120 desenvolvimento

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d) 10 
**Resposta: c) 5** 
**Explicação:** Usamos a regra do limite fundamental \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(kx)}{x} = 
k\). 
 
69. Calcule a integral: \(\int \sin^4(x) \, dx\). 
a) \(-\frac{1}{4} \cos(4x) + C\) 
b) \(\frac{1}{4} \sin(4x) + C\) 
c) \(-\frac{1}{4} \sin(4x) + C\) 
d) \(-\frac{1}{8} \cos(4x) + C\) 
**Resposta: a) \(-\frac{1}{4} \cos(4x) + C\)** 
**Explicação:** Usamos a identidade \(\sin^4(x) = \left(\sin^2(x)\right)^2 = \left(\frac{1 - 
\cos(2x)}{2}\right)^2\). 
 
70. Encontre a derivada de \(f(x) = \ln(x^3 + 1)\). 
a) \(\frac{3x^2}{x^3 + 1}\) 
b) \(\frac{1}{x^3 + 1}\) 
c) \(\frac{1}{3(x^3 + 1)}\) 
d) \(\frac{1}{2(x^3 + 1)}\) 
**Resposta: a) \(\frac{3x^2}{x^3 + 1}\)** 
**Explicação:** Usamos a regra da cadeia: \(f'(x) = \frac{1}{x^3 + 1} \cdot 3x^2\). 
 
71. Calcule o limite: \(\lim_{x \to 0} \frac{e^{3x} - 1}{x}\). 
a) 0 
b) 1 
c) 3 
d) 6 
**Resposta: c) 3** 
**Explicação:** Este é um limite fundamental, onde \(\lim_{x \to 0} \frac{e^{kx} - 1}{x} = k\). 
 
72. Determine a integral: \(\int_{0}^{1} (3x^2 - 2) \, dx\). 
a) 0 
b) \(\frac{1}{3}\) 
c) \(\frac{1}{2}\) 
d) \(\frac{1}{4}\) 
**Resposta: a) 0** 
**Explicação:** A integral resulta em \(\left[x^3 - 2x\right]_{0}^{1} = (1 - 2) - (0) = -1\). 
 
73. Encontre o valor de \(\int e^{2x} \sin(3e^{2x}) \, dx\). 
a) \(-\frac{1}{3} e^{2x} \cos(3e^{2x}) + C\) 
b) \(-\frac{1}{2} e^{2x} \sin(3e^{2x}) + C\) 
c) \(\frac{1}{3} e^{2x} \sin(3e^{2x}) + C\) 
d) \(-\frac{1}{2} e^{2x} \cos(3e^{2x}) + C\) 
**Resposta: c) \(\frac{1}{3} e^{2x} \sin(3e^{2x}) + C\)** 
**Explicação:** Usamos a integração por partes. 
 
74. Calcule a integral: \(\int \sec^2(x) \, dx\). 
a) \(\tan(x) + C\) 
b) \(\sec(x) + C\) 
c) \(\sin(x) + C\) 
d) \(\cos(x) + C\) 
**Resposta: a) \(\tan(x) + C\)** 
**Explicação:** A integral de \(\sec^2(x)\) é \(\tan(x) + C\). 
 
75. Determine o valor de \(\lim_{x \to 0} \frac{\tan(2x)}{x}\). 
a) 0 
b) 1 
c) 2 
d) 4 
**Resposta: c) 2** 
**Explicação:** Usamos a regra do limite fundamental \(\lim_{x \to 0} \frac{\tan(kx)}{x} = 
k\). 
 
76. Calcule a integral: \(\int \tan^3(x) \, dx\). 
a) \(-\ln|\cos(x)| + C\) 
b) \(\tan^2(x) + C\) 
c) \(\tan(x) + C\) 
d) \(-\tan^2(x) + C\) 
**Resposta: a) \(-\ln|\cos(x)| + C\)** 
**Explicação:** Usamos a identidade \(\tan^3(x) = \tan(x)(\sec^2(x) - 1)\). 
 
77. Encontre a derivada de \(f(x) = x^4 \ln(x)\). 
a) \(4x^3 \ln(x) + x^3\) 
b) \(4x^3 \ln(x) + 4x^2\) 
c) \(x^3 \ln(x) + 4x^3\) 
d) \(4x^3 \ln(x) + x\) 
**Resposta: a) \(4x^3 \ln(x) + x^3\)** 
**Explicação:** Usamos a regra do produto: \(f'(x) = u'v + uv'\). 
 
78. Calcule o limite: \(\lim_{x \to 1} \frac{x^5 - 1}{x - 1}\). 
a) 0 
b) 1 
c) 5 
d) 4 
**Resposta: c) 5** 
**Explicação:** Usamos a fatoração: \(x^5 - 1 = (x - 1)(x^4 + x^3 + x^2 + x + 1)\). O limite 
resulta em 5. 
 
79. Determine a integral: \(\int_{0}^{1} (5x^4 - 3) \, dx\). 
a) 0 
b) \(\frac{1}{4}\) 
c) \(\frac{1}{5}\) 
d) \(\frac{1}{3}\) 
**Resposta: a) 0**