nição de espaços vetoriais. 
2
ESPAÇO DAS TRANSFORMAÇÕES LINEARES E INVERSAS DE TRANSFORMAÇÕES
O conjunto de todas as transformações lineares T:U→V de�nidas com mesmo domínio e contradomínio é
denotado por L(U,V) e fornecem um resultado muito relevante para aplicações da Álgebra Linear, como é o
caso da relação biunívoca entre transformações lineares e matrizes, o que permite a representação de
transformações lineares na forma de matrizes. 
Quando uma transformação linear tem domínio U e contradomínio V, escreve-se T ∈L(U,V). (CERVELIN, 2018). 
Considere as seguintes operações de adição e multiplicação por escalar sobre L(U,V):
A operação de adição de transformações lineares, dada por (T+S):U→V e de�nida como (T+S)(u)=T(u)+S(u).
A operação de multiplicação de escalar por uma transformação linear, dada por (λT):U→V e de�nida
como (λT)(u)=λT(u).
As operações de adição de transformações e multiplicação de escalar por transformação linear permitem
enunciar o seguinte teorema. 
Teorema 2: O conjunto L(U,V) munido das operações de adição de transformações e multiplicação de
transformação por escalar é um espaço vetorial. 
Observação: Denota-se L(U) para o espaço vetorial dos operadores lineares no espaço vetorial U. O espaço
vetorial dos funcionais lineares por L(U,R), o qual denomina-se o Espaço Dual de U. 
Teorema 3: Sejam n e m as dimensões dos espaços vetoriais U e V, respectivamente. A dimensão do espaço
vetorial L(U,V) é n⋅m. 
A prova do Teorema 3 baseia-se na de�nição das transformações que compõem uma base de L(U,V) que será
omitida. Considerando os vetores de duas bases �xadas B={u ,u ,…,u }⊂U e C={v ,v ,…,v }⊂V, as funções que
compõem uma base de L(U,V) são dadas por: 
T (u)=T (x u +x u +⋯+x u )=x  v .
De�nição 2: Dados os espaços vetoriais U, V e W. Se T ∈ L(U,V) e S ∈ L(V,W) , de�nimos uma composição
SoT:U→W como SoT(u)=S(T(u)). 
Exemplo: Sejam T ∈ L(R,R²) dada por T(x)=(2x,x) e S ∈ L(R²,R³) dada por S(x,y)=(x,2y,x+y). A composição
SoT:R→R³ é de�nida como SoT(x)=S(T(x))=S(2x,x)=(2x,2x,3x). 
Teorema 4: A composição de duas transformações lineares é uma transformação linear. 
Assim como as demais funções, dada uma transformação linear T, a existência da inversa de T está
condicionada à função T ser bijetora, isto é, é necessário que T seja injetora e sobrejetora para que T admita
inversa.
De�nição 3: Dada T ∈L(U,V), a transformação inversa de T é uma transformação T ∈ L(V,U), tal que:
ToT  ∈ L(V) e é dada por ToT  (v)=v (Transformação identidade em V).
T  oT ∈ L(U) e é dada por T  oT (u)=u (Transformação identidade em U).
Exemplo: Seja T ∈L(R ,R ) dada por T(x,y)=(x+y,y), a transformação inversa T  ∈L(R ,R ) é dada por T(x,y)=(x-
y,y), de fato:
1 2 n 1 2 n
ij ij 1 1 2 2 n n i j
-1
-1 -1
-1 -1
2 2 -1 2 2
ToT (x,y)=T(T (x,y))=T(x-y,y)=(x,y).
T oT(x,y)=T (T(x,y))=T (x+y,y)=(x,y)
Observa-se que a transformação linear inversa de T ∈L(U,V) é ainda uma transformação linear, ou seja, T
∈L(V,U). 
O processo para se obter a transformação inversa de uma transformação linear pode ser facilitado através da
introdução do conceito de matriz de transformação linear, o qual será feito na Aula 15. 
APLICAÇÕES E EXEMPLOS
As transformações lineares estão presentes praticamente em todas as áreas da matemática. Apresentamos a
seguir alguns exemplos clássicos de funções que são lineares e funções que não são. 
Dentro do campo dastransformações lineares, o processo de integração apresenta diversas aplicações
práticas como o cálculo de áreas, volumes e massa, além de momentos de inércia e aplicações com
transformadas integrais para a resolução de problemas que envolvem sistemas elétricos, mecânicos e ópticos.
Dessa forma, os problemas que envolvem integração admitem a linearidade na tratativa das integrais, o que
facilita as aplicações e cálculos em geral. 
Exemplo: A integral é uma transformação linear T do conjunto das funções contínuas em um intervalo [a,b]
(denotadas por C[a,b]) na reta, ou seja, a integração é uma transformação linear T ∈L(C[a,b],R) dada por:
De fato, 
Ainda, no campo das aplicações que envolvem a área do Cálculo, a linearidade das derivadas é um caso
propício na obtenção de problemas que envolvem taxas de variação, cálculo de máximos e mínimos,
concavidades e esboço de grá�cos em geral.
Exemplo: A derivação é uma transformação linear do espaço das funções contínuas reais no espaço das
funções reais (denotado por F(R,R) ). Isto é  T ∈ L(C[R,R],F(R,R)) e é dada por T(f)=f' . De fato, T(f+λg)=
(f+λg)'=f'+λg'=T(f)+λT(g). 
A Álgebra Matricial é um grande ramo da Álgebra Linear, cujas aplicações são diversas. Em destaque, citamos
as aplicações das matrizes na Álgebra Computacional, primordial para a otimização e armazenamento de
dados, tão importantes nos dias atuais. 
Exemplo: Seja A uma matriz pertencente ao espaço vetorial das matrizes quadradas de entradas reais e de
uma mesma dimensão n (denotado por M (R)), a transformação linear T ∈L(M (R)) dada por T(X)=AX é linear.
De fato,
T(A+λB)=(A+λB)X=AX+λBX=T(A)+λT(B) .
Destacamos também exemplos de transformações conhecidas que não são lineares. 
Exemplo: A função T ∈ F(R,R) dada por f(x)=x² é não linear. De fato, T(x+y)=(x+y)² e T(u)+T(v)= x²+y²⇒
T(u+v)≠T(u)+T(v), logo a condição 1. da De�nição 1 não é válida. 
-1 -1
-1 -1 -1
-
1
T (f) = ∫
b
a
f(x)dx
T (f + λg) = ∫
b
a
f(x) + λg(x)dx =   ∫ b
a
f(x)dx + λ ∫
b
a
g(x)dx = T (f) + λT(g)
n n
Exemplo: A função T ∈F(R,R) dada por f(x)=2x+2 é não linear. De fato, T(0)=2.0+2=2≠0, logo T(0) ≠ 0 e T é não
linear. 
Exemplo: A função T ∈F(R,R) dada por f(x)=3 é não linear. De fato, T(λx)=3 =(3 )  e T(λx)= λ(3 ) ⇒T(λx)≠λT(x),
logo a condição 2. da De�nição 1 não é válida. 
