Respostas e Análises de Sistemas

Prévia do material em texto

1 
LISTA #3 - EMC403 
GABARITO 
1) Um sistema de primeira ordem, G s
k
sT
( ) = + 1
, foi excitado com uma entrada degrau de amplitude 2, 
fornecendo o gráfico da resposta do sistema dado a seguir. Calcule o ganho e a constante de tempo do 
sistema, T. 
 
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Tempo (seg)
 
 S
a
íd
a
 
 
SOLUÇÃO: o ganho k é calculado através de onde k é o ganho do sistema e A é a amplitude do 
degrau. Para a constante de tempo, basta observar no gráfico o valor do tempo onde a 
apmplitude é igual a 0.63v
A.kv f =
f. 
 
Logo: k=10/2=5 e y(T)=6.3. No gráfico T=0.2. Daí: 
120
5
+=
.s
)s(G 
 
 
2) Dados dois sistemas representados por suas funções de transferência: 
 
G s
s
1
20
20
( ) = + e G s 
s s
2 2
100
25 100
( ) = + +
Verifique se as afirmações a seguir são corretas ou não. Justifique a sua resposta. 
 
a) O sistema dado por G1(s) tem para uma entrada degrau unitário um valor final igual a 20 
Solução: Incorreto. O valor final será igual a 1. 
 
b) O segundo sistema tem dois pólos reais 
Solução: Correto. Os pólos são iguais a –20 e –5. 
c) O segundo sistema é equivalente ao sistema de primeira ordem dado por G s
s
( ) = +
1
1
 
Solução: Incorreto. O sistema equivalente deve ter pólo em –5, isto é: 
5
5
+=
s
)s(G . 
Devemos lembrar que estamos propondo uma aproximação onde a relação entre o pólo dominante e o 
segundo pólo é de 4 vezes 
 
 
d) O primeiro sistema é instável 
Solução: Incorreto. O sistema é estável pois tem um pólo (-20), no semi-plano esquerdo estrito. 
 
 2 
e) O sistema que entra mais rápido em regime é o sistema 2. 
Solução: Incorreto. É o sistema 1, pois tem pólo dominante mais distante do eixo imaginário, o 
que implica em entrar em regime mais rápido que o sistema 2 que tem pólo dominante 
em –5. 
 
3) Para cada uma das funções de transferência a seguir, classifique os sistemas considerando a 
resposta ao degrau unitário. Encontre também as especificações de desempenho (tp, Mp, ts e tr) para 
os sistemas. 
Solução: Devemos analisar o valor dos pólos ou do fator de amortecimento para prever o tipo de 
resposta do sistema. Sobre os valores das especificações devemos utilizar as fórmulas 
dadas a seguir. As fórmulas dadas a seguir só podem ser utilizadas em sistemas 
subamortecidos. 
 
Para sistemas criticamente amortecidos e superamortecidos o sobressinal é nulo, o 
tempo de subida corresponde ao intervalo de tempo entre 10% e 90% do valor final e o 
tempo de acomodação corresponde ao tempo onde a amplitude da resposta vale 0.98vf. 
 
SISTEMAS SUBAMORTECIDOS: 
Max. Sobressinal e o tempo de pico:
21 ζ
πζ
−= eMp 
dw
tp
π= 
 
Tempo de subida (rise time)
d
r
w
cosa
t
ζπ −= Tempo de acomodação 
n
s
w
t ζ
4= 
 
SISTEMAS SUPERAMORTECIDOS E CRITICAMENTE AMORTECIDOS: o cálculo do 
tempo de subida e do tempo de acomodação deve ser numérico, a partir da resposta do 
sistema. Não há fórmula pronta. Por exemplo: 
No ítem (c) dado a seguir podemos dar valores para t e determinar 
y(t). Quando este for igual a 0.98vf (onde vf=1), teremos o valor do tempo de acomodação. 
A tabela dada a seguir ilustra este fato. É obvio que este tipo de exercício não é cobrado na 
prova, mas esta é a solução mais correta. 
tee)t()t(y tt 1515 151 −− −−=
 
T 0 0.01 0.03 0.04 0.08 0.10 0.14 0.18 0.2 0.25 0.26 0.28 0.3 0.38 0.39 0.4 
y 0 0.01 0.07 0.12 0.34 0.44 0.62 0.75 0.8 0.88 0.9 0.92 0.94 0.97 0.98 0.982 
 
