14O desenvolvimento

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c) 1 
d) 0 
**Resposta: a) \(\frac{1}{2}\)** 
**Explicação:** Dividindo por \(x^2\), obtemos o limite \(\frac{2 + 0 + 0}{4 + 0} = 
\frac{1}{2}\). 
 
24. Determine a integral: \(\int_{0}^{1} x^4 \, dx\). 
a) \(\frac{1}{5}\) 
b) \(\frac{1}{6}\) 
c) \(\frac{1}{4}\) 
d) \(\frac{1}{3}\) 
**Resposta: a) \(\frac{1}{5}\)** 
**Explicação:** A integral \(\int x^4 \, dx = \frac{x^5}{5}\). Avaliando de 0 a 1 resulta em 
\(\frac{1}{5}\). 
 
25. Qual é a derivada de \(f(x) = \ln(x^3 + 1)\)? 
a) \(\frac{3x^2}{x^3 + 1}\) 
b) \(\frac{3}{x^3 + 1}\) 
c) \(\frac{1}{x^3 + 1}\) 
d) \(\frac{1}{3(x^3 + 1)}\) 
**Resposta: a) \(\frac{3x^2}{x^3 + 1}\)** 
**Explicação:** Usamos a regra da cadeia: \(f'(x) = \frac{1}{x^3 + 1} \cdot 3x^2\). 
 
26. Calcule a integral: \(\int \frac{1}{x^2 + 4} \, dx\). 
a) \(\frac{1}{2} \tan^{-1}\left(\frac{x}{2}\right) + C\) 
b) \(\tan^{-1}\left(\frac{x}{2}\right) + C\) 
c) \(\frac{1}{4} \tan^{-1}(x) + C\) 
d) \(\frac{1}{4} \tan^{-1}\left(\frac{x}{2}\right) + C\) 
**Resposta: a) \(\frac{1}{2} \tan^{-1}\left(\frac{x}{2}\right) + C\)** 
**Explicação:** Usamos a fórmula \(\int \frac{1}{a^2 + x^2} \, dx = \frac{1}{a} \tan^{-
1}\left(\frac{x}{a}\right) + C\). 
 
27. Encontre o valor de \(\lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - 1}{x}\). 
a) 0 
b) 1 
c) 2 
d) 4 
**Resposta: c) 2** 
**Explicação:** Usamos a regra do limite fundamental: \(\lim_{x \to 0} \frac{e^{kx} - 1}{x} = 
k\). 
 
28. Calcule a integral: \(\int \tan(x) \, dx\). 
a) \(-\ln|\cos(x)| + C\) 
b) \(\ln|\sin(x)| + C\) 
c) \(\ln|\tan(x)| + C\) 
d) \(-\ln|\sin(x)| + C\) 
**Resposta: a) \(-\ln|\cos(x)| + C\)** 
**Explicação:** A integral de \(\tan(x)\) é \(-\ln|\cos(x)| + C\). 
 
29. Determine a derivada de \(f(x) = x^2 \sin(x)\). 
a) \(2x \sin(x) + x^2 \cos(x)\) 
b) \(2x \cos(x) + x^2 \sin(x)\) 
c) \(x^2 \sin(x)\) 
d) \(2x \sin(x)\) 
**Resposta: a) \(2x \sin(x) + x^2 \cos(x)\)** 
**Explicação:** Usamos a regra do produto: \(f'(x) = u'v + uv'\), onde \(u = x^2\) e \(v = 
\sin(x)\). 
 
30. Calcule a integral: \(\int_{0}^{1} (x^3 - 2x^2 + x) \, dx\). 
a) 0 
b) \(\frac{1}{4}\) 
c) \(\frac{1}{3}\) 
d) \(\frac{1}{5}\) 
**Resposta: a) 0** 
**Explicação:** A integral resulta em \(\left[\frac{x^4}{4} - \frac{2x^3}{3} + 
\frac{x^2}{2}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{4} - \frac{2}{3} + \frac{1}{2} = 0\). 
 
31. Encontre o valor de \(\int e^{2x} \sin(e^{2x}) \, dx\). 
a) \(-\frac{1}{2} e^{2x} \sin(e^{2x}) + C\) 
b) \(-\frac{1}{4} e^{2x} \sin(e^{2x}) + C\) 
c) \(\frac{1}{4} e^{2x} \sin(e^{2x}) + C\) 
d) \(\frac{1}{2} e^{2x} \sin(e^{2x}) + C\) 
**Resposta: b) \(-\frac{1}{4} e^{2x} \sin(e^{2x}) + C\)** 
**Explicação:** Usamos a integração por partes. 
 
32. Calcule o limite: \(\lim_{x \to 1} \frac{x^3 - 1}{x - 1}\). 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 0 
**Resposta: c) 3** 
**Explicação:** Usamos a fatoração: \(x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1)\). O limite resulta em 3. 
 
33. Determine a integral: \(\int \frac{1}{x^3} \, dx\). 
a) \(-\frac{1}{2x^2} + C\) 
b) \(-\frac{1}{3x^2} + C\) 
c) \(-\frac{1}{x^2} + C\) 
d) \(-\frac{1}{4x^2} + C\) 
**Resposta: b) \(-\frac{1}{3x^2} + C\)** 
**Explicação:** A integral é calculada como \(-\frac{1}{3}x^{-2} + C\). 
 
34. Encontre a derivada de \(f(x) = e^{-x^2}\). 
a) \(-2x e^{-x^2}\) 
b) \(2x e^{-x^2}\) 
c) \(-x e^{-x^2}\)