Para analisar a existência de uma transformação linear inversa, deve-se veri�car se a transformação linear
dada é bijetora, assim como no caso das funções gerais. 
Exemplo: A transformação linear T:R  →R dada por T(x,y,z)=3 z-x+y não admite transformação linear inversa
porque não é bijetora. A transformação T é linear e sobrejetora, mas não é injetora. De fato, qualquer vetor na
forma (x,x-3 z,z),x,z ∈R tem imagem nula, ou seja, vetores distintos estão associados a uma mesma imagem. 
Exemplo: A transformação linear T:R  →R dada por T(x,y,z)=(3 z,-x,y) é linear e bijetora, portanto, admite uma
transformação inversa T dada por . De fato,  
1. 
2. 
Observe que T  também é uma transformação linear.
VIDEO RESUMO
Olá, estudante! 
Os temas da área de Álgebra Linear, como é o caso das Transformações Lineares, podem parecer complexos à
primeira vista, mas após uma análise de exemplos e comparação com os resultados, a tendência é que os
conceitos se esclareçam. Acesse o vídeo no qual falamos um pouco mais sobre a de�nição de transformações
lineares, propriedades e resultados, assim como aprofundamos os exemplos apresentados. 
 Saiba mais
As transformações lineares são um conjunto de funções com características especí�cas e de grande
importância na matemática, que estão presentes em praticamente todas as suas áreas. 
Para complementar e aprofundar seus estudos, acesse a referência indicada que aborda as
transformações lineares através de uma linguagem simpli�cada e direta. Ela também traz exemplos de
cada um dos tópicos mencionados.
PULINO, P. Transformações lineares. In:  Álgebra linear e suas aplicações: notas de aula. Campinas:
Unicamp – Departamento de Matemática Aplicada – Instituto de Matemática, Estatística e Computação
Cientí�ca, 2012. Cap. 4. p. 220-253.
x λx x λ x
3
3 3
-1 T −1(x, y, z) = (−y,  z, 1
3 x)
ToT −1(x, y, z) = T(T −1(x, y, z)) = T((−y,  z, 1
3 x))
= (3 ⋅ ( 1
3 x),   − (−y), z) = (x,  y, z).
T −1oT(x, y) = T −1(T(x, y, z)) = T −1(3 z, −x,  y) = (−(−x),  y,   1
3 ⋅ (3z)) = (x, y, z).
-1
Aula 2
https://www.ime.unicamp.br/~pulino/ALESA/Texto/
INTRODUÇÃO
Olá, estudante! Nesta aula daremos continuidade às principais propriedades de transformações lineares.
Destacaremos as de�nições de núcleo e imagem de transformações lineares.
Comparando as transformações lineares com as demais funções, a imagem de uma transformação linear tem
a mesma conceituação de imagem de uma função qualquer, enquantoo núcleo de uma transformação linear
pode ser comparado ao conjunto das raízes de uma função qualquer.
No entanto, as propriedades tanto dos espaços vetoriais, quanto das transformações lineares caracterizam
propriedades diferenciadas das demais funções.
A aula envolverá a compreensão das implicações das propriedades do núcleo e imagem de transformações
lineares sobre as dimensões dos espaços vetoriais envolvidos, assim como propriedades de injetividade e
bijetividade de transformações lineares.
Os conceitos e notações introduzidos nesta aula são fundamentais para a compreensão de ferramentas para
aplicações como é o caso do cálculo de autovalores e autovetores, primordiais na resolução de sistemas de
equações diferenciais ordinárias que modelam problemas práticos que envolvem taxas de variações. 
DEFINIÇÃO E PROPRIEDADES DE NÚCLEOS E IMAGENS DE TRANSFORMAÇÕES LINEARES
Embora as transformações lineares sejam funções, elas admitem particularidades em propriedades que são
especí�cas devido às caracterizações da de�nição dessas funções. 
No caso de transformações lineares, o conjunto de elementos cuja imagem é nula acarreta propriedades
sobre a injetividade da transformação e sobre as dimensões dos espaços e subespaços vetoriais de de�nição
das transformações. 
Estudaremos nesta aula os subespaços vetoriais mais relevantes da área, que são a imagem e o núcleo de
transformações lineares. Abordaremos as principais propriedades e implicações de hipóteses sobre esses
subespaços, como é o caso do Teorema do Núcleo e Imagem. 
As de�nições, propriedades e resultados discutidos são baseadas nos autores Anton (2012), Boldrini (1986) e
Lima (2016). As provas de resultados serão omitidas e poderão ser consultadas nas mesmas referências.    
Sejam U e V espaços vetoriais reais e T ∈L(U,V). Sem perda de generalidades, os elementos neutros de U e V,
serão denotados por 0, sendo T(0)=0. 
Note que o elemento neutro de um espaço vetorial tem a mesma natureza dos demais elementos desse
espaço, por exemplo, o elemento neutro do espaço vetorial das matrizes reais 2×2, denotado por M (R), é a
matriz nula 2×2, enquanto o elemento neutro do espaço vetorial R é o par ordenado nulo (0,0). No entanto,
2
2
NÚCLEO E IMAGEM DE TRANSFORMAÇÕES
Olá, estudante! Nesta aula daremos continuidade às principais propriedades de transformações lineares.
Destacaremos as de�nições de núcleo e imagem de transformações lineares.
23 minutos
ambos são usualmente denotados por 0, sendo a distinção entre eles caracterizada pelo contexto.
O conjunto imagem de uma transformação linear T ∈L(U,V) de�ne-se da mesma forma que o conjunto
imagem de uma função qualquer, no entanto admite a propriedade de ser um subespaço vetorial de V. 
De�nição 1: Sejam U e V espaços vetoriais reais, T ∈L(U,V). De�nimos a imagem de T como Im(T)={v
∈V|v=T(u),u ∈U}. 
Em outras palavras, o conjunto imagem Im(T) é o conjunto de elementos de V que admitem uma relação pela
transformação T com os elementos de U, como apresentado na Figura 1:
Figura 1 | Ilustração do subespaço Im(T)
Fonte: elaborada pela autora.
Note que a imagem de uma transformação linear é um subespaço vetorial do contradomínio V. De fato, sejamv ,v  ∈ Im(T) e λ∈R, tem-e u ,u  ∈U, tais que v =T(u ) e v =T(u ). Observe que u +λu = u ∈U, porque U é um
espaço vetorial. Logo, 
v +λv =T(u )+λT(u )=T(u +λu )=T(u),u ∈ U, 
portanto v +λv  ∈Im(T), concluindo-se que Im(T) é um subespaço vetorial de V.  
Observe no exemplo a seguir que o conjunto imagem está contido no contradomínio, porém pode não
coincidir com todo o contradomínio, como mostra a Figura 1 e, nesse caso, a transformação linear não é
sobrejetora. 