Observando a tabela, determina-se de modo aproximado que: ts=0.39 e tr=0.26-0.035=0.225. 
Este mesmo raciocínio para cálculo de ts e tr foi aplicado no item (b). 
 
a) 
40012
400
)(
2 ++=
ss
sG b) 
90090
900
)(
2 ++ ss
s =G 
 
Pólos em p1= -6 +19.07i e p2= -6 -19.07i Pólos em p1=-78.5 e p2= -11.4 
(Sistema Subamortecido) (Sistema Supermortecido) 
 
tp=0,1647s e Mp=0.366 Não tem sobressinal 
tr=0.0986s tr=0.19s 
ts=0.667s ts= 0.35s 
 3 
 
c) 
22530
225
)(
2 ++=
ss
sG ; c) 
625
625
)(
2 +s
s =G 
 
Pólos em p1=p2=-15 Pólos em p1=25i e p2=-25i 
(Sistema Criticamente Amortecido) (Sistema Oscilatório Puro) 
 
Não tem sobressinal Não tem sobressinal 
tr=0.225 tr= não tem. 
ts=0.39 ts= não tem. 
 
 
 
4) Um termômetro exige 1 minuto para indicar 98% da resposta final a um degrau. Assumindo que o 
termômetro é um sistema de primeira ordem, ache a sua constante de tempo. 
 
Solução: Assumindo degrau unitário e lembrando que 
)e)t((v)t(y T
t
f
−−= 1 
basta utilizar a informação dada no exercício e substituir na fórmula, ou seja: 
 
t=60seg para y(t)=0.98vf . Na equação: 
seg,T).ln(
T
)eln().ln(e.)e(vv. TTT
ff
3315020
60
0200201980
606060
=⇒=−⇒
⇒−=−⇒−=−⇒−= −−−
 
 
5) Qual a resposta de um sistema cuja função de transferência é dada abaixo, quando sujeito a uma 
entrada na forma de uma rampa e admitindo-se condição inicial igual a 2. Qual o valor final da 
saída do sistema? 
 
3
)( +=
s
s
sG . 
Solução: Neste exercício temos que calcular a resposta do sistema para uma entrada e para a 
condição inicial. Quando determina-se a FT (G(s)), as condições iniciais são nulas. Assim, 
para resolvermos o exercício devemos determinar a eq. diferencial que deu origem a G(s) 
e depois aplicar novamente Laplace, incluindo a condição inicial dada. 
 
[ ]
)(y)s(sU)s(Ys)s(Y :Daí 2.y(0) e 0)t em nula é rampa (entrada )(u
)(u)s(sU)s(Y)(y)s(Y s:ldiferencia eq a sobreLaplace Aplicando
dt
)t(du
)t(y
dt
)t(dy
)s(sU)s(Ys)s(Y)s(sUs)s(Y
s
s
)s(U
)s(Y
)s(G
0300
030
333
3
+=+===
−=+−
⇒=+⇒=+⇒=+⇒+==
 
 
 
 
 
 4 
Substituindo os valores de y(0) e U(s), vem que: 
 
[ ] [ ]
te)t()t(y :em resulta tabela) a (usar ndotransforma-anti que o 
ss
)s(Y :Logo
AA
BABBA
 :snumeradore os Comparando
)s(s
As)BA(
)s(Y
)s(s
Bs)s(A
)s(Y
s
B
s
A
)s(Y :parciais frações em ndoDesenvolve
)s(s
s
)s(Y
s
ss)s(Y)(y)s(sUs)s(Y
3
2
3
5
1
3
1
3
1
3
51
3
1
3
113
3
5
3
1222
3
3
3
3
3
3
12
2
1
303
−+=++=



=⇒=
=−=⇒−=⇒=+
+
++=⇒+
++=⇒++=
+
+=⇒+=+⇒+=+
 
 
6) Dado um circuito composto por uma fonte de tensão em série com um capacitor e um resistor, 
pede-se: 
(a) Assumindo que a entrada é a tensão e a saída é a corrente, obtenha o modelo do sistema e a sua 
função de transferência. 
 