Exemplo: Seja T ∈L(R ) dada por T(x,y)=(2x,0). Observe que a imagem de T é um subespaço vetorial do R
cujos elemento tem a segunda coordenada nula, ou seja Im(T)={(a,0)| a ∈R} ⊂R . 
Observe, ainda, que a dimensão da imagem é igual a 1, uma vez que B={(1,0)} é uma base de Im(T). Note,
também, que para qualquer elemento (a,0)∈Im(T) tem-se (a/2,y) ∈R tal que T(a/2,y)=(a,y).  
No entanto, existem elementos em R que não são imagens de nenhum elemento, como é o caso de qualquer
vetor cuja ordenada é não nula, portanto, a transformação não é injetora. 
Partiremos agora para a de�nição formal de núcleo de transformação linear.
De�nição 2: Sejam U e V espaços vetoriais reais, T ∈L(U,V). De�nimos como núcleo de T e denotamos
como N(T), o conjunto N(T)={u ∈U|T(u)=0}. 
O núcleo de uma transformação linear é o conjunto dos elementos do domínio U, cuja imagem é o elemento
neutro do contradomínio, veja a ilustração na Figura 2. 
1 2 1 2 1 1 2 2 1 2
1 2 1 2 1 2
1 2
2 2
2
2
2
Figura 2 | Ilustração do subespaço vetorial N(T)
Fonte: elaborada pela autora.
Observe que N(T) é um subespaço vetorial de U. De fato, sejam u ,u  ∈N(T) e λ∈R, tem-se
T(u +λu )=T(u )+λT(u )=0, logo u +λu  ∈N(T) e N(T) é um subespaço vetorial de U.
Veja no exemplo a seguir como o subespaço N(T) é obtido através da de�nição. 
Exemplo: Seja T ∈L(R ) dada por T(x,y)=(2x,0). Observe que pela de�nição de núcleo, deve-se obter os vetores
(x,y) ∈ R tais que T(x,y)=(0,0).  Tem-se: 
T(x,y)=(0,0) ⇒ (2x,0)=(0,0) ⇒ 2x=0 ⇒ x=0. 
Portanto, N(T) é formado pelos vetores do R cuja primeira coordenada é nula, N(T)={(0,y)| y ∈R} . Como B=
{(0,1)} é uma base para N(T), então dim(N(T))=1. 
Observe que a transformação linear do Exemplo anterior não é injetora. De fato, T(2,2)=(2,0)=T(2,0). A seguir,
obteremos essa transformação linear não é injetora apenas através da análise do N(T). 
TEOREMA DO NÚCLEO E IMAGEM
Dentre os resultados envolvendo os subespaços, núcleo e imagem de transformações lineares, destacamos
dois dos principais resultados que envolvem hipótese sobre N(T) e  propriedades de injetividade para T e o
teorema do núcleo e imagem (BOLDRINI, 1986) e (LIMA, 2016). 
Uma função é injetora quando elementos distintos do domínio estão associados a elementos distintos no
contradomínio pela função. 
Da mesma forma, dizemos que uma transformação linear T ∈L(U,V) é injetora se T(u )=T(u )⇒ u =u .  O
teorema a seguir garante a injetividade de uma transformação linear baseada em informações sobre N(T). 
Teorema 1: Sejam U e V espaços vetoriais reais, T ∈L(U,V). T é injetora, se e somente se N(T)={0}. 
O Teorema 4.26 pode facilitar a análise da injetividade para casos de transformações lineares mais complexas.
Veja o exemplo a seguir. 
Exemplo: Seja T ∈L(R ) dada por T(x,y,z)=(3x,y+x,3z). Observe que pela de�nição de núcleo, deve-se obter os
vetores (x,y,z) ∈ R tais que T(x,y,z)=(0,0,0).  Tem-se: 
T(x,y,z)=(0,0,0) ⇒(3x,y+x,3z)=(0,0,0) ⇒ 3x=0,y+x=0 e 3z=0 ⇒ x=y=z=0. 
Portanto, N(T)={(0,0,0)} e T é injetora. 
1 2
1 2 1 2 1 2
2
2
2
1 2 1 2
3
3
O teorema a seguir é conhecido como o Teorema do Núcleo e Imagem e é um dos resultados mais
importantes e conhecidos da área de Álgebra Linear
Teorema 2: Sejam U e V espaços vetoriais reais de dimensão �nita e T ∈L(U,V). Tem-se:
dim(U)=dim(N(T))+dim(Im(T)). 
Observe que o Teorema 2 fornece informações a dimensão de três espaços e subespaços vetoriais, de forma
que a dimensão de um deles está condicionada à dimensão dos outros dois. O exemplo a seguir ilustra essa
relação. 
Exemplo: Seja T ∈L(R ) dada por T(x,y,z)=(3z,2z,z). Observe que pela de�nição de núcleo, deve-se obter os
vetores (x,y,z) ∈ R tais que T(x,y,z)=(0,0,0).  Tem-se: 
T(x,y,z)=(0,0,0) ⇒(3z,2z,z)=(0,0,0) ⇒ 3z=0,2z=0 e z=0. 
Portanto, o núcleo da transformação T é formado pelas triplas ordenadas cuja cota é nula, ou seja, N(T)=
{(x,y,0)}, logo uma base para N(T) é B={(1,0,0),(0,1,0)} e a dimensão de N(T) é igual a 2. 
Observe que a Imagem de T é dada pelas triplas ordenadas na forma Im(T)={(3z,2z,z),z ∈R}, logo uma base
para Im(T) é C={(3,2,1))} e dim(Im(T)=1. Note que todas as informações estão em acordo com o Teorema do
Núcleo e Imagem e 
3=dim(R )=2 +1=dim(N(T))+dim(Im(T)). 
Note, também, que a transformação do exemplo não é uma função injetora porque N(T)≠ {(0,0,0)}. Perceba
que quaisquer vetores do R admitem a mesma imagem caso possuam o mesmo valor para a cota. 
Quando a dimensão de V é igual à dimensão de U, O Teorema do Núcleo e Imagem permite concluir que se T
é injetora, então dim(N(T))=0, logo dim(V)=dim(U)=dim(Im(T))e T é também bijetora. 
Observação: Note que se T ∈L(U,V) e dim(U)=dim(V), então as propriedades a seguir são equivalentes, ou seja,
uma ocorre, se e somente se qualquer uma das outras ocorre. T é sobrejetora
T é injetora.
T é bijetora.
T leva base em base, isto é, se B={u ,u ,… u } é uma base de U, então B={T(u ),T(u ),…T( u )} é uma base
de V.
Os resultados apresentados são teóricos e dúvidas podem ser esclarecidas com a análise de exemplos e
comparação com as de�nições e resultados. Estude os exemplos a seguir e retome os anteriores para
melhorar a compreensão dos temas tratados.
APLICAÇÕES E EXEMPLOS
Uma aplicação conhecida do núcleo de transformações lineares é no cálculo da solução de sistemas de
equações diferenciais ordinárias, os quais modelam problemas reais envolvendo taxas de variação, como é o
caso do estudo de crescimento populacional ao longo do tempo. 
No entanto, devido a restrições de conteúdo e a importância da compreensão das de�nições, aqui traremos
exemplos envolvendo as de�nições e resultados apresentados. Analise cada um deles com atenção e retome
os tópicos novamente para esclarecer as dúvidas. 
3
3
3
3
1 2 n 1 2 n
Exemplo: Seja T:M (R)→R dada por:
Informações sobre o Núcleo de T: observe que pela de�nição de núcleo, deve-se obter as matrizes tais que: 
Tem-se (2a,a-b,c+d,d)=(0,0,0,0) ⇒ 2a=0,a-b=0,c+d=0,d=0 ⇒ a=b=c=d=0.
Portanto, o núcleo da transformação T é formado pela matriz nula, ou seja, 
e dim(N(T))=0. 
Informações sobre a Imagem de T: Observe que a Imagem de T  é dada pelos vetores na forma Im(T)={(2a,a-
b,c+d,d),a,b,c,d ∈R}, logo, uma base para a Im(T) é C={(2,1,0,0),(0,-1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,1,1)} e dim(Im(T)=4. 
Conclusões: Note que todas as informações estão em acordo com o Teorema do Núcleo e Imagem e, tem-se: 
4=dim(M (R))=0 +4=dim(N(T))+dim(Im(T)). 
Observe, também, que T é injetora, portanto, é sobrejetora e bijetora pela Observação 4.30. T também leva
base em base. De fato, seja B uma base de M (R), com: 
O conjunto dos elementos de R  são imagens dos elementos de B formam uma base de R . De fato, C=
{(2,1,0,0),(0,-1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,1,1)} é linearmente independente e gera o espaço R e, portanto, é uma base. 
Exemplo: Seja T ∈L(R ) dada por T(x,y,z)=(2x-y,y,3x+y). 
Informações sobre o Núcleo de T: Observe que pela de�nição de núcleo, deve-se obter as matrizes tais
que T(x,y,z)=(0,0,0), logo:
(2x-y,y,3x+y)=(0,0,0)⇒ 2x-y=0,y=0,3x+y=0 ⇒ x=y=0. 
Portanto, o núcleo da transformação T é formado pelas triplas ordenadas cujas abscissas e ordenadas são
nulas, ou seja, N(T)={(0,0,z),z ∈R}. Dessa forma, uma base para N(T) é B={(0,0,1)}  e dim(N(T))=1. 
Informações sobre a Imagem de T: Observe que a Imagem de T é dada pelos vetores na forma Im(T)={(2x-
y,y,3x+y),x,y ∈R}, logo uma base para Im(T) é C={(2,0,3),(-1,1,1)} e dim(Im(T)=2. 
Conclusões: Note que todas as informações estão em acordo com o Teorema do Núcleoe Imagem: 
3=dim(M (R))=1 +2=dim(N(T))+dim(Im(T)). 
Note, no entanto, que T não é injetora porque N(T)≠{(0,0,0)}, logo pela Observação 4.30, também não é
sobrejetora. Observe que nesse caso, T não leva base em base. 
De fato, seja B uma base de R , com B={(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}. O conjunto dos elementos de R  que são
imagens dos elementos de B são C={(2,0,3),(-1,1,1),(0,0,0)} que é linearmente dependente e não gera o
espaço R e, portanto, não é uma base. 
2
4
T(( )) = (2a, a − b, c + d, d)
a b
c d
T(( )) = (0,0, 0,0)
a b
c d
N(T ) =  {( )}
0 0
0 0
2
2
B =  {( ),( ),( ),( )}
1 0
0 0
0 1
0 0
0 0
1 0
0 0
0 1
4 4
4
3
2
3 3
3
VÍDEO RESUMO
Olá, estudante! 
Os temas abordados na aula são de grande importância de uma forma geral para o desenvolvimento da
ciência, uma vez que estão presentes na resolução de problemas modelados a partir de situações reais, além
de estarem presentes também nos temas das próximas aulas. Acesse o vídeo sobre núcleo e imagem de
transformações lineares, na qual falamos um pouco mais sobre as de�nições e propriedades desses
subespaços e aprofundamos o tema através de outros exemplos. 
 Saiba mais
As transformações lineares envolvem uma gama de formas muito grande, dependendo também da
natureza dos espaços vetoriais nos quais estão de�nidas. Dessa forma, a análise do núcleo e da imagem
de uma transformação dependerá, também, da natureza desses espaços.
Uma forma de compreender melhor como tais subespaços se comportam é a análise de diferentes casos
de transformações. A referência também traz exemplos diferenciados dos apresentados no texto e é
fonte de aprofundamento no tema.
CERVELIN, B. H. Álgebra linear e vetorial. Londrina: Editora e Distribuidora Educacional S.A., 2018.  Cap.
4. p. 180-189.
INTRODUÇÃO
Olá, estudante! 
Uma característica fundamental das transformações lineares é que elas admitem uma forma correspondente
como matriz, o que é permitido também devido ao fato do domínio e contradomínio serem espaços vetoriais
e do fato de preservarem a dição e multiplicação por escalar. 
Note que elas podem ser de�nidas em espaços vetoriais quaisquer e assumem leis variadas, desde funções
mais simples, até funções mais complexas. Dessa forma, o estudo de transformações lineares pode se tornar
complexo dependendo de sua lei e dos espaços vetoriais que as de�nem. 
Aula 3
MATRIZ DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR
Uma característica fundamental das transformações lineares é que elas admitem uma forma
correspondente como matriz, o que é permitido também devido ao fato do domínio e contradomínio
serem espaços vetoriais e do fato de preservarem a dição e multiplicação por escalar.
25 minutos
https://biblioteca-virtual-cms-serverless-prd.s3.us-east-1.amazonaws.com/ebook/555-algebra-linear-e-vetorial.pdf
Uma forma de facilitar a análise de propriedades de transformações lineares é através da associação de uma
transformação linear com uma matriz, o que é garantido através da de�nição de uma relação biunívoca entre
o espaço L(U,V) e o espaço vetorial de matrizes. 
Nesta aula abordaremos a de�nição de matriz de uma transformação linear e algumas das propriedades de
transformações lineares que podem ser analisadas através de matrizes. 
Uma das principais vantagens de se considerar matrizes de transformações lineares é que se pode escrever
matrizes equivalentes de formas simpli�cadas, mas que mantém as informações da matriz e transformações
originais, como é o caso da diagonalização de operadores, a Forma Canônica de Jordam e a Decomposição em
Valores Singulares, que são fundamentais para a otimização de dados na Álgebra Computacional, por
exemplo. 
 ISOMORFISMO E MATRIZ DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR
As matrizes são grandezas que permitem a incorporação em algoritmos computacionais e podem ser
representadas de formas distintas, sem alterar as propriedades, como consequência, uma transformação
linear escrita em sua forma matricial pode ser otimizada, mantendo-se suas propriedades. (ANTON, 2012;
BOLDRINI, 1986; CERVELIN, 2018 e LIMA, 2016). As provas de resultados serão omitidas e poderão ser
consultadas nas mesmas referências.    