Solução: montando o circuito RC e tendo como entrada u(t) e saída i(t), vem através das leis das 
malhas e pela relação entre corrente e tensão no capacitor e no resistor que: 
 
1+==
=+⇒=+
=+
===+
sRC
sC
U(s)
I(s)
G(s)
 nulas iniciais condições com l,diferencia eq. a sobreLaplace de Transf. a aplicar basta G(s) determinar Para
 l).diferencia (eq. 
dt
)t(ud
i(t) 
C
1
dt
)t(id
R
dt
)t(ud
i(t) 
C
1
dt
)t(Rid
:vem 
dt
)t(vd
 derivada da e )t(v de valor o doSubstituin
dt
)t(ud
dt
)t(vd
dt
)t(vd
 :malhas das equação a Derivando
dt
)t(vd
Ci(t) e )t(Ri)t(v com )t(u)t(v)t(v
C
R
CR
C
RCR
 
CIRCUITO ELÉTRICO: 
 R 
 
 
 
 . entrada: tensão u(t) 
 saída: corrente i(t) 
VR 
VC 
 u(t) 
 i(t) 
C 
 
 
 
 
 
 5 
(b) Qual a constante de tempo e o ganho do sistema? 
Solução: é igual a RC. 
 
(c) Obtenha a resposta da corrente no sistema se a tensão varia na forma de um degrau unitário. 
 
Solução: temos G(s) e u(t). Deve-se aplicar I(s)=G(s).U(s) e voltar para o tempo, obtendo i(t). 
 
RC
t
e
R
 i(t) :ndotransforma-Anti
)
RC
s(R
)s(I
)
RC
s(RC
C
)s(I
sRC
C
)s(I
ssRC
sC
)s(IU(s)
sRC
sC
)s(I
sRC
sC
U(s)
I(s)
G(s)
−=
+=⇒+=⇒+=⇒
⇒+=⇒+=⇒+==
1
1
1
11
1
111
 
(d) Qual é o valor da corrente quando o tempo tende a infinito? 
 
Solução: o valor final da corrente é zero. 
 
 
(e) Dado que a corrente alcança 50% da resposta final a uma rampa na tensão em 0,1 segundos, ache a 
constante de tempo do circuito. 
 
Solução: No caso da entrada rampa, teremos 
 
seg.RCT
).ln(
.
RC).ln(
RC
.
)eln().ln(e.)e(.)e)t((CC.
:vem C,vf e 0.1seg,t para 0.5vfi(t) que informação a Utilizando
)e)t((C i(t) :vem ndo,transforma-antie parciais frações em Expandindo
s)
RC
s(R
)s(I
s)
RC
s(RC
C
)s(I
ssRC
C
)s(I
ssRC
sC
)s(IU(s)
sRC
sC
)s(I
sRC
sC
U(s)
I(s)
G(s)
RC
.
RC
.
RC
.
RC
.
RC
t
14430
50
10
50
10
5050150150
1
1
1
1
1
1
1
111
10101010
2
==⇒−=⇒=−⇒
⇒=⇒−=−⇒−=⇒−=
===
−=
+=⇒+=⇒+=⇒
⇒+=⇒+=⇒+==
−−−−
−
 
 
 
(f) Dada que a resistência elétrica é igual a 5000Ω, calcule a capacitância do circuito. 
 
Solução: Calcula-se diretamente pelo valor da constante de tempo do item (e). 
 
Assim: F,
.
C.RC µ8528
5000
14430
14430 ==⇒= 
 
 
 6 
(g) Qual o ganho do circuito? 
Solução: Para a entrada rampa, o ganho do circuito é igual ao valor de C, pois vf=k=C. 
 
 
7) Calcule os pólos, o coeficiente de amortecimento, a freqüência natural, a freqüência amortecida, o 
ganho e o valor final para uma entrada degrau dos seguintes sistemas: 
a) 
d y
dt
dy
dt
y
2
2
10 25 500+ + = u ; b) 
)6.0(
14.0
)( +
+
ss
s
s =F ; 
c) 
d y
dt
dy
dt
y
2
2
5 16 16+ + = u ; 
Obs: u é uma entrada qualquer. 
RESPOSTAS: Para obter as respostas indicadas, tomamos o degrau unitário e a fórmula da 
função de transferência para os itens (a) e (c). No item (b) o sistema não é estável, não podendo 
ser colocado na forma 
22
2
2 nn
n
wsws
w
k)s(G ++= ζ 
a) 
2510
25
20
2 ++=
ss
)s(G 
Pólos: p1=p2= -5 
Coef. de Amort.: ζ = 1 
Freq. Natural: ωn = 5 
Freq. Amortecida: ωd = 0 
Ganho: k=20 
Valor Final: vf=20 
 
b) 
)6.0(
14.0
)( +
+=
ss
s
sF 
Pólos: p1=0 e p2= -0.6 
Coef. de Amort.: não tem 
Freq. Natural: não tem 
Freq. Amortecida: não tem 
Ganho: não tem 
Valor Final: infinito. 
 