A fundamentação da possibilidade de correspondência biunívoca entre uma transformação linear e uma
matriz é fornecida através do estudo de espaços vetoriais que se comportam de forma equivalente no sentido
de preservação de operações, ou seja, são isomorfos. Considere a de�nição a seguir. 
De�nição 1: Sejam U e V espaços vetoriais reais, T ∈L(U,V). T é denominada isomor�smo quando é bijetora. Se
U = V, então T é chamada de automor�smo. 
Quando T ∈L(U,V) é um isomor�smo, então U e V são isomorfos e admitem as propriedades envolvendo
operações de formas equivalentes, alem de outras propriedades como é o caso da dimensão. O Teorema do
Núcleo e Imagem garante a validade do teorema a seguir. 
Teorema 1: Se T ∈L(U,V) é um isomor�smo, então dim(U)=dim(V). 
De fato, se T é bijetora, dim(N(T))=0 porque T é injetora e dim(Im(T))=dim(V) porque T é sobrejetora, logo
dim(U)=dim(V). 
É válido, também, que se dois espaços vetoriais têm a mesma dimensão, então são isomorfos. 
Exemplo: O espaço das matrizes 2 ×2,M , e o espaço  são isomorfos. Observe que ambos têm dimensões
iguais a 4. 
Como as dimensões dos espaços vetoriais L(U,V) e o conjunto das matrizes reais M  iguais a m×n, então
L(U,V) e M  são isomorfos, ou seja, �xadas bases B ⊂U e C ⊂ V, existe uma matriz associada pertencente a
M  para cada T ∈L(U,V), e vice versa. 
Teorema 2: Sejam U e V espaços vetoriais de dimensão �nita, com dim(U)=n e dim(V)=m, então L(U,V) é
isomorfo a M . 
A matriz de uma transformação linear é única para bases �xadas, ou seja, a matriz de transformação linear
está bem de�nida para bases escolhidas. Usualmente, adotam-se as bases canônicas dos espaços vetoriais,
mas ressaltamos que a de�nição é válida para quaisquer bases.
2 R4
m×n
m×n
m×n
m×n
De�nição 2: Sejam U e V espaços vetoriais de dimensão �nita, �xadas as bases 
B={u ,u ,…u } ⊂U e C={v ,v ,…v } ⊂ V. Seja T ∈L(U,V), pode-se escrever T(u )=a v +a v + …a v , para i=1,2,…
m. 
A matriz da transformação linear com relação às B e C é denotada por [T]  e é de�nida como:
Observe o exemplo a seguir sobre o cálculo da matriz de uma transformação linear. Note que as coordenadas
estão na base canônica e que a matriz seria alterada caso as bases fossem outras. 
Exemplo: Seja T(x,y)=(2x,y,x+y), a matriz de T com relação às bases canônicas, pode ser calculada através da
obtenção das coordenadas da transformação em cada elemento da base do domínio. Tem-se: 
T(1,0)=(2,0,1)=2(1,0,0)+0(0,1,0)+1(0,0,1).
T(0,1)=(0,1,1)=0(1,0,0)+1(0,1,0)+1(0,0,1).
A seguir, abordamos as principais propriedades de matrizes de transformações lineares, note como as
operações são mantidas e comportam-se de forma similar.
PROPRIEDADES DE MATRIZ DE TRANSFORMAÇÃO LINEAR
Destacaremos agora as matrizes de combinações lineares de transformações, composições de
transformações lineares e de inversas de transformações lineares. Analisaremos, também, como obter a
transformação linear associada a uma matriz dada. 
Observa-se que as propriedades das transformações lineares são mantidas quando abordadas na forma
matricial. (ANTON, 2012; CERVELIN, 2018; LIMA, 2016). 
A bijeção que associa transformações lineares a matrizes, de�nida na De�nição 2, é linear, isto é, as matrizes
de combinações de transformações lineares é a combinação linear das matrizes de cada transformação. Veja
o teorema a seguir. 
Teorema 3: Considere T,S ∈L(U,V), com U e V espaços vetoriais de dimensão �nita com as bases B ⊂ U e C ⊂
V e sejam , então [αT +βS] =α[T] +β[S] .
Observe que a matriz da transformação linear nula é a matriz nula, e que a matriz da transformação linear T
∈L(U) dada por L(U)=u é a matriz identidade. Uma outra propriedade relevante das matrizes de
transformações lineares é que a de uma composição de transformações é o produto das matrizes das
transformações. 
Teorema 4: SejamU, V e W espaços vetoriais de dimensões �nitas com as bases B ⊂ U e C ⊂ V e D ⊂ W. Se
T∈L(U,V) e S ∈L(V,W), então [SoT] = [T] ⋅[S] .
1 2 n 1 2 m j 1j 1 2j 2 mj m
B,C
[T ]B,C =
⎛⎜⎝a11 a12 … a1n
a21 a22 … a2n
⋮ ⋮ ⋱ ⋮
am1 am2 … amn
⎞⎟⎠
∴ [T ]B,C =
⎛⎜⎝2 0
0 1
1 1
⎞⎟⎠
α,  β  ∈  R B,C B,C B,C
B,D C,D B,C
Sabemos que uma transformação linear admite inversa, somente se é bijetora, ou seja, uma transformação
linear T∈L(U,V) admite inversa, somente se T é um isomor�smo e nesse caso, o Teorema 4.33 garante que
dim(U)=dim(V). 
Portanto, as matrizes de isomor�smos são quadradas e é possível obter a transformação linear inversa
através do cálculo da matriz inversa de sua matriz, conforme o teorema a seguir. 
Teorema 5: Sejam U, V espaços vetoriais de dimensões �nitas com as bases B ⊂ U e C ⊂ V. Se T∈L(U,V) admite
inversa, então . 
Dada uma matriz qualquer A ∈M , é sempre possível escolher as bases de dois espaços vetoriais U, V de
dimensões n e m, respetivamente, e obter uma transformação linear T ∈L(U,V), cuja matriz com relação as
bases selecionadas é igual à matriz A. 
O teorema a seguir fornece esse resultado. Denotando por u  as coordenadas de um vetor u ∈U na base B e
por T(u) , as coordenadas da imagem de u pela transformação, T(u) na base C, podemos escrever uma lei que
determina a transformação linear, dadas uma matriz e as bases do domínio e contradomínio. 
Teorema 6: Sejam U, V espaços vetoriais de dimensões �nitas com as bases B ⊂ U e C ⊂ V. Seja T∈L(U,V), u  ∈
U e T(u) ∈V, tem-se T(u) =[T] ⋅u .
A seguir, reunimos exemplos abordando os resultados apresentados, analise os exemplos e retome as
de�nições e resultados para melhor compreendê-los.  