c) 
165
16
2 ++=
ss
)s(G 
Pólos: p1= -2.5 + 3.1i e p2=-2.5 - 3.1i 
Coef. de Amort.: ζ = 0.625 
Freq. Natural: ωn = 4 
Freq. Amortecida: ωd = 3.12 
Ganho: k=1 
Valor Final: vf=1 
 
 
 7 
8) Para os ítens da questão 7, faça um diagrama do plano complexo e localize os polos de cada um dos 
ítens, neste plano. Classifique, também, os sistemas quanto ao grau de amortecimento 
(subamortecido, criticamente amortecido, sobreamortecido, oscilatório puro) e quanto à 
estabilidade. Para os ítens (a) e (c), faça um esboço do gráfico da resposta ao degrau. 
 
Solução: 
 
(a) Criticamente Amortecido e Estável 
(b) Marginalmente Estável ou Instável (devido ao pólo na origem) 
(c) Subamortecido e Estável 
 
No plano s dado abaixo, foram desenhados todos os pólos e zeros (finitos) dos três sistemas. 
Real Axis
Im
a
g
 A
x
is
Pole-zero map
-5 -4 -3 -2 -1 0 1
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
 
 
Pólo de (c) 
Pólos de (a) 
Zero de (b) 
Pólos de (b) 
Pólo de (c) 
Esboço da resposta ao degrau unitário 
Item(a) Item(c) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
y(t) 
y(t) 
tempotempo
20
1 
 
 
OBS.: Pesquisem como seria o esboço do item (b)!!! 
 
 
 
 
 8 
9) O gráfico e a tabela a seguir ilustram uma resposta ao degrau unitário de um sistema de segunda 
ordem. Determine: 
 
 
a) O valor de qsi, wn, wd e sigma. 
 
Solução: A partir dos dados e do gráfico e com as fórmulas dadas a seguir podemos calcular 
todos os parâmetros. 
n
d
nnd
p
d
p
nn
n
w :Finalmente
 
w
w :pois,w se-calcula e w Com
)Mp(ln
)Mp(ln
 : de cálculo o para adaespecializ serpode fórmula última A
al)(sobressin eM e ) y(t) de máximo valor do instante ( 
w
t :fórmulas as Valem
wsws
w
k)s(G : por dado seráordem 2a de sistemaO
ζσ
ζζ
πζζ
π
ζ
ζ
πζ
=
−=
+=
==
++=
−
−
2
22
2
1
22
2
1
2
2
 
Assim, com o valor de tp da tabela dada no enunciado, calcula-se wd: 
 
Logo: tp=1seg wd=π = 3.14 rad/s. 
 9 
Para o cálculo de ζ, devemos primeiro determinar Mp=(vp-vf)/vf com os valores da tabela dados 
por vp=0.35 e vf=0.245. Assim: 
Mp=(0.35-0.245)/0.245 = 0.42 
 
Com este valor e utilizando a fórmula para cálculo de ζ, vem: ζ=0.26. 
 
Com o valor de wd e ζ, determina-se wn, que resulta em: wn=3.25 rad/s 
 
Finalmente σ=0.845. 
 
b) O valor do sobressinal, do instante do sobressinal, do tempo de subida, do tempo de acomodação do 
sistema. 
Solução: O sobressinal, o instante do pico ou do sobressinal já foram calculados no item anterior. 
Utilizando as fórmulas dadas a seguir podemos calcular o tempo de subida e o tempo de 
acomodação, obtendo-se: 
 
seg.
.*.w
t
seg.
).cos(a
w
)cos(a
t 
n
modaco
d
subida
74
253260
444
580
260
====
=−=−=
ζσ
π
πζπ
 
 
c) O valor final e o ganho do sistema. 
Solução: O valor final é obtido na tabela, valendo vf=0.245 (é o valor onde estabiliza a resposta). 
O ganho k, neste exercício, será o próprio valor final, pois a amplitude do degrau é iguala a 1. 
Logo k=0.245. 
 