APLICAÇÕES E EXEMPLOS
As matrizes de transformações lineares são ferramentas fundamentais em aplicações devido a maior
facilidade de manipulação dessas grandezas, assim como a possibilidade de obter formas equivalentes de
matrizes otimizadas e que mantém as informações, como é o caso dos operadores diagonalizáveis que
veremos na próxima aula. 
O uso de matrizes permite também uma abordagem computacional de transformações lineares de uma
forma bem de�nida e acarreta benefícios na implementação de modelos. 
Apresentamos, a seguir, exemplos que destacam cada um dos resultados abordados. Para facilitar a
compreensão, todos os casos utilizam as bases canônicas.
Exemplo: Sejam T(x,y)=(3y,2x) e S(x,y)=(x+y,x,4y). Considere B=C={(1,0),(0,1)} e D={(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}. A
De�nição 2 fornece para T:
T(1,0)=(0,2)=0(1,0)+2(0,1).
T(0,1)=(3,0)=3(1,0)+0(0,1).
A De�nição 2 fornece para S:
S(1,0)=(1,1,0)= 1(1,0,0)+1(0,1,0)+0(0,0,1).
 S(0,1)=(1,0,4)= 1(1,0,0)+0(0,1,0)+4(0,0,1).
[T −1)]
C,B = [T ]−1
B,C
m×n
B
C
B
C C B,C B
∴ [T ]B,C = ( )
0 3
2 0
∴ [T ]C,D =
⎛⎜⎝1 1
1 0
0 4
⎞⎟⎠
Note que a composição SoT é dada por SoT(x,y)=S(T(x,y))= S(3y,2x)=(3y+2x,3y,8x). 
A De�nição 2 fornece para SoT: 
SoT(1,0)=(2,0,8)= 2(1,0,0)+0(0,1,0)+8(0,0,1).
SoT(0,1)=(3,3,0)= 3(1,0,0)+3(0,1,0)+0(0,0,1).
Observe que o Teorema 4 garante que a matriz da transformação composta SoT é dada pelo produto das
matrizes de T e S, conforme veri�cação a seguir:
Exemplo: Seja T(x,y,z)=(x+2y,3x-4z,x+y+z). Considere as bases: 
B=C={(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}. Tem-se pela De�nição 2: 
T(1,0,0)=(1,3,1)= 1(1,0,0)+3(0,1,0)+1(0,0,1).
T(0,1,0)=(2,0,1)= 2(1,0,0)+0(0,1,0)+1(0,0,1).
T(0,0,1)=(0,-4,1)= 0(1,0,0)-4(0,1,0)+1(0,0,1).
Para obtermos a inversa da transformação linear, usaremos a estratégia de calcular a matriz inversa de [T] ,
e usar o Teorema 5 e o Teorema 6. O Teorema 5 fornece que a matriz da transformação linear inversa é dada
por:  
Do Teorema 6 podemos calcular a lei que determina a transformação inversa T .
O exemplo anterior exempli�ca como o cálculo da transformação linear inversa pode ser construído através
do cálculo da matriz inversa. Esse método é uma ferramenta interessante e bem de�nida no cálculo de
inversas para transformações lineares mais complexas. 
VIDEO RESUMO
Olá, estudante! 
Abordamos neste vídeo as matrizes de transformações lineares que são primordiais para a tratativa dessas
funções em aplicações. A compreensão do tema é fundamental para o andamento do curso, uma vez que as
matrizes das transformações são também ferramentas para o cálculo de autovalores e autovetores. A vídeo
aula o ajudará a visualizar o passo a passo dos cálculos descritos nesta aula. 
∴ [T ]B,D =
⎛⎜⎝2 3
0 3
8 0
⎞⎟⎠[SoT ]B,D = = [T ]C,D ⋅ [S]B,C = ⋅ ( )
⎛⎜⎝2 3
0 3
8 0
⎞⎟⎠ ⎛⎜⎝1 1
1 0
0 4
⎞⎟⎠ 0 3
2 4
∴ [T ]B,C =
⎛⎜⎝1 2 0
3 0 −4
1 1 1
⎞⎟⎠ B,C
[T −1]
C,B = [T ]−1
B,C =
⎛⎜⎝ −2/5 −1/5 4/5
7/10 −1/10 −2/5
−3/10 −1/10 3/5
⎞⎟⎠ -1
T −1 x, y, z = [T ]−1
B,C ⋅ uB = ⋅ = (− 2
5 x + 1
5 y + 4
5 z, 7
10 x − 1
10 y − 2
5 z, − 3
10 x − 1
10 y
⎛⎜⎝ ⎞⎟⎠ ⎛⎜⎝ −2/5 1/5 4/5
7/10 −1/10 −2/5
−3/10 −1/10 3/5
⎞⎟⎠ ⎛⎜⎝x
y
z
⎞⎟⎠
 Saiba mais
A Álgebra Linear Computacional é uma área de grande importância e relevância no campo de aplicações
da Álgebra Linear. Neste contexto, utilizam-se numa grande parte, a álgebra matricial, na busca por
encontrar métodos e formas de representação que façam uso de matrizes otimizadas, mas que não
percam informações.
Essa teoria é primordial no tratamento de informações e dados, tão essencial atualmente.  A sugestão de
leitura da seção 3.2 traz uma abordagem dos principais temas, envolvendo álgebra matricial e aplicações,
interessante para que tenha uma visão de como a representação de transformações lineares em
matrizes é vantajosa.
POOLE, D. Álgebra Linear: Uma Introdução Moderna - Tradução da 4ª ed. norte-americana. Cengage
Learning Brasil, 2016.
INTRODUÇÃO
Olá, estudante!
Finalizaremos a unidade com o estudo dos autovetores, autovalores e diagonalização de operadores. Os
autovalores e autovetores são ferramentas indispensáveis para a resolução de um vasto número de
problemas.
No campo das engenharias, destaca-se a utilização de autovalores e autovetores no cálculo de soluções de
sistemas de equações diferenciais que modelam problemas reais. No campo da análise numérica
computacional, podemos citar as decomposições matriciais como o caso da diagonalização, a decomposição
em valores singulares e as formas canônicas e racionais.
Vale destacar que a relação entre transformações lineares e matrizes, abordada anteriormente, embasa toda
a teoria principal que envolve o estudo de autovalores, autovetores e a diagonalização de matrizes.           
Nesta aula abordaremos a de�nição de autovalores e autovetores, o polinômio característico, o subespaço
vetorial dos autovetores, as multiplicidades algébricas e geométricas dos autovalores e, en�m, estudaremos a
diagonalização de matrizes e operadores.     
Aula 4
AUTOVALORES, AUTOVETORES E DIAGONALIZAÇÃO DE
MATRIZES
Finalizaremos a unidade com o estudo dos autovetores, autovalores e diagonalização de operadores. Os
autovalores e autovetores são ferramentas indispensáveis para a resolução de um vasto número de
problemas.
23 minutos
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/reader/books/9788522124015/pageid/178
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/reader/books/9788522124015/pageid/178
AUTOVALORES E AUTOVETORES: DEFINIÇÕES E PROPRIEDADES
Os operadores lineares T ∈L(U) são transformações que admitem propriedades particulares e diferenciadas
das demais. Dado um vetor não nulo u ∈U, denota-se o conjunto gerado por u, ou seja, o conjunto dos
múltiplos do vetor u, por [u]. 
Uma das principais características de operadores lineares é a possibilidade de [u] ser invariante por T, isto é,
pode-se tomar u ∈U e , tal que T(u) ∈[u], de�nindo-se dessa forma os autovalores e autovetores de
T. Abordaremos, de forma breve, as de�nições, propriedades e resultados envolvendo os conceitos
provenientes do fato de [u] ser invariante por T. A teoria abordada pode ser consultada nas referências
(ANTON, 2012; BOLDRINI, 1986; CERVELIN, 2018; LIMA, 2016). As provas de resultados serão omitidas e
poderão ser consultadas nas mesmas referências.    
Dadoum espaço vetorial U, de dimensão �nita e T ∈L(U), um autovetor de T é qualquer vetor não nulo u ∈U,
cuja imagem é um múltiplo de u. 
De�nição 1: Considere U um espaço vetorial de dimensão �nita e T ∈L(U). Dizemos que um vetor não nulo u
∈U é um autovalor de T, se existe um escalar  tal que T(u)=λu. 
O escalar  destacado na de�nição é fundamental para se obter o conjunto de vetores de U que
satisfazem a condição desta de�nição. 
De�nição 2: Considere U um espaço vetorial de dimensão �nita e T ∈L(U). Se  satisfaz T(u)=λu, para um
vetor não nulo u ∈U, então dizemos que λ é um autovalor de T associado ao autovalor u. 
Observe que pode existir mais de um vetor associado a um mesmo autovalor. 
De�nição 3: Considere U um espaço vetorial de dimensão �nita e T ∈L(U). Seja λ um autovalor de T. O
subconjunto de U dado por V(λ)={u ∈U|T(u)=λu} é denominado subespaço próprio, ou autoespaço, do
autovalor λ.
Note que V(λ) é um subespaço vetorial de U. De fato, sejam u,v ∈V(λ) e , então T(u
+αv)=T(u)+αT(v)=λu+λαv=λ(u+αv), logo (u+αv) ∈V(λ), portanto V(λ) é um subespaço vetorial de U. A dimensão de
V(λ) fornece informações relevantes sobre a transformação e será abordada a seguir. 
O polinômio característico é um polinômio obtido através das de�nições de autovalores e autovetores e da
matriz de uma transformação linear.   
De�nição 3: Considere U um espaço vetorial de dimensão �nita n, T ∈L(U) e B uma base de U. De�nimos o
polinômio característico de T como , com I a matriz identidade de ordem n. 
O polinômio característico é calculado através da matriz da transformação linear, logo as informações obtidas
de p (λ) são as mesmas obtidas através da De�nição 4.46. O teorema a seguir garante que as raízes do
polinômio característico são os autovalores de T. 
Teorema 1: Considere U um espaço vetorial de dimensão �nita n e T ∈L(U), então  é um autovalor de T,
se e somente se p (λ)=0. 
A seguir, discorremos sobre a relação entre os autovalores, autovetores e a diagonalização de operadores. 
λ  ∈ R
λ  ∈ R
λ  ∈ R
λ  ∈ R
α  ∈  R
pT (λ) = det([T ]B − λI)
T
λ  ∈ R
T
DIAGONALIZAÇÃO DE MATRIZES
Quando existe uma base de U formada por autovetores de T, é possível obter uma representação de T como
uma matriz diagonal, o que facilita a análise e cálculos. 
As matrizes diagonalizáveis estão associadas a operadores lineares diagonalizáveis de forma biunívoca, de
forma que a abordagem teórica da diagonalização de operadores e da diagonalização de matrizes são
consequência direta uma da outra (ANTON, 2012; CERVELIN, 2018; LIMA, 2016). 
Seja T ∈L(U), se B={u ,u ,u ,…,u } é uma base de autovetores de T associados, respectivamente, aos
autovalores λ ,λ ,λ ,…,λ , tem-se: 
De�nição 4: Considere U um espaço vetorial de dimensão �nita e T ∈L(U). Dizemos que T é diagonalizável se
existir uma base de U formada por autovetores de U. 
Observe que para que uma base B={u ,u ,u ,…,u } seja formada por autovetores, é necessário que existam n
autovetores de T linearmente independentes, ou seja, é necessário que U seja uma soma direta dos
autoespaços V(λ ), = 1,2,…k, quando existem k autovalores. A dimensão de cada autoespaço V(λ ) recebe o
nome de multiplicidade algébrica e está associada a cada um dos autovalores λ . 
De�nição 5: Considere U um espaço vetorial de dimensão �nita, T ∈L(U) e λ um autovalor de T. A dimensão
do subespaço próprio do autovalor λ, dim(V(λ)), é denominada multiplicidade geométrica de λ, denotam-se m
(λ).
Observe, ainda, que se a dimensão de U é igual a n e existirem kpara aplicações.
O processo de veri�cação se um operador é diagonalizável envolve três passos principais: o cálculo dos
autovalores, dos autovetores e das multiplicidades algébricas e geométricas, passando pelo cálculo do
polinômio característico, que envolve a matriz do operador linear numa base �xada. 
O vídeo destaca a análise de casos da análise de operadores envolvendo todos os passos comentados na aula
e é relevante para que possa observar e refazer os cálculos para melhor compreendê-los.
Acesse a vídeo aula sobre a diagonalização de operadores para complementar a teoria e reforçar a
compreensão do tema.
 Saiba mais
Os autovalores e autovetores são abordados em diversas áreas da matemática e são necessários para a
resolução e análise de problemas de aplicação, como modelos de problemas de mecânica, acústica,
crescimento populacional, competição de espécies, dentre outros. Os autovalores e autovetores também
T   ∈ R3
⎛⎜⎝3 −2 1
0 3 1
0 0 3
⎞⎟⎠pT λ = det ([T ]B − λI) = det = (3 − λ)3
⎛⎜⎝ ⎞⎟⎠ ⎛⎜⎝3 − λ −2 1
0 3 − λ 1
0 0 3 − λ
⎞⎟⎠T
a
⎧⎪⎨⎪⎩(3 - λ)x - 2y + z = 0
       (3 - λ)y + z = 0
             (3 - λ)z = 0
{
-2y + z = 0
          z = 0
V (3) = {(x, 0,0),  x  ∈ R} = [(1,0, 0)] g
a g
são destaque na decomposição de matrizes e otimização de problemas computacionais.  
SOTO, J.L.P; SILVA, M.T.M; NASCIMENTO, V.H. Autovalores e Autovetores – Revisão Teórica. In:  Aplicações
de Algebra Linear: notas de aula. São Paulo: USP – Escola Politécnica da Universidade de São Paulo.
TRANSFORMAÇÕES LINEARES, DEFINIÇÕES, PROPRIEDADES E PRINCIPAIS RESULTADOS
Olá, estudante! 