d) A função de transferência que representa este processo e o tipo de resposta. 
Solução: G(s) será dado por: 
 
5610691
582
2532532602
253
2450
2 222
2
22
2
.s.s
.
.s.*.*s
.
.
wsws
w
k)s(G 
nn
n
++=++=++= ζ 
 
10) Responda com um V se a afirmação abaixo for correta e com um F quando for incorreta (0,25 
pontos). Justifique a sua resposta (0,75pontos) 
 
a) Um sistema que tenha três pólos reais em 0, –5 e –20 terá um comportamento integrativo, 
isto é, sua saída será a integral da entrada, sendo considerado não estável 
Solução: V. O pólo na origem gera uma resposta cujo valor será ao longo do tempo a 
integral da entrada. Se introduzirmos neste sistema um degrau, sua saída no início 
terá um comportamento que leva em consideração os 3 pólos (teremos como resposta, 
um degrau, duas exponenciais e uma rampa). Ao longo do tempo no entanto, a saída 
será dada pela rampa e o degrau. Assim, ao longo do tempo, a saída irá aumentar 
segundo um sinal ilimitado, o que caracteriza uma resposta não estável. 
 
 10 
b) Um sistema que tenha dois pólos complexos com parte real nula é considerado 
marginalmente amortecido 
Solução: F. Será marginalmente estável e oscilatório puro. 
 
c) O sistema dado por 
)ss)(s(
)s(G
110
100
2 +++= não possui um pólo dominante. 
Solução: F. Este sistema possui um pólo em –10 e dois pólos dominantes complexos 
conjugados (p1,2=-0.5±0.87i). Como a parte real destes pólos é –0.5, logo estes dois 
pólos complexos estão mais próximos do eixo imaginário, estando o pólo em –10, mais 
de 5 vezes distante. 
 
d) O sistema dado por 
10025
100
21 ++=
ss
)s(G tem uma resposta ao degrau que estabiliza antes 
da resposta do sistema dado por 
100
100
22 ++=
ss
)s(G 
Solução: V. Os pólos de G2(s) (p1,2=-0.5±9.98i) estão mais próximos do eixo 
imaginário que os pólos de G1(s) (p1=-5 e p2=-20), o que caracteriza uma resposta 
para G2(s) que estabiliza mais lentamente. 
 
Para efeito de comparação coloco a seguir os tempos de acomodação de cada sistema e 
a conclusão: 
“Na comparação da resposta de dois sistemas, o sistema que tiver seus pólos 
dominantes mais próximos do eixo imaginário, terá a resposta mais lenta.” 
 
G1(s): ts= 0.84seg e G2(s): ts= 7.58seg 
 
 
e) Um zero na origem tem um caráter integrativo na resposta de um sistema de 1a ordem. 
 
Solução: F. A resposta será a derivada da resposta de um sistema de 1a ordem, 
conforme cálculo dado a seguir. 
 
 ).e-K(1(t)y(t) :unitáriodegrau ao ordem 1a de sistemaum de resposta da derivada a é valor Este
e
T
K
)t(y
sT
K
)s(Y
ssT
Ks
)s(Y
sT
Ks
)s(U
)s(Y
)s(G :de ) 
s
1
 (U(s)degrau ao Resposta
T
t
T
t
−
−
=
=⇒+=⇒+=⇒+===
1
1
11
 
 
 
f) O sistema dado por 
)ss)(s(
)s(G
110
100
2 +++= deve ser considerado como um sistema com 
uma resposta subamortecida, em função dos pólos dominantes. 
Solução: V. O sistema terá uma resposta subamortecida, pois os pólos dominantes são 
complexos. 
 
	SOLUÇÃO: o ganho k é calculado através de �on
	
	
	
	Observando a tabela, determina-se de modo aproxi
	Não tem sobressinalNão tem sobressinal
	
	
	Pólos: p1=p2= -5
	Ganho: k=20
	Pólos: p1=0 e p2= -0.6
	Ganho: não tem
	Pólos: p1= -2.5 + 3.1i e p2=-2.5 - 3.1i
	Ganho: k=1
	Esboço da resposta ao degrau unitário