Destacamos que as transformações lineares são funções, cujos domínios e contradomínios são espaços
vetoriais que preservam as operações de adição de vetores e multiplicação de vetor por um número real.  
Ou seja, T:U→V é uma transformação linear, se T(u+v)=T(u)+T(v) e T(λu)=λT(u), sempre que u,v ∈U e  .
Nesse caso denota-se T ∈L(U,V). 
Diferentemente das demais funções, as transformações lineares sempre admitem ao menos uma raíz, que é o
vetor nulo, isto é, T(0) = 0, independente dos espaços vetoriais U e V que a de�nem. 
Ressalta-se que se o vetor nulo for o único vetor a anular a transformação linear T, então T é injetora, sendo a
recíproca verdadeira. Ao conjunto de todos os vetores que anulam uma transformação linear dá-se o nome de
núcleo da transformação linear e denota-se N(T)={u ∈U|T(u)=0}. 
Note que N(T) é um subespaço vetorial do domínio de T, isto é, N(T)⊂U. Observe, ainda, que o núcleo e a
imagem de uma transformação linear admitem relações importantes relacionadas às dimensões do domínio e
contradomínio, uma vez que o Teorema do núcleo e imagem fornece dim(U)=dim(N(T))+dim(Im(T)), logo se
dim(U)=dim(V), então T injetora equivale à T sobrejeora. 
Quando as dimensões de U e V são �nitas, �camos dim(U) = n e dim(V) = m, toda transformação linear T
∈L(U,V) admite uma matriz mxn associada, e vice-versa, desde que �xadas uma base B={u ,u ,…u } do
domínio U e uma base C={v ,v ,…v } do contradomínio V. 
Como T é linear, então, para qualquer vetor u∈B, tem-se T(u )=a v +a v + …a v , calculando-se T em cada
vetor da base B, determina-se as colunas da matriz da transformação linear, que é dada por
λ ∈ R
1 2 n
1 2 m
j j 1j 1 2j 2 mj m
[T ]B,C =
⎛⎜⎝a11 a12 … a1n
a21 a22 … a2n
⋮ ⋮ ⋱ ⋮
am1 am2 … amn
⎞⎟⎠ Aula 5
REVISÃO DA UNIDADE
28 minutos
https://edisciplinas.usp.br/pluginfile.php/4179051/mod_resource/content/2/Autovalores_Teoria.pdf
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Por �m, estudamos que os operadores lineares são um caso particular de transformações lineares cujos
espaços vetoriais U e V são iguais, nesse caso denota-se T ∈L(U). Quanto T(u)=λu para algum vetor u ≠0 e λ ∈R,
diz-se que u é um autovetor e λ é um autovalor de T e ao subespaço dos autovetores associados a um mesmo
autovalor λ, V(λ)={u ∈U|T(u)=λu}, dá-se o nome de autoespaço associado a λ. 
Tem-se, ainda, que a multiplicidade geométrica de cada λ é igual à dimensão de V(λ), isto é, dim(V(λ))=m (λ). 
É possível calcular os autovalores diretamente pela de�nição ou como raízes do Polinômio Característico p
(λ)=det([T] -λI). A multiplicidade de cada λ como raíz do Polinômio Característico é denominada a
multiplicidade algébrica de cada λ e denotam-se m (λ). 
Quando m (λ)=m (λ) para todo λ e ainda, a soma das multiplicidades geométricas é igual à dimensão de U,
existe uma base B de U, formada por autovetores de T e a matriz de T com relação à base B é uma matriz
diagonal.    
REVISÃO DA UNIDADE
Olá, estudante!
O vídeo aborda, de forma prática, todos os conceitos desenvolvidos na unidade através da análise de um
exemplo de operador linear. Destacam-se a análise da de�nição de transformação linear, o cálculo do núcleo
e imagem e suas relações com as dimensões do domínio e demais propriedades.  
A construção da matriz da transformação linear com relação à base canônica, o cálculo dos autovalores e
autovetores, a análise das multiplicidades algébricas e geométricas e veri�cação da existência de uma base na
qual o operador linear admita matriz associada na forma diagonal.
ESTUDO DE CASO
Para contextualizar, uma das diversas aplicações sobre transformações lineares, suponha que você atue uma
empresa de alimentos, cuja atribuição envolva a análise logística, a construção e análise de modelos e
ferramentas matemáticas para auxiliar o andamento da produção de determinado produto da empresa. 
Suponha, ainda, que na análise da produção de uma linha de alimentos é considerado o desenvolvimento de
duas bactérias boas, as quais são bené�cas para os seres humanos. É necessário que as análises sejam feitas
de forma constante para que as condições na produção não afetem a harmonia da convivência de tais
bactérias. 
Como ambas as bactérias desenvolvem-se no mesmo ambiente e seu crescimento populacional varia
conforme o tempo, o modelo matemático do desenvolvimento populacional das bactérias é um sistema de
Equações Diferenciais de primeira ordem x'(t)=Ax(t), onde t é o tempo em horas, A é uma matriz e x(t) e x'(t)
são as funções que inter relacionam as bactérias e suas respectivas derivadas de primeira ordem em relação à
variável t. Sabe-se ainda que as bactérias estão em harmonia quando o ponto de equilíbrio do sistema é um
ponto de sela. 
Imagine que na última semana os dados levantados forneçam o sistema de Equações Diferenciais a seguir.
g
T
B
a
g a
{
x′
1 = 2x1 + 3x2
x′
2 = 0x1 − 4x2
Note que na representação, omitiu-se a variável tempo. Considerando-se x=(x ,x ) e x'=(x' ,x' ) , pode-se
reescrever o Sistema de Equações Diferenciais como:
Sabe-se que o conjunto solução do Sistema de Equações Diferenciais é um espaço vetorial formado pela soma
das soluções fundamentais, ou seja: 
com c e c constantes reais, v e v os autovetores associados à matriz da transformação linear que de�ne o
sistema e λ ,λ , respectivamente, são os autovalores correspondentes. 
Dado que um ponto de sela ocorre quando λ >0 e λe λ um número real, autovalor associado a v, segundo a matriz da transformação
linear dada na lei do sistema de equações. 
A combinação linear das soluções fundamentais linearmente independentes fornece a solução geral do
sistema linear, a qual admitirá comportamentos conforme forem os autovalores λ. 
Considerando-se, 
T(x (t),x (t))=(x' (t),x' (t))=(2x (t)+3x (t),-4x (t)), 
denominam-se pontos de equilíbrio os pontos pertencentes ao núcleo da transformação linear, ou seja,
os pontos de equilíbrio são os pontos nos quais as derivadas das funções x (t) e x (t) são nulas. 
As soluções do Sistema de Equações Diferenciais são as funções x (t) e x (t) que satisfazem as equações
do sistema. 
Como as soluções são da forma x(t)=v⋅e , quando o expoente λ>0, as soluções se afastam do ponto de
equilíbrio e quando λ0 e λ